Matura matematyka sierpień 2026 podstawa LiczBit

Sierpień 2026 – matematyka – poziom podstawowy

Zadanie 1. (0–1)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $\sqrt[3]{-27} + \sqrt[5]{-1}$ jest równa

A. $(-4)$

B. $(-2)$

C. $2$

D. $4$

Zadanie 2. (0–1)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $\dfrac{3^{-1} \cdot 4^{0{,}5}}{3^{-2} \cdot 2^{-1}}$ jest równa

A. $\dfrac{1}{12}$

B. $12$

C. $\dfrac{1}{18}$

D. $18$

Zadanie 3. (0–1)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $\log_8 4 + \log_8 32 - \log_8 2$ jest równa

A. $\log_8 34$

B. $2$

C. $3$

D. $8$

Zadanie 4. (0–1)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $(\pi + 1)^2 - (\pi - 1)^2$ jest równa

A. $0$

B. $2$

C. $4\pi$

D. $4\pi + 2$

Zadanie 5. (0–2)

Wykaż, że dla każdej nieparzystej liczby całkowitej $n$ liczba $3n^2 + 6n + 15$ jest podzielna przez $12$.

Zadanie 6. (0–1)

Dana jest nierówność $$\dfrac{7 + 2x}{5} \ge \dfrac{4}{15}$$

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Najmniejszą liczbą całkowitą, która spełnia tę nierówność, jest

A. $(-4)$

B. $(-3)$

C. $(-2)$

D. $(-1)$

Zadanie 7. (0–1)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Suma wszystkich rozwiązań równania $(x^2 - 4)(x^2 - 9) = 0$ jest równa

A. $(-13)$

B. $0$

C. $5$

D. $13$

Zadanie 8. (0–1)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dla każdej liczby rzeczywistej $x$ różnej od $(-2)$, $0$ oraz $2$ wartość wyrażenia $$\dfrac{4}{x^2 + 2x} : \dfrac{5x}{4 - x^2}$$ jest równa wartości wyrażenia

A. $\dfrac{8 - 4x}{5x^2}$

B. $\dfrac{4x - 8}{5x^2}$

C. $\dfrac{20}{(x + 2)^2 \cdot (x - 2)}$

D. $\dfrac{20}{(x + 2)^2 \cdot (2 - x)}$

Zadanie 9. (0–2)

Rozwiąż nierówność

$$x(3x - 2) < 1$$

Zapisz obliczenia.

Zadanie 10. (0–2)

W pewnym sklepie czekolada $\mathcal{C}$ kosztuje $x$ złotych, a baton $\mathcal{B}$ kosztuje $y$ złotych.
Piotr kupił w tym sklepie $8$ czekolad $\mathcal{C}$ oraz $4$ batony $\mathcal{B}$ i zapłacił za te zakupy $82$ złote.
Natalia kupiła w tym sklepie $3$ czekolady $\mathcal{C}$ oraz $9$ batonów $\mathcal{B}$ i zapłaciła za te zakupy $60$ złotych.

Oblicz cenę $x$ czekolady $\mathcal{C}$. Zapisz obliczenia.

Zadanie 11. (0–3)

Funkcja $f$ jest określona następująco:

$$f(x) = \begin{cases} 1 & \text{dla } x \in (-5, -3] \\ -x - 2 & \text{dla } x \in (-3, 1] \\ x - 4 & \text{dla } x \in (1, 5) \end{cases}$$

Wykres funkcji $y = f(x)$ przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ na rysunku poniżej.

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.

1. Zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział .................... .

2. Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja $f$ przyjmuje wartości ujemne, jest przedział .................... .

3. Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja $f$ przyjmuje największą wartość, jest przedział .................... .

Wskazówki:

Zbiór wartości (ZW): rzutujemy cały wykres na oś $Oy$ – odczytujemy najmniejszą i największą wartość osiąganą przez funkcję oraz sprawdzamy domknięcia przedziału.
Wartości ujemne: szukamy przedziału argumentów $x$, dla których wykres znajduje się ściśle pod osią $Ox$ (poniżej poziomu $y = 0$). Miejsca zerowe wyznaczają końce tego przedziału i nie należą do niego.
Największa wartość: ustalamy najwyższą wartość $y$ na wykresie, a następnie odczytujemy wszystkie argumenty $x$, dla których funkcja przyjmuje dokładnie tę wartość. Pamiętaj o sprawdzeniu, które końce są domknięte, a które otwarte.

