Pojęcie funkcji LiczBit

3.1 Pojęcie funkcji. Funkcja liczbowa. Sposoby opisywania funkcji

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1 (4 pkt)

Który z poniższych grafów przedstawia funkcję odwzorowującą zbiór $X$ w zbiór $Y$? Odpowiedź uzasadnij. Dla grafów będących funkcjami wyznacz dziedzinę oraz zbiór wartości.

Wskazówki (jak rozpoznać funkcję na grafie):

Przyporządkowanie ze zbioru $X$ w zbiór $Y$ jest funkcją, gdy z każdego elementu dziedziny $X$ wychodzi dokładnie jedna strzałka.
Graf nie jest funkcją, jeśli choć jeden punkt zbioru $X$ nie ma strzałki (brak przypisania) lub wychodzą z niego co najmniej dwie strzałki (brak jednoznaczności).

Rozwiązanie krok po kroku:

Analiza grafu a):
Z każdego elementu dziedziny $X = \{1, 2, 3\}$ wychodzi dokładnie jedna strzałka: $$1 \to m, \quad 2 \to n, \quad 3 \to m$$ Każdy element ma jednoznacznie przypisaną wartość ze zbioru $Y$. Dopuszczalne jest, aby dwa różne argumenty ($1$ i $3$) przyjmowały tę samą wartość $m$.
Wniosek: Graf a) jest grafem funkcji.
$$\text{Dziedzina: } X = \{1, 2, 3\}$$ $$\text{Zbiór wartości: } Z_f = \{m, n\}$$
Analiza grafu b):
Z elementu $c \in X$ wychodzą dwie strzałki (do wartości $5$ oraz $6$). Oznacza to brak jednoznaczności przyporządkowania dla argumentu $c$.
Wniosek: Graf b) nie jest grafem funkcji.
Analiza grafu c):
Z elementu $z \in X$ nie wychodzi żadna strzałka. Oznacza to, że element $z$ nie posiada przyporządkowanej wartości ze zbioru $Y$.
Wniosek: Graf c) nie jest grafem funkcji.
Analiza grafu d):
Z każdego elementu zbioru $X = \{\alpha, \beta, \gamma\}$ wychodzi dokładnie jedna strzałka: $$\alpha \to 30, \quad \beta \to 10, \quad \gamma \to 20$$ Każdemu argumentowi ze zbioru $X$ przyporządkowano dokładnie jedną wartość ze zbioru $Y$.
Wniosek: Graf d) jest grafem funkcji.
$$\text{Dziedzina: } X = \{\alpha, \beta, \gamma\}$$ $$\text{Zbiór wartości: } Z_f = \{10, 20, 30\}$$

Odpowiedź: Grafami funkcji są grafy a) oraz d).
• Dla grafu a): dziedzina $X = \{1, 2, 3\}$, zbiór wartości $Z_f = \{m, n\}$.
• Dla grafu d): dziedzina $X = \{\alpha, \beta, \gamma\}$, zbiór wartości $Z_f = \{10, 20, 30\}$.

Zadanie 2 (4 pkt)

Które z podanych przyporządkowań są funkcjami? Odpowiedź uzasadnij.
a) Każdemu obywatelowi Polski przyporządkowujemy jego numer PESEL.
b) Każdemu trójkątowi przyporządkowujemy długość jego boku.
c) Każdej liczbie rzeczywistej dodatniej przyporządkowujemy jej pierwiastek kwadratowy.
d) Każdemu autorowi książek przyporządkowujemy tytuł napisanej przez niego książki.

Wskazówki (warunki bycia funkcją):

Przyporządkowanie ze zbioru $X$ w zbiór $Y$ jest funkcją, jeżeli spełnia dwa kluczowe warunki:
1. Każdemu elementowi ze zbioru $X$ przyporządkowano element ze zbioru $Y$ (żaden element dziedziny nie zostaje bez przypisania).
2. Przyporządkowanie jest jednoznaczne – każdemu elementowi ze zbioru $X$ odpowiada dokładnie jeden element ze zbioru $Y$ (nie mogą to być 2 lub więcej wartości).

