| Nr | Treść Zadania | Rozwiązanie | Odpowiedź |
|---|---|---|---|
| 1 | W trójkącie prostokątnym $ABC$ (kąt prosty przy wierzchołku $C$) dane są $\alpha = 30^\circ$ i $|AC| = 6\sqrt{3}$. Oblicz długości boków $BC$, $AB$ oraz długość wysokości $CD$ opuszczonej na przeciwprostokątną $AB$. | Wskazówki:
- Wierzchołek kąta ostrego $\alpha = 30^\circ$ to punkt $A$. Przyprostokątna $AC$ leży przy tym kącie, a przyprostokątna $BC$ leży naprzeciwko niego.
- Długości boków trójkąta prostokątnego o kątach $30^\circ, 60^\circ, 90^\circ$ możesz wyznaczyć za pomocą funkcji trygonometrycznych ($\cos 30^\circ$, $\tan 30^\circ$) lub własności trójkąta równobocznego.
- Długość wysokości $CD$ najszybciej obliczysz z porównania wzorów na pole trójkąta ($P = \dfrac{1}{2}ab = \dfrac{1}{2}ch$) albo bezpośrednio z mniejszego trójkąta prostokątnego $ADC$.
Rozwiązanie krok po kroku:
1. Rysunek pomocniczy ze stanem wyjściowym zadania:
Wprowadzamy oznaczenia trójkąta prostokątnego $ABC$ z kątem prostym przy wierzchołku $C$, kątem $\alpha = 30^\circ$ przy wierzchołku $A$ oraz daną przyprostokątną $|AC| = 6\sqrt{3}$. Prowadzimy odcinek wysokości $CD$ prostopadły do boku $AB$.
|
$|BC| = 6$, $|AB| = 12$, $|CD| = 3\sqrt{3}$ |
| 2 | W trójkącie prostokątnym $ABC$ (kąt prosty przy wierzchołku $C$) dane są $|BC| = 8$ oraz $\operatorname{ctg} \beta = \frac{3}{4}$. Oblicz obwód tego trójkąta. | Wskazówki:
• Kąt $\beta$ leży przy wierzchołku $B$, więc przyprostokątna przyległa to $BC$, a przeciwległa to $AC$: $\operatorname{ctg} \beta = \frac{|BC|}{|AC|}$.
• Wyznacz długość boku $AC$ z proporcji.
• Oblicz przeciwprostokątną $AB$ z twierdzenia Pitagorasa i zsumuj długości wszystkich trzech boków.
Rozwiązanie krok po kroku:
1. Obliczenie długości przyprostokątnej $AC$:
Z definicji cotangensa kąta ostrego mamy:
$$\begin{aligned}
\operatorname{ctg} \beta &= \frac{|BC|}{|AC|} \\[6pt]
\frac{3}{4} &= \frac{8}{|AC|} \\[6pt]
3|AC| &= 32 \implies |AC| = \frac{32}{3}
\end{aligned}$$
2. Wyznaczenie długości przeciwprostokątnej $AB$:
Stosujemy twierdzenie Pitagorasa:
$$\begin{aligned}
|AB|^2 &= |AC|^2 + |BC|^2 \\[6pt]
&= \left(\frac{32}{3}\right)^2 + 8^2 \\[6pt]
&= \frac{1024}{9} + \frac{576}{9} = \frac{1600}{9} \\[6pt]
|AB| &= \sqrt{\frac{1600}{9}} = \frac{40}{3}
\end{aligned}$$
|
$32$ |
| 3 | W trójkącie równoramiennym $ABC$ dane są $|AB| = 24$ (podstawa) oraz długość wysokości $CD$ opuszczonej na podstawę wynosi $5$. Oblicz obwód trójkąta $ABC$. | Wskazówki:
• Wysokość opuszczona na podstawę w trójkącie równoramiennym dzieli tę podstawę na dwie równe części: $|AD| = |DB| = \frac{1}{2}|AB|$.
• Oblicz długość ramienia trójkąta z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym $ADC$.
• Oblicz obwód jako sumę podstawy i dwóch równych ramion.