Rozwiązanie krok po kroku:

Wyznaczenie zbioru wartości funkcji $f$ (Podpunkt 1):
Aby odczytać zbiór wartości, rzutujemy wykres funkcji prostopadle na oś $Oy$:
- Najniższy punkt na wykresie to $(1, -3)$. Wartość $-3$ jest osiągana dla $x = 1$ (punkt jest zamalowany), więc minimalna wartość to $y_{\min} = -3$.
- Najwyżej położone punkty wykresu znajdują się na wysokości $y = 1$. Wartość $1$ jest osiągana dla wszystkich argumentów $x \in (-5, -3]$, zatem maksymalna wartość to $y_{\max} = 1$.
- Wszystkie wartości pośrednie między $-3$ a $1$ są przyjmowane, ponieważ wykres tworzy ciągłe odcinki.
Zbiorem wartości funkcji jest przedział: $$\text{ZW}_f = \langle -3, 1 \rangle \quad \text{lub} \quad [-3, 1]$$
Wyznaczenie argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości ujemne (Podpunkt 2):
Wartości ujemne oznaczają warunek $f(x) < 0$, czyli punkty leżące ściśle poniżej osi $Ox$:
- Miejsca zerowe odczytujemy z punktów przecięcia z osią $Ox$: dla $x = -2$ oraz $x = 4$.
- Dla $x \in (-2, 4)$ wykres znajduje się pod osią $Ox$.
- Punkty $x = -2$ i $x = 4$ odrzucamy (przedział otwarty), ponieważ dla nich $f(x) = 0$, a liczba $0$ nie jest liczbą ujemną.
Zbiorem szukanych argumentów jest przedział: $$x \in (-2, 4)$$
Wyznaczenie argumentów, dla których funkcja przyjmuje największą wartość (Podpunkt 3):
Największą wartością funkcji jest $y = 1$:
- Wartość $y = 1$ jest przyjmowana na całym pierwszym poziomym fragmencie wykresu, czyli dla $x \in (-5, -3]$.
- Koniec przy $x = -5$ jest otwarty (kółko niezamalowane, $x = -5$ nie należy do dziedziny).
- Koniec przy $x = -3$ jest domknięty ($f(-3) = 1$).
- W punkcie $x = 5$ wartość funkcji dąży do $1$, jednak punkt $(5, 1)$ ma kółko otwarte i $x = 5$ nie należy do dziedziny.
Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja przyjmuje największą wartość, jest przedział: $$x \in (-5, -3\rangle \quad \text{lub} \quad (-5, -3]$$

Odpowiedź:
1. $\langle -3, 1 \rangle$ (lub $[-3, 1]$)
2. $(-2, 4)$
3. $(-5, -3\rangle$ (lub $(-5, -3]$)

Zadanie 12. (0–2)

Funkcja liniowa $f$ jest określona wzorem $f(x) = 5x + m^2 + 6m$, gdzie $m$ jest pewną liczbą rzeczywistą. W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ wykres funkcji $f$ przecina oś $Oy$ w punkcie o współrzędnych $(0, -9)$.

Oblicz $m$. Zapisz obliczenia.

Zadanie 13.1. (0–1)

Funkcja kwadratowa $f$ jest określona wzorem $f(x) = 2(x - 2)^2 + 4$.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

1. Funkcja $f$ ma dwa rzeczywiste miejsca zerowe.	P	F
2. W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ osią symetrii wykresu funkcji $f$ jest prosta o równaniu $x = 2$.	P	F

Wskazówki:

