Wykres funkcji kartkówka LiczBit

3.2 Wykres funkcji

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1 (3 pkt)

Który zbiór punktów jest wykresem pewnej funkcji zmiennej $x$? Odpowiedź uzasadnij.

Wskazówki:

Zbiór punktów na płaszczyźnie jest wykresem funkcji zmiennej $x$, gdy każdemu argumentowi $x$ odpowiada dokładnie jedna wartość $y$.
Stosujemy test pionowej prostej: jeżeli jakakolwiek prosta pionowa o równaniu $x = c$ przecina wykres w więcej niż jednym punkcie, zbiór nie przedstawia funkcji.
Kółko zamalowane oznacza przynależność punktu do wykresu, natomiast kółko otwarte oznacza, że dany punkt nie należy do wykresu.

Rozwiązanie krok po kroku:

Analiza podpunktu a) – test pojedynczego przyporządkowania:
Dla każdego argumentu $x \in \langle -4, 4\rangle$ istnieje dokładnie jeden odpowiadający mu punkt na łamanej. Dowolna prosta pionowa $x = c$ przecina wykres co najwyżej w jednym punkcie.
Wniosek: Wykres jest wykresem funkcji.
Analiza podpunktu b) – wielokrotne przecięcie na pętli:
Prowadząc prostą pionową $x = 1$, otrzymujemy aż 3 punkty przecięcia z wykresem. Jednemu argumentowi $x = 1$ przypisane są trzy różne wartości $y$.
Wniosek: Zbiór nie jest wykresem funkcji.
Analiza podpunktu c) – weryfikacja punktu brzegowego:
Dla $x \in \{-4, -3, -2\}$ mamy pojedyncze punkty. W punkcie $x = -2$ do zbioru należy wyłącznie punkt $(-2, -1)$, ponieważ punkt $(-2, 2)$ jest otwarty (nie należy do wykresu). Dla $x > -2$ półprosta wyznacza dokładnie jedną wartość $y = 2$.
Wniosek: Wykres jest wykresem funkcji.
Analiza podpunktu d) – nieskończenie wiele wartości:
Dla argumentu $x = -2$ wykres tworzy odcinek pionowy, co oznacza, że jednemu argumentowi odpowiada nieskończenie wiele wartości $y \in (-3, 3\rangle$. Prosta pionowa pokrywa się z wykresem.
Wniosek: Zbiór nie jest wykresem funkcji.
Analiza podpunktu e) – łączenia przedziałów:
W punktach zmiany wzoru mamy:
- dla $x = -2$: wartość wynosi $y = -2$ (kółko zamalowane), natomiast punkt $(-2, 1)$ jest otwarty,
- dla $x = 2$: wartość wynosi $y = 2$ (kółko zamalowane), natomiast punkt $(2, 0)$ jest otwarty.
Każdemu argumentowi $x \in \langle -4, 4\rangle$ odpowiada dokładnie jeden punkt na wykresie.
Wniosek: Wykres jest wykresem funkcji.
Analiza podpunktu f) – nakładanie się ramion wykresu:
Dla przedziału $x \in (-1, 3)$ (np. dla $x = 1$) prosta pionowa przecina wykres dwukrotnie: na górnym oraz na dolnym odcinku.
Wniosek: Zbiór nie jest wykresem funkcji.

Odpowiedź: Wykresami funkcji zmiennej $x$ są zbiory punktów z podpunktów a), c) oraz e).

Zadanie 2 (3 pkt)

Dany jest zbiór $A = \left\{ \sqrt[3]{-27}, \log_3 81, \sqrt[3]{-8}, \dfrac{1}{2}\log_2 8, \log_4 32 - \log_4 2 \right\}$. Funkcja $f$ każdej liczbie ze zbioru $A$ przyporządkowuje liczbę o $2$ od niej większą.
a) Narysuj wykres tej funkcji.
b) Napisz wzór funkcji $f$.

Wskazówki:

Oblicz najpierw wartość każdego z wyrażeń znajdujących się w zbiorze $A$, korzystając z własności potęg, pierwiastków oraz logarytmów (np. $\log_a x - \log_a y = \log_a \frac{x}{y}$).
Zapisz zbiór $A$ w najprostszej postaci – stanowi on dziedzinę funkcji $f$.
Przyporządkowanie „liczba o 2 większa” oznacza zależność $f(x) = x + 2$. Oblicz wartości funkcji dla wszystkich argumentów ze zbioru $A$.
Pamiętaj, że dziedzina jest zbiorem skończonym, więc wykresem funkcji nie jest ciągła prosta, lecz zbiór pojedynczych punktów.