Rozwiązanie krok po kroku:
1. Podział podstawy przez wysokość:
Spodek wysokości $D$ jest środkiem odcinka $AB$:
$$\begin{aligned}
|AD| &= \frac{1}{2} \cdot |AB| = \frac{1}{2} \cdot 24 = 12
\end{aligned}$$
2. Wyznaczenie długości ramienia z twierdzenia Pitagorasa:
W trójkącie prostokątnym $ADC$ mamy:
$$\begin{aligned}
|AC|^2 &= |AD|^2 + |CD|^2 \\[6pt]
&= 12^2 + 5^2 \\[6pt]
&= 144 + 25 = 169 \\[6pt]
|AC| &= \sqrt{169} = 13
\end{aligned}$$
Trójkąt jest równoramienny, zatem $|BC| = |AC| = 13$.
|
$50$ |
| 4 | W trójkącie równoramiennym $ABC$ dane są $|AB| = 10$ (podstawa) oraz $|AC| = |BC| = 13$. Oblicz pole tego trójkąta, długość wysokości $CD$ opuszczonej na podstawę $AB$ oraz długości odcinków, na jakie dzieli ona bok $AB$. | Wskazówki:
• Wysokość opuszczona na podstawę dzieli ją na dwie równe części o długościach $|AD| = |DB| = 5$.
• Oblicz wysokość $CD$ z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $ADC$.
• Pole powierzchni wyznacz ze wzoru $P = \frac{1}{2}ah$.
Rozwiązanie krok po kroku:
1. Długości odcinków podstawy:
Spodek wysokości dzieli podstawę na połowy:
$$\begin{aligned}
|AD| &= |DB| = \frac{1}{2} \cdot |AB| = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5
\end{aligned}$$
2. Obliczenie długości wysokości $CD$:
Stosujemy twierdzenie Pitagorasa w trójkącie $ADC$:
$$\begin{aligned}
|AD|^2 + |CD|^2 &= |AC|^2 \\[6pt]
5^2 + |CD|^2 &= 13^2 \\[6pt]
25 + |CD|^2 &= 169 \\[6pt]
|CD|^2 &= 144 \implies |CD| = 12
\end{aligned}$$
|
Pole: $60$, $|CD| = 12$, odcinki: $5$ i $5$ |
| 5 | W trójkącie $ABC$ dane są $|AC| = 8$, $\beta = 30^\circ$, $\gamma = 45^\circ$. Oblicz długość boku $AB$. | Wskazówki:
• Zastosuj twierdzenie sinusów wiążące boki z sinusami przeciwległych kątów: $\frac{|AC|}{\sin \beta} = \frac{|AB|}{\sin \gamma}$.
• Podstaw wartości funkcji trygonometrycznych: $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$ oraz $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
• Wyznacz długość szukanego odcinka $|AB|$.
Rozwiązanie krok po kroku:
1. Zapisanie twierdzenia sinusów:
Dla pary boków i odpowiadających im kątów naprzeciwległych mamy:
$$\begin{aligned}
\frac{|AC|}{\sin \beta} &= \frac{|AB|}{\sin \gamma}
\end{aligned}$$
2. Podstawienie danych liczbowych:
Wstawiamy wartości do równania:
$$\begin{aligned}
\frac{8}{\sin 30^\circ} &= \frac{|AB|}{\sin 45^\circ} \\[6pt]
\frac{8}{\frac{1}{2}} &= \frac{|AB|}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \\[6pt]
16 &= \frac{|AB|}{\frac{\sqrt{2}}{2}}
\end{aligned}$$
|
$|AB| = 8\sqrt{2}$ |
| 6 | W trójkącie dane są długości boków $a = 3$, $b = 5$, $c = 7$. Oblicz miarę największego kąta w tym trójkącie. | Wskazówki:
• Największy kąt trójkąta (kąt $\gamma$) leży naprzeciwko najdłuższego boku ($c = 7$).
• Zastosuj twierdzenie cosinusów: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma$.
• Wyznacz wartość $\cos \gamma$, a miarę kąta odczytaj za pomocą wzorów redukcyjnych: $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha$.
Rozwiązanie krok po kroku:
1. Zastosowanie twierdzenia cosinusów:
Kąt o największej mierze leży naprzeciw boku o długości $7$:
$$\begin{aligned}
c^2 &= a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma \\[6pt]
7^2 &= 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos \gamma \\[6pt]
49 &= 9 + 25 - 30 \cos \gamma \\[6pt]
49 &= 34 - 30 \cos \gamma
\end{aligned}$$
2. Wyznaczenie wartości $\cos \gamma$:
Przekształcamy równanie liniowe z niewiadomą $\cos \gamma$:
$$\begin{aligned}
30 \cos \gamma &= 34 - 49 \\[6pt]
30 \cos \gamma &= -15 \\[6pt]
\cos \gamma &= -\frac{15}{30} = -\frac{1}{2}
\end{aligned}$$
|
$120^\circ$ |
| 7 | W trójkącie $ABC$ dane są $a = 5$, $b = 8$, $\gamma = 60^\circ$. Oblicz pole tego trójkąta, długość boku $c$ oraz wysokość $h_b$. | Wskazówki:
• Oblicz pole trójkąta ze wzoru z sinusem kąta zawartego między bokami: $P = \frac{1}{2}ab \sin \gamma$.