Wzór funkcji jest podany w postaci kanonicznej $f(x) = a(x - p)^2 + q$, gdzie współrzędne wierzchołka paraboli to $W = (p, q)$.
Znak współczynnika $a$ decyduje o zwrocie ramion paraboli (dla $a > 0$ ramiona są skierowane w górę, a najmniejsza wartość funkcji wynosi $q$).
Osią symetrii każdej paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej jest prosta pionowa przechodząca przez wierzchołek, o równaniu $x = p$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Odczytanie własności funkcji z postaci kanonicznej:
Postać ogólna postaci kanonicznej to $f(x) = a(x - p)^2 + q$. Porównując ją ze wzorem z zadania: $$f(x) = 2(x - 2)^2 + 4$$ odczytujemy: $$a = 2, \quad p = 2, \quad q = 4$$ Współrzędne wierzchołka paraboli wynoszą $W = (2, 4)$. Ponieważ $a = 2 > 0$, ramiona paraboli są skierowane ku górze.
Ocena stwierdzenia 1 (liczba miejsc zerowych):
Najmniejszą wartością przyjmowaną przez funkcję $f$ jest rzędna jej wierzchołka, czyli $y_{\min} = q = 4$. Oznacza to, że dla każdego rzeczywistego $x$: $$f(x) \ge 4 > 0$$ Wykres funkcji leży w całości powyżej osi $Ox$ i nie przecina jej w żadnym punkcie, zatem funkcja $f$ nie posiada żadnych rzeczywistych miejsc zerowych ($0$ miejsc zerowych).
Można to również sprawdzić algebraicznie: $$2(x - 2)^2 + 4 = 0 \iff 2(x - 2)^2 = -4 \iff (x - 2)^2 = -2$$ Kwadrat liczby rzeczywistej nie może być ujemny, więc równanie nie ma rozwiązań.
Stwierdzenie 1 jest FAŁSZYWE (F).
Ocena stwierdzenia 2 (oś symetrii) oraz szkic wykresu:
Osią symetrii paraboli o wierzchołku $W = (p, q)$ jest prosta pionowa o równaniu $x = p$. Ponieważ $p = 2$, osią symetrii wykresu funkcji $f$ jest prosta o równaniu $x = 2$.

Stwierdzenie 2 jest PRAWDZIWE (P).

Odpowiedź: 1 – F, 2 – P

Zadanie 13.2. (0–1)

Funkcja kwadratowa $f$ jest określona wzorem $f(x) = 2(x - 2)^2 + 4$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wzorem funkcji $f$ zapisanym w postaci ogólnej jest

A. $f(x) = 2x^2 - 4$

B. $f(x) = 2x^2 + 12$

C. $f(x) = 2x^2 - 4x + 12$

D. $f(x) = 2x^2 - 8x + 12$

Zadanie 14.1. (0–1)

Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n = 32 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-5}$ dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Trzeci wyraz ciągu $(a_n)$ jest równy

A. $8$

B. $64$

C. $128$

D. $256$

Zadanie 14.2. (0–1)

Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n = 32 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-5}$ dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Ciąg $(a_n)$ jest

A. arytmetyczny i rosnący.

B. arytmetyczny i malejący.

C. geometryczny i rosnący.

D. geometryczny i malejący.

Zadanie 15. (0–3)

Ciąg arytmetyczny $(a_n)$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$.

Suma $S_{10}$ dziesięciu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa $90$. Średnia arytmetyczna pierwszego, siódmego i ósmego wyrazu tego ciągu jest równa $10$.

Oblicz pierwszy wyraz i różnicę ciągu $(a_n)$. Zapisz obliczenia.

Wskazówki:

Skorzystaj ze wzoru na sumę $n$ początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego: $S_n = \dfrac{2a_1 + (n - 1)r}{2} \cdot n$.
Wyraź poszczególne wyrazy ciągu za pomocą pierwszego wyrazu $a_1$ oraz różnicy $r$, stosując zależność ogólną $a_n = a_1 + (n - 1)r$.
Ułóż i rozwiąż układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi $a_1$ oraz $r$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Zapisanie pierwszego równania z wykorzystaniem sumy $S_{10}$:
Wzór na sumę $10$ początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego ma postać: $$S_{10} = \dfrac{2a_1 + (10 - 1)r}{2} \cdot 10 = \dfrac{2a_1 + 9r}{2} \cdot 10 = (2a_1 + 9r) \cdot 5$$ Z treści zadania wiemy, że $S_{10} = 90$: $$5(2a_1 + 9r) = 90$$ Dzieląc obie strony przez $5$, otrzymujemy: $$2a_1 + 9r = 18$$
Zapisanie drugiego równania z wykorzystaniem średniej arytmetycznej:
Średnia arytmetyczna wyrazów $a_1$, $a_7$ oraz $a_8$ wynosi $10$: $$\dfrac{a_1 + a_7 + a_8}{3} = 10 \iff a_1 + a_7 + a_8 = 30$$ Wyrażamy wyrazy $a_7$ i $a_8$ za pomocą $a_1$ oraz różnicy $r$: $$a_7 = a_1 + 6r$$ $$a_8 = a_1 + 7r$$ Podstawiamy te zależności do równania: $$a_1 + (a_1 + 6r) + (a_1 + 7r) = 30$$ $$3a_1 + 13r = 30$$
Rozwiązanie układu równań liniowych:
Tworzymy układ złożony z obu wyprowadzonych równań: $$\begin{cases} 2a_1 + 9r = 18 \\ 3a_1 + 13r = 30 \end{cases}$$ Mnożymy pierwsze równanie przez $3$, a drugie przez $-2$, aby zastosować metodę przeciwnych współczynników: $$\begin{cases} 6a_1 + 27r = 54 \\ -6a_1 - 26r = -60 \end{cases}$$ Dodajemy równania stronami: $$(6a_1 - 6a_1) + (27r - 26r) = 54 - 60$$ $$r = -6$$ Podstawiamy wyznaczone $r = -6$ do pierwszego równania: $$2a_1 + 9 \cdot (-6) = 18$$ $$2a_1 - 54 = 18$$ $$2a_1 = 72$$ $$a_1 = 36$$

Odpowiedź: $a_1 = 36$, $r = -6$

Zadanie 16. (0–1)

Trzywyrazowy ciąg $(x, x + 4, 2x + 8)$, o wszystkich wyrazach dodatnich, jest geometryczny.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Iloraz tego ciągu jest równy

A. $(-4)$

B. $(-1)$

C. $2$

D. $4$

Zadanie 17. (0–1)

Kąt $\alpha$ jest ostry i spełnia warunek $\sin \alpha + \sin^2 \alpha = \cos \alpha - \cos^2 \alpha + 1$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Tangens kąta $\alpha$ jest równy

A. $\frac{1}{2}$

B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$

C. $1$

D. $2$

Zadanie 18. (0–1)

Cztery różne punkty: $A$, $B$, $C$ oraz $D$, leżą na okręgu o środku w punkcie $S$. Odcinek $AC$ jest średnicą tego okręgu. Cięciwa $BD$ przecina tę średnicę. Oznaczmy przez $\beta$ miarę kąta wpisanego $DBC$, natomiast przez $\gamma$ – miarę kąta wpisanego $ACD$ (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Suma $\beta + \gamma$ jest równa

A. $60^\circ$

B. $90^\circ$

C. $120^\circ$

D. $135^\circ$

Zadanie 19. (0–4)

W trapezie równoramiennym $ABCD$ przekątna $BD$ ma długość $39$ i tworzy z dłuższą podstawą $AB$ taki kąt ostry $\alpha$, że $\cos \alpha = \dfrac{12}{13}$.

Różnica długości podstaw $AB$ i $CD$ tego trapezu jest równa $40$.

Oblicz długość ramienia $AD$ tego trapezu. Zapisz obliczenia.

Wskazówki:

W trapezie równoramiennym wysokość poprowadzona z wierzchołka krótszej podstawy dzieli dłuższą podstawę na dwa odcinki o długościach $\dfrac{a-b}{2}$ oraz $\dfrac{a+b}{2}$.
Wykorzystaj trójkąt prostokątny utworzony przez wysokość trapezu, dłuższą część podstawy oraz przekątną – zastosuj definicję funkcji $\cos \alpha$ oraz twierdzenie Pitagorasa, aby obliczyć wysokość $h$.
Długość ramienia trapezu oblicz z twierdzenia Pitagorasa w mniejszym trójkącie prostokątnym (utworzonym przez ramię, wysokość oraz odcinek o długości $\dfrac{a-b}{2}$).