Rozwiązanie krok po kroku:

Analiza podpunktu a):
Każdy obywatel Polski posiada dokładnie jeden, unikalny numer PESEL nadany urzędowo. Każdemu elementowi ze zbioru osób odpowiada zatem dokładnie jeden numer ze zbioru numerów PESEL.
Wniosek: To przyporządkowanie jest funkcją.
Analiza podpunktu b):
Każdy trójkąt posiada trzy boki. W przypadku większości trójkątów boki te mają różne długości (np. $3\text{ cm}$, $4\text{ cm}$, $5\text{ cm}$). Jednemu trójkątowi przyporządkowano by więc aż trzy różne wartości, co narusza warunek jednoznaczności funkcji.
Wniosek: To przyporządkowanie nie jest funkcją.
Analiza podpunktu c):
Dla każdej liczby rzeczywistej dodatniej $x > 0$ istnieje dokładnie jedna liczba dodatnia $y$ taka, że $y = \sqrt{x}$ (np. dla liczby $9$ jest to wyłącznie liczba $3$). Każdemu argumentowi odpowiada dokładnie jedna wartość.
Wniosek: To przyporządkowanie jest funkcją.
Analiza podpunktu d):
Wielu pisarzy jest autorami więcej niż jednej książki (np. Henryk Sienkiewicz napisał m.in. „Quo vadis”, „Krzyżaków”, „Potop”). Jednemu autorowi odpowiadałoby wówczas kilka różnych tytułów.
Wniosek: To przyporządkowanie nie jest funkcją.

Odpowiedź: Funkcjami są przyporządkowania a) oraz c).

Zadanie 3 (2 pkt)

Funkcja $f$ jest opisana za pomocą wzoru $f(x) = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{x+1}$, gdzie $x \in \{-3, -2, -1, 0\}$.

a) Oblicz $f(-3)$, $f(-2)$, $f(-1)$, $f(0)$.
b) Przedstaw tę funkcję za pomocą tabelki.

\(x\)	\(-3\)	\(-2\)	\(-1\)	\(0\)
\(f(x)\)	\(4\)	\(2\)	\(1\)	\(\dfrac{1}{2}\)

\(x\)	\(-3\)	\(-2\)	\(-1\)	\(0\)
\(f(x)\)	\(4\)	\(2\)	\(1\)	\(\dfrac{1}{2}\)

Zadanie 4 (4 pkt)

Na rysunku poniżej przedstawiony jest graf pewnej funkcji $f$.
a) Dla jakich argumentów wartość funkcji $f$ jest równa $4$?
b) Jaką wartość przyjmuje funkcja $f$ dla argumentu $-3$?
c) Podaj wzór funkcji $f$.
d) Narysuj wykres funkcji $f$.

Wskazówki:

Argumenty to elementy lewego zbioru $X$, z których wychodzą strzałki, a wartości to elementy prawego zbioru $Y$, do których strzałki dochodzą.
Aby podać wzór, zaobserwuj, jakiej operacji arytmetycznej poddawany jest każdy argument $x$, aby otrzymać wartość $y$. Pamiętaj o podaniu dziedziny.
Wykres funkcji określonej na zbiorze skończonym tworzą wyłącznie pojedyncze punkty o współrzędnych $(x, f(x))$ – nie łączymy ich żadną linią!

Rozwiązanie krok po kroku:

Wyznaczenie argumentów dla wartości równej 4 (podpunkt a):
Odszukujemy liczbę $4$ w zbiorze wartości $Y$ i sprawdzamy, które strzałki do niej dochodzą. Widzimy, że strzałki prowadzą od liczb $-2$ oraz $2$ ze zbioru $X$.
Zatem wartość $4$ funkcja przyjmuje dla: $$x = -2 \quad \text{oraz} \quad x = 2$$
Odczytanie wartości funkcji dla argumentu -3 (podpunkt b):
Odszukujemy liczbę $-3$ w zbiorze argumentów $X$ i sprawdzamy, do jakiego elementu w zbiorze $Y$ prowadzi z niej strzałka. Strzałka wskazuje liczbę $9$.
Zatem: $$f(-3) = 9$$
Podanie wzoru funkcji f (podpunkt c):
Zestawiamy ze sobą wszystkie pary argument–wartość: $$f(-3) = 9 = (-3)^2, \quad f(3) = 9 = 3^2$$ $$f(-2) = 4 = (-2)^2, \quad f(2) = 4 = 2^2$$ $$f(-1) = 1 = (-1)^2, \quad f(1) = 1 = 1^2$$ $$f(0) = 0 = 0^2$$ Wartość funkcji jest zawsze kwadratem argumentu. Wzór funkcji wraz z jej dziedziną ma postać: $$f(x) = x^2, \quad \text{gdzie } x \in \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}$$
Sporządzenie wykresu funkcji f (podpunkt d):
Dziedzina funkcji jest zbiorem siedmioelementowym, więc wykresem jest zbiór $7$ punktów w kartezjańskim układzie współrzędnych: $$\{(-3, 9),\, (-2, 4),\, (-1, 1),\, (0, 0),\, (1, 1),\, (2, 4),\, (3, 9)\}$$

Odpowiedź:
a) Dla argumentów $x = -2$ oraz $x = 2$.
b) $f(-3) = 9$.
c) $f(x) = x^2$, gdzie $x \in \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}$.
d) Wykres przedstawiono na powyższym rysunku.

Zadanie 5 (4 pkt)

Funkcja $g$ każdej liczbie rzeczywistej przyporządkowuje podwojony kwadrat tej liczby pomniejszony o $1$.

a) Napisz wzór funkcji $g$.
b) Wykaż, że $g(-\sqrt{5}) = g(\sqrt{5})$.
c) Sprawdź, czy do wykresu funkcji $g$ należą punkty $A(-4, 31)$ oraz $B(3, 15)$.
d) Uzasadnij, że funkcja $g$ nie przyjmuje wartości równej $-3$.

Wskazówki:

Określenie „podwojony kwadrat liczby pomniejszony o $1$” zapisujemy algebraicznie jako $2 \cdot x^2 - 1$.
Pamiętaj o kolejności wykonywania działań: najpierw potęgowanie, potem mnożenie przez współczynnik, a na końcu odejmowanie.
Dla dowolnej liczby rzeczywistej zachodzi $x^2 \ge 0$, co oznacza, że $2x^2 \ge 0$, a zatem $2x^2 - 1 \ge -1$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Zapisanie wzoru funkcji g (podpunkt a):
Zgodnie z poleceniem każdą liczbę rzeczywistą $x$ podnosimy do kwadratu ($x^2$), mnożymy przez $2$ ($2x^2$), a od uzyskanego wyniku odejmujemy $1$.
Wzór funkcji ma postać: $$g(x) = 2x^2 - 1, \quad \text{dla } x \in \mathbb{R}$$
Sprawdzenie równości g(-√5) = g(√5) (podpunkt b):
Obliczamy wartości funkcji dla obu podanych liczb:

• Dla $x = -\sqrt{5}$: $$g(-\sqrt{5}) = 2 \cdot (-\sqrt{5})^2 - 1 = 2 \cdot 5 - 1 = 10 - 1 = 9$$ • Dla $x = \sqrt{5}$: $$g(\sqrt{5}) = 2 \cdot (\sqrt{5})^2 - 1 = 2 \cdot 5 - 1 = 10 - 1 = 9$$ Wartości są identyczne ($9 = 9$), co dowodzi, że: $$g(-\sqrt{5}) = g(\sqrt{5})$$
Weryfikacja przynależności punktów A i B do wykresu funkcji (podpunkt c):
Obliczamy wartości funkcji dla pierwszych współrzędnych obu punktów:

• Dla punktu $A(-4, 31)$: $$g(-4) = 2 \cdot (-4)^2 - 1 = 2 \cdot 16 - 1 = 32 - 1 = 31$$ Wynik zgadza się z drugą współrzędną punktu $A$, zatem: $$A \in W_g$$ • Dla punktu $B(3, 15)$: $$g(3) = 2 \cdot 3^2 - 1 = 2 \cdot 9 - 1 = 18 - 1 = 17 \neq 15$$ Otrzymana wartość to $17$, co nie równa się $15$, zatem: $$B \notin W_g$$
Uzasadnienie, że funkcja g nie przyjmuje wartości -3 (podpunkt d):
Załóżmy, że istnieje taka liczba rzeczywista $x$, dla której $g(x) = -3$: $$2x^2 - 1 = -3$$ Dodajemy $1$ do obu stron: $$2x^2 = -3 + 1$$ $$2x^2 = -2$$ Dzielimy obie strony przez $2$: $$x^2 = -1$$ Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej nie może być liczbą ujemną ($x^2 \ge 0$). Otrzymana sprzeczność dowodzi, że funkcja $g$ nie przyjmuje wartości równej $-3$.

Odpowiedź:
a) $g(x) = 2x^2 - 1$
b) $g(-\sqrt{5}) = g(\sqrt{5}) = 9$
c) Punkt $A$ należy do wykresu funkcji, punkt $B$ nie należy do wykresu funkcji.
d) Równanie $2x^2 - 1 = -3$ prowadzi do sprzeczności $x^2 = -1$, co dowodzi, że funkcja nie przyjmuje wartości $-3$.

Grupa B

Zadanie 1 (4 pkt)

Który z poniższych grafów jest grafem funkcji odwzorowującej zbiór $X$ w zbiór $Y$? Odpowiedź uzasadnij. Dla każdej funkcji określ jej dziedzinę oraz zbiór wartości.

Zadanie 2 (4 pkt)

Które z podanych przyporządkowań są funkcjami? Odpowiedź uzasadnij.
a) Każdemu człowiekowi przyporządkowujemy jego datę urodzenia.
b) Każdemu zarejestrowanemu samochodowi osobowemu przyporządkowujemy imię osoby uprawnionej do jego prowadzenia.
c) Każdej liczbie rzeczywistej przyporządkowujemy jej wartość bezwzględną.
d) Każdemu czytelnikowi biblioteki miejskiej przyporządkowujemy tytuł wypożyczonej przez niego książki.

Zadanie 3 (2 pkt)

Funkcja $f$ jest opisana za pomocą wzoru $f(x) = \left(\dfrac{1}{3}\right)^{x-1}$, gdzie $x \in \{-1, 0, 1, 2\}$.

a) Oblicz $f(-1)$, $f(0)$, $f(1)$, $f(2)$.
b) Przedstaw tę funkcję za pomocą tabelki.

\(x\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)
\(f(x)\)	\(9\)	\(3\)	\(1\)	\(\dfrac{1}{3}\)

Zadanie 4 (4 pkt)

Na rysunku obok przedstawiony jest graf pewnej funkcji $h$.

a) Dla jakich argumentów wartość funkcji $h$ jest równa $2$?
b) Jaką wartość przyjmuje funkcja $h$ dla argumentu $-3$?
c) Podaj wzór funkcji $h$.
d) Narysuj wykres funkcji $h$.

Zadanie 5 (4 pkt)

Funkcja $f$ każdej liczbie rzeczywistej przyporządkowuje kwadrat tej liczby powiększony o $3$.

a) Napisz wzór funkcji $f$.
b) Wykaż, że $f(-3\sqrt{2}) = f(3\sqrt{2})$.
c) Sprawdź, czy do wykresu funkcji $f$ należą punkty $A(-11, 124)$ oraz $B(-2, -1)$.
d) Uzasadnij, że funkcja $f$ nie przyjmuje wartości równej $2$.

3.1 Pojęcie funkcji. Funkcja liczbowa. Sposoby opisywania funkcji

Grupa A

Zadanie 1 (4 pkt)

Zadanie 2 (4 pkt)

Zadanie 3 (2 pkt)

Zadanie 4 (4 pkt)

Zadanie 5 (4 pkt)

Grupa B

Zadanie 1 (4 pkt)

Zadanie 2 (4 pkt)

Zadanie 3 (2 pkt)

Zadanie 4 (4 pkt)

Zadanie 5 (4 pkt)

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Witaj na Liczbit 👋