Rozwiązanie krok po kroku:

Uproszczenie wszystkich elementów zbioru $A$:
Obliczamy wartości poszczególnych liczb wchodzących w skład zbioru $A$: $$\sqrt[3]{-27} = -3 \quad \text{ponieważ} \quad (-3)^3 = -27$$ $$\log_3 81 = 4 \quad \text{ponieważ} \quad 3^4 = 81$$ $$\sqrt[3]{-8} = -2 \quad \text{ponieważ} \quad (-2)^3 = -8$$ $$\dfrac{1}{2}\log_2 8 = \dfrac{1}{2} \cdot 3 = \dfrac{3}{2} = 1{,}5$$ $$\log_4 32 - \log_4 2 = \log_4\left(\dfrac{32}{2}\right) = \log_4 16 = 2 \quad \text{ponieważ} \quad 4^2 = 16$$ Zatem dziedzina funkcji $f$ to zbiór: $$A = \left\{-3, -2, 1\dfrac{1}{2}, 2, 4\right\}$$
Wyznaczenie wartości funkcji dla każdego argumentu:
Funkcja $f$ przyporządkowuje każdemu argumentowi liczbę o $2$ większą, czyli dodajemy $2$ do każdego elementu: $$f(-3) = -3 + 2 = -1 \implies (-3, -1)$$ $$f(-2) = -2 + 2 = 0 \implies (-2, 0)$$ $$f(1{,}5) = 1{,}5 + 2 = 3{,}5 \implies (1{,}5;\; 3{,}5)$$ $$f(2) = 2 + 2 = 4 \implies (2, 4)$$ $$f(4) = 4 + 2 = 6 \implies (4, 6)$$
Sporządzenie wykresu funkcji $f$:
Zaznaczamy w kartezjańskim układzie współrzędnych pięć wyznaczonych punktów. Ponieważ dziedzina składa się tylko z pięciu liczb, punktów nie łączymy linią ciągłą.
Zapisanie wzoru funkcji $f$:
Relacja polega na dodaniu liczby $2$ do każdego argumentu $x$, pamiętając o określeniu dziedziny: $$f(x) = x + 2 \quad \text{dla} \quad x \in \left\{-3, -2, 1\dfrac{1}{2}, 2, 4\right\}$$

Odpowiedź:
a) Wykres funkcji stanowią punkty: $(-3, -1)$, $(-2, 0)$, $(1{,}5;\; 3{,}5)$, $(2, 4)$, $(4, 6)$.
b) $f(x) = x + 2$ dla $x \in \left\{-3, -2, 1\frac{1}{2}, 2, 4\right\}$.

Zadanie 3 (3 pkt)

Narysuj wykres funkcji $f$, jeśli:

a) $f(x) = \begin{cases} 2, & \text{jeśli } x \in \{-3, -2, -1, 0\} \\ -\sqrt{x}, & \text{jeśli } x \in \{1, 4, 9\} \end{cases}$

b) $f(x) = \begin{cases} \dfrac{4}{x}, & \text{jeśli } x \in \{-4, -2, -1, 1, 2, 4\} \\ 3x, & \text{jeśli } x = 0 \end{cases}$

Podaj współrzędne punktu wspólnego wykresu funkcji $f$ i osi $OY$.

Wskazówki:

Dziedzina funkcji składa się ze skończonej liczby pojedynczych argumentów, dlatego wykresem funkcji będzie zbiór odosobnionych punktów (nie łączymy ich linią ciągłą).
Punkt wspólny wykresu z osią $OY$ to punkt, dla którego pierwsza współrzędna wynosi zero ($x = 0$). Jego współrzędne to $(0, f(0))$.
Dla każdego podanego argumentu oblicz wartość $f(x)$ według odpowiedniego wzoru przypisanego do danej części dziedziny.