Rozwiązanie krok po kroku:

Wyznaczenie długości rzutu ramienia na podstawę ($|AE|$):
Oznaczmy długości podstaw jako $a = |AB|$ oraz $b = |CD|$. Niech punkt $E$ będzie spodkiem wysokości opuszczonej z wierzchołka $D$ na podstawę $AB$.
W trapezie równoramiennym odcinek $AE$ ma długość równą połowie różnicy podstaw: $$|AE| = \dfrac{a - b}{2}$$ Z treści zadania wiemy, że $a - b = 40$, stąd: $$|AE| = \dfrac{40}{2} = 20$$
Obliczenie długości odcinka $EB$ oraz wysokości trapezu $h = |DE|$:
Rozważamy trójkąt prostokątny $\triangle BED$ o kącie prostym przy wierzchołku $E$. Przeciwprostokątną tego trójkąta jest przekątna $|BD| = 39$, a kąt przy wierzchołku $B$ to kąt $\alpha$.
Z definicji cosinusa w trójkącie $\triangle BED$: $$\cos \alpha = \dfrac{|EB|}{|BD|}$$ $$|EB| = |BD| \cdot \cos \alpha = 39 \cdot \dfrac{12}{13} = 3 \cdot 12 = 36$$ Wysokość trapezu $h = |DE|$ obliczamy, stosując twierdzenie Pitagorasa w trójkącie $\triangle BED$: $$|DE|^2 + |EB|^2 = |BD|^2$$ $$|DE|^2 + 36^2 = 39^2$$ $$|DE|^2 + 1296 = 1521$$ $$|DE|^2 = 1521 - 1296 = 225$$ $$|DE| = \sqrt{225} = 15$$
Obliczenie długości ramienia $AD$:
Rozpatrujemy trójkąt prostokątny $\triangle AED$, w którym przyprostokątnymi są $|AE| = 20$ oraz $|DE| = 15$, a przeciwprostokątną jest szukane ramię $|AD|$.

Stosujemy twierdzenie Pitagorasa w trójkącie $\triangle AED$: $$|AD|^2 = |AE|^2 + |DE|^2$$ $$|AD|^2 = 20^2 + 15^2 = 400 + 225 = 625$$ $$|AD| = \sqrt{625} = 25$$

Odpowiedź: Długość ramienia $AD$ wynosi $25$.

Zadanie 20. (0–1)

W prostokątnym trójkącie równoramiennym przeciwprostokątna ma długość $8$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Obwód tego trójkąta jest równy

A. $4(\sqrt{2} + 2)$

B. $4(\sqrt{2} + 4)$

C. $8(\sqrt{2} + 1)$

D. $8(\sqrt{2} + 2)$

Zadanie 21. (0–1)

Trójkąt $ABC$ o bokach długości $|AB| = 6$, $|AC| = 9$ i $|BC| = 12$ jest podobny do trójkąta $KLM$ o obwodzie $36$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Najkrótszy bok trójkąta $KLM$ ma długość

A. $4$

B. $4{,}5$

C. $8$

D. $8{,}5$

Zadanie 22.1. (0–1)

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ punkty $A = (0, -6)$, $B = (4, 2)$ oraz $C = (0, 4)$ są wierzchołkami trójkąta prostokątnego.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Bok $AB$ tego trójkąta zawiera się w prostej o równaniu

A. $y = -x + 6$

B. $y = -x - 6$

C. $y = 2x + 6$

D. $y = 2x - 6$

Zadanie 22.2. (0–1)

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ punkty $A = (0, -6)$, $B = (4, 2)$ oraz $C = (0, 4)$ są wierzchołkami trójkąta prostokątnego.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Tangens kąta ostrego $CAB$ jest równy

A. $\dfrac{1}{2}$

B. $2$

C. $\dfrac{\sqrt{5}}{5}$

D. $\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$

Wskazówki:

Oblicz długości wszystkich trzech boków trójkąta $\triangle ABC$ na podstawie współrzędnych jego wierzchołków.
Sprawdź, które boki spełniają twierdzenie Pitagorasa, aby jednoznacznie ustalić, przy którym wierzchołku znajduje się kąt prosty oraz który bok jest przeciwprostokątną.
Wykorzystaj definicję tangensa kąta ostrego w trójkącie prostokątnym: $\tan \alpha$ to stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta do długości przyprostokątnej leżącej przy tym kącie.

