Dzień 73

Grupa A

Nr	Treść Zadania	Odpowiedź
1	Wykaż, że jeżeli między kątami trójkąta zachodzi zależność $\cos \alpha = \frac{1-\cos \gamma}{2\cos \beta}$, to trójkąt jest równoramienny.	Wykazano, że $\alpha = \beta$, co dowodzi, że trójkąt jest równoramienny.
2	Uzasadnij, że w trapezie $ABCD$ ($AB \parallel CD$) dwusieczne kątów $ABC$ i $BCD$ są prostopadłe.	Wykazano, że kąt przecięcia dwusiecznych wynosi $90^\circ$.
3	Punkt $S$ jest środkiem okręgu wpisanego w trapez $ABCD$ ($AB \parallel CD$). Wykaż, że trójkąt $SBC$ jest prostokątny.	Wykazano, że $\angle BSC = 90^\circ$, więc trójkąt $SBC$ jest prostokątny.
4	W trapezie równoramiennym $ABCD$, gdzie $AB \parallel CD$ i $\|AB\| > \|CD\|$ poprowadzono wysokość $DE$. W ten trapez można wpisać okrąg. Wykaż, że $\|AE\|^2 + \|BD\|^2 = \frac{1}{8}k^2$, gdzie $k$ jest obwodem trapezu $ABCD$.	Wykazano, że $\|AE\|^2 + \|BD\|^2 = \frac{1}{8}k^2$.
5	Dłuższa podstawa trapezu prostokątnego ma długość $a$, krótsza zaś $b$. Wykaż, że odległość punktu przecięcia przekątnych od krótszego ramienia jest równa $\frac{ab}{a+b}$.	Wykazano, że szukana odległość wynosi $\frac{ab}{a+b}$.

Dzień 73

Grupa B

Nr	Treść Zadania	Odpowiedź
1	Wykaż, że jeżeli między kątami trójkąta zachodzi zależność $\cos x = \frac{1-\cos z}{2\cos y}$, to trójkąt jest równoramienny.	Wykazano, że $x = y$, co dowodzi, że trójkąt jest równoramienny.
2	Uzasadnij, że w trapezie $KLMN$ ($KL \parallel MN$) dwusieczne kątów $KLM$ i $LMN$ są prostopadłe.	Wykazano, że kąt przecięcia dwusiecznych wynosi $90^\circ$.
3	Punkt $O$ jest środkiem okręgu wpisanego w trapez $PQRS$ ($PQ \parallel RS$). Wykaż, że trójkąt $OQR$ jest prostokątny.	Wykazano, że $\angle QOR = 90^\circ$, więc trójkąt $OQR$ jest prostokątny.
4	W trapezie równoramiennym $EFGH$, gdzie $EF \parallel GH$ i $\|EF\| > \|GH\|$ poprowadzono wysokość $HI$. W ten trapez można wpisać okrąg. Wykaż, że $\|EI\|^2 + \|FH\|^2 = \frac{1}{8}p^2$, gdzie $p$ jest obwodem trapezu $EFGH$.	Wykazano, że $\|EI\|^2 + \|FH\|^2 = \frac{1}{8}p^2$.
5	Dłuższa podstawa trapezu prostokątnego ma długość $x$, krótsza zaś $y$. Wykaż, że odległość punktu przecięcia przekątnych od krótszego ramienia jest równa $\frac{xy}{x+y}$.	Wykazano, że szukana odległość wynosi $\frac{xy}{x+y}$.

Dzień 73

Grupa C

Nr	Treść Zadania	Odpowiedź
1	Wykaż, że jeżeli między kątami trójkąta zachodzi zależność $\cos \delta = \frac{1-\cos \phi}{2\cos \epsilon}$, to trójkąt jest równoramienny.	Wykazano, że $\delta = \epsilon$, co dowodzi, że trójkąt jest równoramienny.
2	Uzasadnij, że w trapezie $PRST$ ($PR \parallel ST$) dwusieczne kątów $PRS$ i $RST$ są prostopadłe.	Wykazano, że kąt przecięcia dwusiecznych wynosi $90^\circ$.
3	Punkt $W$ jest środkiem okręgu wpisanego w trapez $KLMN$ ($KL \parallel MN$). Wykaż, że trójkąt $WLM$ jest prostokątny.	Wykazano, że $\angle LWM = 90^\circ$, więc trójkąt $WLM$ jest prostokątny.
4	W trapezie równoramiennym $WXYZ$, gdzie $WX \parallel YZ$ i $\|WX\| > \|YZ\|$ poprowadzono wysokość $ZV$. W ten trapez można wpisać okrąg. Wykaż, że $\|WV\|^2 + \|XZ\|^2 = \frac{1}{8}L^2$, gdzie $L$ jest obwodem trapezu $WXYZ$.	Wykazano, że $\|WV\|^2 + \|XZ\|^2 = \frac{1}{8}L^2$.
5	Dłuższa podstawa trapezu prostokątnego ma długość $m$, krótsza zaś $n$. Wykaż, że odległość punktu przecięcia przekątnych od krótszego ramienia jest równa $\frac{mn}{m+n}$.	Wykazano, że szukana odległość wynosi $\frac{mn}{m+n}$.

Dzień 73

Grupa D

Nr	Treść Zadania	Odpowiedź
1	Wykaż, że jeżeli między kątami trójkąta zachodzi zależność $\cos \mu = \frac{1-\cos \omega}{2\cos \nu}$, to trójkąt jest równoramienny.	Wykazano, że $\mu = \nu$, co dowodzi, że trójkąt jest równoramienny.
2	Uzasadnij, że w trapezie $EFGH$ ($EF \parallel GH$) dwusieczne kątów $EFG$ i $FGH$ są prostopadłe.	Wykazano, że kąt przecięcia dwusiecznych wynosi $90^\circ$.
3	Punkt $M$ jest środkiem okręgu wpisanego w trapez $RSTU$ ($RS \parallel TU$). Wykaż, że trójkąt $MST$ jest prostokątny.	Wykazano, że $\angle SMT = 90^\circ$, więc trójkąt $MST$ jest prostokątny.
4	W trapezie równoramiennym $PQRS$, gdzie $PQ \parallel RS$ i $\|PQ\| > \|RS\|$ poprowadzono wysokość $ST$. W ten trapez można wpisać okrąg. Wykaż, że $\|PT\|^2 + \|QS\|^2 = \frac{1}{8}O^2$, gdzie $O$ jest obwodem trapezu $PQRS$.	Wykazano, że $\|PT\|^2 + \|QS\|^2 = \frac{1}{8}O^2$.
5	Dłuższa podstawa trapezu prostokątnego ma długość $c$, krótsza zaś $d$. Wykaż, że odległość punktu przecięcia przekątnych od krótszego ramienia jest równa $\frac{cd}{c+d}$.	Wykazano, że szukana odległość wynosi $\frac{cd}{c+d}$.