Rozwiązanie krok po kroku:

Wyznaczenie punktów oraz sporządzenie wykresu dla podpunktu a):
Dziedziną funkcji jest zbiór $D = \{-3, -2, -1, 0, 1, 4, 9\}$. Obliczamy wartości funkcji dla poszczególnych argumentów:

Dla $x \in \{-3, -2, -1, 0\}$ wartość wynosi stale $2$: $$f(-3) = 2 \implies (-3, 2)$$ $$f(-2) = 2 \implies (-2, 2)$$ $$f(-1) = 2 \implies (-1, 2)$$ $$f(0) = 2 \implies (0, 2)$$ Dla $x \in \{1, 4, 9\}$ wartość obliczamy ze wzoru $-\sqrt{x}$: $$f(1) = -\sqrt{1} = -1 \implies (1, -1)$$ $$f(4) = -\sqrt{4} = -2 \implies (4, -2)$$ $$f(9) = -\sqrt{9} = -3 \implies (9, -3)$$ Punktem wspólnym z osią $OY$ jest punkt dla argumentu $x = 0$, czyli $(0, 2)$.
Wyznaczenie punktów oraz sporządzenie wykresu dla podpunktu b):
Dziedziną funkcji jest zbiór $D = \{-4, -2, -1, 0, 1, 2, 4\}$. Obliczamy wartości dla każdego argumentu:

Dla $x \neq 0$ korzystamy ze wzoru $\dfrac{4}{x}$: $$f(-4) = \dfrac{4}{-4} = -1 \implies (-4, -1)$$ $$f(-2) = \dfrac{4}{-2} = -2 \implies (-2, -2)$$ $$f(-1) = \dfrac{4}{-1} = -4 \implies (-1, -4)$$ $$f(1) = \dfrac{4}{1} = 4 \implies (1, 4)$$ $$f(2) = \dfrac{4}{2} = 2 \implies (2, 2)$$ $$f(4) = \dfrac{4}{4} = 1 \implies (4, 1)$$ Dla $x = 0$ korzystamy ze wzoru $3x$: $$f(0) = 3 \cdot 0 = 0 \implies (0, 0)$$ Punktem wspólnym wykresu z osią $OY$ jest początek układu współrzędnych, czyli $(0, 0)$.

Odpowiedź: a) Punkt wspólny z osią $OY$: $(0, 2)$; b) Punkt wspólny z osią $OY$: $(0, 0)$

Zadanie 4 (3 pkt)

Naszkicuj wykres funkcji $f$, jeśli:

a) $f(x) = x, \quad x \in \langle -2, 3)$
b) $f(x) = -x, \quad x \in \{-3, -1\} \cup (1, 4\rangle$
c) $f(x) = \sqrt{x}, \quad x \in \langle 0, 4) \cup \{9\}$
d) $f(x) = -\sqrt{x}, \quad x \in (0, 1\rangle \cup \langle 4, +\infty)$

Wskazówki:

Rozpoznaj kształt bazowy funkcji: $f(x)=x$ i $f(x)=-x$ to proste, natomiast $f(x)=\sqrt{x}$ i $f(x)=-\sqrt{x}$ to gałęzie paraboli położone w odpowiednich ćwiartkach.
Zwróć uwagę na rodzaj nawiasów w dziedzinie: nawias ostrokątny $\langle$ lub $\rangle$ oznacza koniec należący do dziedziny (kółko zamalowane), a nawias okrągły $($ lub $)$ oznacza punkt nienależący (kółko puste/niezamalowane).
Pojedyncze elementy zbioru podane w nawiasach klamrowych $\{ \}$ zaznaczamy na wykresie jako wyizolowane punkty.

Rozwiązanie krok po kroku:

Szkicowanie wykresu funkcji $f(x) = x$ dla $x \in \langle -2, 3)$:
Wykres funkcji to fragment prostej $y = x$ (dwusiecznej I i III ćwiartki). Obliczamy wartości funkcji na krańcach przedziału: $$f(-2) = -2, \quad f(3) = 3$$ Dla $x = -2$ przedział jest domknięty, więc punkt $(-2, -2)$ zaznaczamy jako kółko zamalowane. Dla $x = 3$ przedział jest otwarty, zatem punkt $(3, 3)$ oznaczamy kółkiem niezamalowanym. Łączymy te punkty odcinkiem prostoliniowym.
Szkicowanie wykresu funkcji $f(x) = -x$ dla $x \in \{-3, -1\} \cup (1, 4\rangle$:
Dziedzina składa się z dwóch punktów izolowanych oraz jednego przedziału. Obliczamy wartości dla każdego elementu: $$f(-3) = -(-3) = 3 \implies \text{punkt } (-3, 3)$$ $$f(-1) = -(-1) = 1 \implies \text{punkt } (-1, 1)$$ Dla przedziału $x \in (1, 4\rangle$ wyznaczamy punkty brzegowe odcinka: $$f(1) = -1 \implies (1, -1) \quad (\text{kółko niezamalowane})$$ $$f(4) = -4 \implies (4, -4) \quad (\text{kółko zamalowane})$$
Szkicowanie wykresu funkcji $f(x) = \sqrt{x}$ dla $x \in \langle 0, 4) \cup \{9\}$:
Bazowy wykres funkcji $y = \sqrt{x}$ to górna połowa paraboli skierowanej w prawo. Wyznaczamy punkty na podanych zbiorach: $$f(0) = \sqrt{0} = 0 \implies (0, 0) \quad (\text{kółko zamalowane})$$ $$f(1) = \sqrt{1} = 1 \implies (1, 1)$$ $$f(4) = \sqrt{4} = 2 \implies (4, 2) \quad (\text{kółko niezamalowane})$$ Dla punktu izolowanego $x = 9$: $$f(9) = \sqrt{9} = 3 \implies (9, 3) \quad (\text{kółko zamalowane})$$
Szkicowanie wykresu funkcji $f(x) = -\sqrt{x}$ dla $x \in (0, 1\rangle \cup \langle 4, +\infty)$:
Wykres funkcji $y = -\sqrt{x}$ powstaje przez odbicie wykresu $y = \sqrt{x}$ względem osi $OX$ i leży w IV ćwiartce układu współrzędnych.
Dla przedziału $(0, 1\rangle$: $$f(0) = -\sqrt{0} = 0 \implies (0, 0) \quad (\text{kółko niezamalowane})$$ $$f(1) = -\sqrt{1} = -1 \implies (1, -1) \quad (\text{kółko zamalowane})$$ Dla przedziału $\langle 4, +\infty)$ wykres zaczyna się w punkcie domkniętym i biegnie nieograniczenie w prawo w dół: $$f(4) = -\sqrt{4} = -2 \implies (4, -2) \quad (\text{kółko zamalowane})$$ $$f(9) = -\sqrt{9} = -3 \implies (9, -3)$$

Odpowiedź: Wykresy funkcji zostały przedstawione powyżej dla każdego z podpunktów a)–d).

Zadanie 5 (3 pkt)

Oblicz współrzędne punktu wspólnego wykresu funkcji $f$ z osią $OX$, a następnie współrzędne punktu wspólnego tego wykresu z osią $OY$, jeżeli:

a) $f(x) = \dfrac{5x + 10}{2}, \quad x \in \mathbb{R}$

b) $f(x) = 12 - 4x, \quad x \in \mathbb{R}$

c) $f(x) = 3(x - 2)(x - 4), \quad x \in \mathbb{R}$

d) $f(x) = (x + 3)^2, \quad x \in \mathbb{R}$

Wskazówki:

Współrzędne punktu przecięcia z osią $OX$ to $(x, 0)$, gdzie $x$ spełnia równanie $f(x) = 0$.
Współrzędne punktu przecięcia z osią $OY$ to $(0, y)$, gdzie $y = f(0)$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Rozwiązanie podpunktu a) dla funkcji $f(x) = \dfrac{5x + 10}{2}$:
Przyrównujemy funkcję do zera, aby znaleźć punkt na osi $OX$: $$\dfrac{5x + 10}{2} = 0 \implies 5x + 10 = 0 \implies 5x = -10 \implies x = -2$$ Punkt przecięcia z osią $OX$ to $(-2, 0)$.

Obliczamy wartość funkcji dla $x = 0$, aby znaleźć punkt na osi $OY$: $$f(0) = \dfrac{5 \cdot 0 + 10}{2} = \dfrac{10}{2} = 5$$ Punkt przecięcia z osią $OY$ to $(0, 5)$.
Rozwiązanie podpunktu b) dla funkcji $f(x) = 12 - 4x$:
Szukamy punktu na osi $OX$: $$12 - 4x = 0 \implies 4x = 12 \implies x = 3$$ Punkt przecięcia z osią $OX$ to $(3, 0)$.