Rozwiązanie krok po kroku:

Obliczenie długości boków trójkąta $\triangle ABC$:
Korzystamy ze wzoru na odległość między dwoma punktami $P_1=(x_1, y_1)$ oraz $P_2=(x_2, y_2)$: $|P_1P_2| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

Dla boku $AC$ (oba punkty leżą na osi $Oy$): $$|AC| = |4 - (-6)| = 10$$ Dla boku $AB$: $$|AB| = \sqrt{(4 - 0)^2 + (2 - (-6))^2} = \sqrt{4^2 + 8^2} = \sqrt{16 + 64} = \sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5}$$ Dla boku $BC$: $$|BC| = \sqrt{(4 - 0)^2 + (2 - 4)^2} = \sqrt{4^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$$
Weryfikacja kąta prostego i identyfikacja boków:
Sprawdzamy zależność twierdzenia Pitagorasa dla kwadratów długości boków: $$|AB|^2 + |BC|^2 = (\sqrt{80})^2 + (\sqrt{20})^2 = 80 + 20 = 100$$ $$|AC|^2 = 10^2 = 100$$ Ponieważ $|AB|^2 + |BC|^2 = |AC|^2$, trójkąt $\triangle ABC$ ma kąt prosty przy wierzchołku $B$ ($|\sphericalangle ABC| = 90^\circ$), a odcinek $AC$ jest jego przeciwprostokątną.
Obliczenie tangensa kąta $CAB$:
W trójkącie prostokątnym $\triangle ABC$ dla kąta ostrego $CAB$ (przy wierzchołku $A$):
- przyprostokątna leżąca naprzeciwko kąta to bok $BC$,
- przyprostokątna przyległa do kąta to bok $AB$.
Z definicji funkcji tangens otrzymujemy: $$\tan(\sphericalangle CAB) = \dfrac{|BC|}{|AB|} = \dfrac{2\sqrt{5}}{4\sqrt{5}} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$$

Odpowiedź: A

Zadanie 23.1. (0–1)

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ dany jest okrąg $\mathcal{O}$ o środku w punkcie $S = (-8, -6)$. Odcinek $AB$, gdzie $A = (4, -15)$ i $B = (-20, y_B)$, jest średnicą okręgu $\mathcal{O}$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Współrzędna $y_B$ punktu $B$ jest równa

A. $3$

B. $8$

C. $\left(-\dfrac{1}{2}\right)$

D. $\left(-\dfrac{9}{2}\right)$

Zadanie 23.2. (0–1)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Okrąg $\mathcal{O}$ jest określony równaniem

A. $(x + 8)^2 + (y + 6)^2 = 225$

B. $(x + 8)^2 + (y + 6)^2 = 441$

C. $(x - 8)^2 + (y - 6)^2 = 225$

D. $(x - 8)^2 + (y - 6)^2 = 441$

Zadanie 24. (0–1)

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ proste $k$ oraz $l$ są określone równaniami $$k\colon y = (m - 3)x + (m + 4)$$ $$l\colon y = -5x + 1$$

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Proste $k$ oraz $l$ są równoległe, gdy liczba $m$ jest równa

A. $(-5)$

B. $(-3)$

C. $(-2)$

D. $1$

Zadanie 25. (0–1)

Każda z krawędzi graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość $3$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Objętość tego graniastosłupa jest równa

A. $27$

B. $81$

C. $\dfrac{27\sqrt{3}}{4}$

D. $\dfrac{81\sqrt{3}}{2}$

Zadanie 26. (0–1)

Krawędź boczna ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość $12$ i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $60^\circ$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wysokość tego ostrosłupa jest równa

A. $6$

B. $3\sqrt{6}$

C. $6\sqrt{2}$

D. $6\sqrt{3}$

Zadanie 27. (0–1)

W pewnym ostrosłupie liczba wszystkich krawędzi jest o $9$ większa od liczby wszystkich wierzchołków.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Podstawą tego ostrosłupa jest

A. sześciokąt.

B. ośmiokąt.

C. dziewięciokąt.

D. dziesięciokąt.

Zadanie 28. (0–1)

Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek – od jednego oczka do sześciu oczek.
Zdarzenie $A$ polega na tym, że suma liczb wyrzuconych oczek będzie większa od $10$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ jest równe

A. $\dfrac{1}{36}$

B. $\dfrac{2}{36}$

C. $\dfrac{3}{36}$

D. $\dfrac{4}{36}$

Zadanie 29. (0–3)

Wśród $120$ osób przeprowadzono ankietę, w której zadano pytanie: Ile godzin snu potrzebujesz, aby być wypoczętym?. Każdy z ankietowanych zaznaczył dokładnie jedną odpowiedź. Wyniki ankiety przedstawiono w poniższej tabeli.

Deklarowana liczba godzin snu	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$
Liczba osób, które zadeklarowały daną liczbę godzin snu	$6$	$4$	$14$	$36$	$38$	$10$	$12$

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.

1. Mediana deklarowanej liczby godzin snu przez osoby uczestniczące w ankiecie jest równa ........... .
2. Dominanta deklarowanej liczby godzin snu przez osoby uczestniczące w ankiecie jest równa ........... .
3. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że jedna osoba wybrana losowo spośród ankietowanych zadeklarowała $10$ godzin snu, jest równe ........... .

Wskazówki:

Dla parzystej liczby uporządkowanych danych ($N = 120$) mediana to średnia arytmetyczna dwóch środkowych wyrazów (o numerach $60$ i $61$).
Dominanta (moda) to wartość, która występuje w badanej grupie najczęściej (ma największą liczebność).
Prawdopodobieństwo klasyczne to stosunek liczby osób spełniających dany warunek do całkowitej liczby badanych osób: $P(A) = \dfrac{|A|}{|\Omega|}$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Wyznaczenie mediany deklarowanej liczby godzin snu:
Liczba wszystkich ankietowanych wynosi $N = 120$ (liczba parzysta). Po uporządkowaniu wyników niemalejąco, mediana jest średnią arytmetyczną wyrazów znajdujących się na $60.$ oraz $61.$ pozycji: $$\text{Me} = \dfrac{x_{60} + x_{61}}{2}$$ Sumujemy kolejno liczby osób, aby ustalić wartości na tych pozycjach:
- $4$ godziny: pozycje od $1$ do $6$ ($6$ osób)
- $5$ godzin: pozycje od $7$ do $10$ ($6 + 4 = 10$ osób)
- $6$ godzin: pozycje od $11$ do $24$ ($10 + 14 = 24$ osoby)
- $7$ godzin: pozycje od $25$ do $60$ ($24 + 36 = 60$ osób) $\rightarrow$ na pozycji $60.$ znajduje się liczba $7$ ($x_{60} = 7$)
- $8$ godzin: pozycje od $61$ do $98$ ($60 + 38 = 98$ osób) $\rightarrow$ na pozycji $61.$ znajduje się liczba $8$ ($x_{61} = 8$)
Obliczamy medianę: $$\text{Me} = \dfrac{7 + 8}{2} = \dfrac{15}{2} = 7{,}5$$
Wyznaczenie dominanty (mody):
Dominanta to wartość cechy o największej liczbie wskazań w tabeli. Porównujemy liczebności:
- $4$ godz. $\rightarrow 6$ osób
- $5$ godz. $\rightarrow 4$ osoby
- $6$ godz. $\rightarrow 14$ osób
- $7$ godz. $\rightarrow 36$ osób
- $8$ godz. $\rightarrow 38$ osób (największa liczebność)
- $9$ godz. $\rightarrow 10$ osób
- $10$ godz. $\rightarrow 12$ osób
Najwięcej osób ($38$) zadeklarowało $8$ godzin snu, zatem dominanta wynosi $D = 8$.
Obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia:
Zdarzenie $A$ polega na wylosowaniu osoby, która zadeklarowała $10$ godzin snu.
Liczba wszystkich możliwych wyników to całkowita liczba ankietowanych: $$|\Omega| = 120$$ Liczba osób, które zadeklarowały $10$ godzin snu (zdarzenia sprzyjające): $$|A| = 12$$ Korzystając z klasycznej definicji prawdopodobieństwa: $$P(A) = \dfrac{|A|}{|\Omega|} = \dfrac{12}{120} = \dfrac{1}{10} = 0{,}1$$

Odpowiedź: 1. $7{,}5$ | 2. $8$ | 3. $\dfrac{1}{10}$ (lub $0{,}1$)

Zadanie 30. (0–4)

Rozważamy wszystkie walce, w których suma średnicy podstawy walca i wysokości walca jest równa $10$.
Niech $P(r)$ oznacza pole powierzchni bocznej takiego walca w zależności od promienia $r$ podstawy walca.