Szukamy punktu na osi $OY$: $$f(0) = 12 - 4 \cdot 0 = 12$$ Punkt przecięcia z osią $OY$ to $(0, 12)$.
Rozwiązanie podpunktu c) dla funkcji $f(x) = 3(x - 2)(x - 4)$:
Szukamy punktów przecięcia z osią $OX$: $$3(x - 2)(x - 4) = 0 \implies x - 2 = 0 \quad \text{lub} \quad x - 4 = 0$$ $$x = 2 \quad \text{lub} \quad x = 4$$ Punkty przecięcia z osią $OX$ to $(2, 0)$ oraz $(4, 0)$.

Szukamy punktu przecięcia z osią $OY$: $$f(0) = 3(0 - 2)(0 - 4) = 3 \cdot (-2) \cdot (-4) = 24$$ Punkt przecięcia z osią $OY$ to $(0, 24)$.
Rozwiązanie podpunktu d) dla funkcji $f(x) = (x + 3)^2$:
Szukamy punktu na osi $OX$: $$(x + 3)^2 = 0 \implies x + 3 = 0 \implies x = -3$$ Wykres styka się z osią $OX$ w punkcie $(-3, 0)$.

Szukamy punktu na osi $OY$: $$f(0) = (0 + 3)^2 = 3^2 = 9$$ Punkt przecięcia z osią $OY$ to $(0, 9)$.

Odpowiedź:
a) Oś $OX$: $(-2, 0)$, Oś $OY$: $(0, 5)$
b) Oś $OX$: $(3, 0)$, Oś $OY$: $(0, 12)$
c) Oś $OX$: $(2, 0)$ oraz $(4, 0)$, Oś $OY$: $(0, 24)$
d) Oś $OX$: $(-3, 0)$, Oś $OY$: $(0, 9)$

Grupa B

Zadanie 1 (3 pkt)

Który zbiór punktów jest wykresem pewnej funkcji zmiennej $x$? Odpowiedź uzasadnij.

Zadanie 2 (3 pkt)

Dany jest zbiór $A = \left\{ \sqrt[3]{-8}, \log_2\left(\dfrac{1}{2}\right), \sqrt{16}, \dfrac{1}{2}\log_2 8, \log_2 40 - \log_2 5 \right\}$. Funkcja $f$ każdej liczbie ze zbioru $A$ przyporządkowuje liczbę o $3$ od niej mniejszą.
a) Narysuj wykres tej funkcji.
b) Napisz wzór funkcji $f$.

Zadanie 3 (3 pkt)

Narysuj wykres funkcji $f$, jeśli:

a) $f(x) = \begin{cases} -1, & \text{jeśli } x \in \{-4, -2, 0\} \\ \sqrt{x}, & \text{jeśli } x \in \{1, 4, 9\} \end{cases}$

b) $f(x) = \begin{cases} -\dfrac{2}{x}, & \text{jeśli } x \in \left\{-2, -1, -\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2}, 1, 2\right\} \\ 4x - 2, & \text{jeśli } x = 0 \end{cases}$

Podaj współrzędne punktu wspólnego wykresu funkcji $f$ i osi $OY$.

Zadanie 4 (3 pkt)

Naszkicuj wykres funkcji $f$, jeśli:

a) $f(x) = x, \quad x \in (-\infty, -1) \cup \langle 1, 3\rangle$
b) $f(x) = -x, \quad x \in \langle -4, 0) \cup \{2, 4\}$
c) $f(x) = \sqrt{x}, \quad x \in \{0\} \cup (1, 4\rangle \cup \{9\}$
d) $f(x) = -\sqrt{x}, \quad x \in \langle 0, 4) \cup (4, 9\rangle$

Wskazówki:

Dla przedziałów nieograniczonych (z symbolem $-\infty$ lub $+\infty$) wykres rysujemy jako półprostą lub krzywą ciągnącą się do krawędzi układu współrzędnych.
Jeśli punkt graniczny jest wyłączony z obu sąsiadujących przedziałów (lub jeden punkt jest "wycięty" ze środka dziedziny), w tym miejscu na wykresie pojawia się wyraźna "dziura" (kółko niezamalowane).
Pojedyncze punkty ze zbioru dyskretnego $\{ \dots \}$ nanosimy jako zamalowane kropki o współrzędnych $(x, f(x))$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Szkicowanie wykresu funkcji $f(x) = x$ dla $x \in (-\infty, -1) \cup \langle 1, 3\rangle$:
Dla $x \in (-\infty, -1)$ wykresem jest półprosta biegnąca w dół i w lewo wzdłuż prostej $y = x$, zakończona kółkiem niezamalowanym w punkcie: $$f(-1) = -1 \implies (-1, -1) \quad (\text{kółko niezamalowane})$$ Dla $x \in \langle 1, 3\rangle$ mamy odcinek łączący punkty: $$f(1) = 1 \implies (1, 1) \quad (\text{kółko zamalowane})$$ $$f(3) = 3 \implies (3, 3) \quad (\text{kółko zamalowane})$$
Szkicowanie wykresu funkcji $f(x) = -x$ dla $x \in \langle -4, 0) \cup \{2, 4\}$:
Dla przedziału $x \in \langle -4, 0)$ wyznaczamy punkty brzegowe odcinka: $$f(-4) = -(-4) = 4 \implies (-4, 4) \quad (\text{kółko zamalowane})$$ $$f(0) = -0 = 0 \implies (0, 0) \quad (\text{kółko niezamalowane})$$ Dla punktów pojedynczych ze zbioru $\{2, 4\}$: $$f(2) = -2 \implies (2, -2) \quad (\text{kółko zamalowane})$$ $$f(4) = -4 \implies (4, -4) \quad (\text{kółko zamalowane})$$
Szkicowanie wykresu funkcji $f(x) = \sqrt{x}$ dla $x \in \{0\} \cup (1, 4\rangle \cup \{9\}$:
Obliczamy wartości funkcji w poszczególnych podzbiorach: $$f(0) = \sqrt{0} = 0 \implies (0, 0) \quad (\text{kółko zamalowane})$$ Dla przedziału $x \in (1, 4\rangle$: $$f(1) = \sqrt{1} = 1 \implies (1, 1) \quad (\text{kółko niezamalowane})$$ $$f(4) = \sqrt{4} = 2 \implies (4, 2) \quad (\text{kółko zamalowane})$$ Dla pojedynczego punktu $x = 9$: $$f(9) = \sqrt{9} = 3 \implies (9, 3) \quad (\text{kółko zamalowane})$$
Szkicowanie wykresu funkcji $f(x) = -\sqrt{x}$ dla $x \in \langle 0, 4) \cup (4, 9\rangle$:
Zauważmy, że dziedziną jest cały przedział $\langle 0, 9\rangle$ z wyłączeniem jednego punktu $x = 4$. Wyznaczamy punkty charakterystyczne: $$f(0) = -\sqrt{0} = 0 \implies (0, 0) \quad (\text{kółko zamalowane})$$ $$f(4) = -\sqrt{4} = -2 \implies (4, -2) \quad (\text{kółko niezamalowane - dziura w wykresie})$$ $$f(9) = -\sqrt{9} = -3 \implies (9, -3) \quad (\text{kółko zamalowane})$$ Rysujemy ciągłą gałąź pierwiastkową od $(0, 0)$ do $(9, -3)$ z "wyciętym" punktem $(4, -2)$.

Odpowiedź: Wykresy funkcji zostały przedstawione powyżej dla każdego z podpunktów a)–d).

Zadanie 5 (3 pkt)

Oblicz współrzędne punktu wspólnego wykresu funkcji $f$ z osią $OX$, a następnie współrzędne punktu wspólnego tego wykresu z osią $OY$, jeżeli:

a) $f(x) = \dfrac{3x - 12}{4}, \quad x \in \mathbb{R}$

b) $f(x) = 6 - 3x, \quad x \in \mathbb{R}$

c) $f(x) = 2(x - 3)(x + 1), \quad x \in \mathbb{R}$

d) $f(x) = (x - 4)^2, \quad x \in \mathbb{R}$

3.2 Wykres funkcji

Grupa A

Zadanie 1 (3 pkt)

Zadanie 2 (3 pkt)

Zadanie 3 (3 pkt)

Zadanie 4 (3 pkt)

Zadanie 5 (3 pkt)

Grupa B

Zadanie 1 (3 pkt)

Zadanie 2 (3 pkt)

Zadanie 3 (3 pkt)

Zadanie 4 (3 pkt)

Zadanie 5 (3 pkt)

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Witaj na Liczbit 👋