Wyznacz wzór i dziedzinę funkcji $P$ zmiennej $r$.
Oblicz promień $r$ podstawy tego z rozważanych walców, którego pole powierzchni bocznej jest największe. Zapisz obliczenia.

Wskazówki:

Zdefiniuj średnicę podstawy jako $d = 2r$ i zapisz zależność między średnicą a wysokością walca $h$: $2r + h = 10$.
Wyznacz wysokość $h$ w zależności od promienia $r$ i uwzględnij warunki geometryczne ($r > 0$ oraz $h > 0$), aby wyznaczyć dziedzinę funkcji.
Podstaw wyznaczoną wysokość $h$ do wzoru na pole powierzchni bocznej walca $P_b = 2\pi r h$, otrzymując funkcję kwadratową zmiennej $r$.
Ponieważ współczynnik przy najwyższej potędze jest ujemny, funkcja osiąga wartość największą w wierzchołku paraboli ($r = p = -\dfrac{b}{2a}$).

Rozwiązanie krok po kroku:

Wyznaczenie zależności między wysokością a promieniem oraz ustalenie dziedziny:
Oznaczmy:
- $r$ – promień podstawy walca,
- $d = 2r$ – średnica podstawy walca,
- $h$ – wysokość walca.
Z treści zadania suma średnicy i wysokości walca wynosi $10$: $$2r + h = 10 \implies h = 10 - 2r$$ Wymiary walca muszą być liczbami ściśle dodatnimi: $$\begin{cases} r > 0 \\ h > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} r > 0 \\ 10 - 2r > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} r > 0 \\ 2r < 10 \end{cases} \iff \begin{cases} r > 0 \\ r < 5 \end{cases}$$ Zatem dziedziną funkcji jest przedział: $$D = (0, 5)$$
Wyznaczenie wzoru funkcji pola powierzchni bocznej $P(r)$:
Wzór na pole powierzchni bocznej walca ma postać: $$P_b = 2\pi r h$$ Wstawiając zależność $h = 10 - 2r$, otrzymujemy funkcję zmiennej $r$: $$P(r) = 2\pi r(10 - 2r)$$ $$P(r) = 20\pi r - 4\pi r^2 = -4\pi r^2 + 20\pi r$$
Wyznaczenie promienia $r$, dla którego pole powierzchni bocznej jest największe:
Otrzymana funkcja $P(r) = -4\pi r^2 + 20\pi r$ jest funkcją kwadratową, gdzie: $$a = -4\pi, \quad b = 20\pi, \quad c = 0$$ Ponieważ współczynnik kierunkowy $a = -4\pi < 0$, ramiona paraboli są skierowane w dół, a funkcja osiąga swoją największą wartość w wierzchołku paraboli dla argumentu $r = r_w$: $$r_w = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{20\pi}{2 \cdot (-4\pi)} = \dfrac{20\pi}{8\pi} = \dfrac{20}{8} = \dfrac{5}{2} = 2{,}5$$ Sprawdzamy, czy otrzymany promień należy do dziedziny funkcji: $$2{,}5 \in (0, 5)$$ Warunek jest spełniony, co oznacza, że pole powierzchni bocznej walca jest największe dla promienia $r = 2{,}5$.

Odpowiedź: Wzór funkcji: $P(r) = -4\pi r^2 + 20\pi r$, dziedzina: $D = (0, 5)$, promień o największym polu bocznym: $r = 2{,}5$ (lub $r = \dfrac{5}{2}$).

Deklarowana liczba godzin snu	\(4\)	\(5\)	\(6\)	\(7\)	\(8\)	\(9\)	\(10\)
Liczba osób, które zadeklarowały daną liczbę godzin snu	\(6\)	\(4\)	\(14\)	\(36\)	\(38\)	\(10\)	\(12\)

Sierpień 2026 – matematyka – poziom podstawowy

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Witaj na Liczbit 👋