• Długość trzeciego boku $c$ wyznacz za pomocą twierdzenia cosinusów.
• Wysokość $h_b$ opuszczoną na bok $b$ wyznacz z zależności $P = \frac{1}{2}b h_b$.
Rozwiązanie krok po kroku:
1. Obliczenie pola powierzchni trójkąta:
Stosujemy wzór na pole trójkąta z sinusem kąta $\gamma$:
$$\begin{aligned}
P &= \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin \gamma \\[6pt]
&= \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 8 \cdot \sin 60^\circ \\[6pt]
&= 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}
\end{aligned}$$
2. Obliczenie długości boku $c$ z twierdzenia cosinusów:
Zapisujemy zależność dla boku $c$:
$$\begin{aligned}
c^2 &= a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma \\[6pt]
&= 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos 60^\circ \\[6pt]
&= 25 + 64 - 80 \cdot \frac{1}{2} \\[6pt]
&= 89 - 40 = 49 \implies c = 7
\end{aligned}$$
|
Pole: $10\sqrt{3}$, $c = 7$, $h_b = \frac{5\sqrt{3}}{2}$ |
| 8 | W trójkącie $ABC$ dane są długości boków $a = 9$, $b = 10$, $c = 17$. Oblicz pole trójkąta, promień okręgu wpisanego ($r$) oraz promień okręgu opisanego ($R$). | Wskazówki:
• Oblicz połowę obwodu $p = \frac{a+b+c}{2}$, a następnie pole trójkąta za pomocą wzoru Herona: $P = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$.
• Promień okręgu wpisanego wyznacz ze wzoru $r = \frac{P}{p}$.
• Promień okręgu opisanego oblicz ze wzoru $R = \frac{abc}{4P}$.
Rozwiązanie krok po kroku:
1. Obliczenie pola trójkąta ze wzoru Herona:
Wyznaczamy połowę obwodu trójkąta:
$$\begin{aligned}
p &= \frac{9 + 10 + 17}{2} = \frac{36}{2} = 18
\end{aligned}$$
Podstawiamy dane do wzoru Herona:
$$\begin{aligned}
P &= \sqrt{18(18 - 9)(18 - 10)(18 - 17)} \\[6pt]
&= \sqrt{18 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 1} \\[6pt]
&= \sqrt{1296} = 36
\end{aligned}$$
2. Obliczenie promienia okręgu wpisanego ($r$):
Stosujemy tożsamość $P = p \cdot r$:
$$\begin{aligned}
r &= \frac{P}{p} = \frac{36}{18} = 2
\end{aligned}$$
|
Pole: $36$, $r = 2$, $R = \frac{85}{8}$ |
| 9 | W trójkącie $ABC$ dane są długości boków $a = 4$, $b = 5$, $c = 7$. Oblicz długość środkowej $m_c$ poprowadzonej z wierzchołka $C$. | Wskazówki:
• Zastosuj wzór na kwadrat długości środkowej opuszczonej na bok $c$: $m_c^2 = \frac{2a^2 + 2b^2 - c^2}{4}$.
• Podstaw długości boków $a, b, c$ i wykonaj potęgowanie w liczniku ułamka.
• Wyciągnij pierwiastek kwadratowy z otrzymanego ułamka, pamiętając, że długość odcinka jest dodatnia.
Rozwiązanie krok po kroku:
1. Zastosowanie wzoru na środkową trójkąta:
Środkowa $m_c$ łączy wierzchołek $C$ ze środkiem przeciwległego boku $c$:
$$\begin{aligned}
m_c^2 &= \frac{2a^2 + 2b^2 - c^2}{4}
\end{aligned}$$
2. Podstawienie wartości liczbowych:
Wykonujemy potęgowanie i redukcję w liczniku:
$$\begin{aligned}
m_c^2 &= \frac{2 \cdot 4^2 + 2 \cdot 5^2 - 7^2}{4} \\[6pt]
&= \frac{2 \cdot 16 + 2 \cdot 25 - 49}{4} \\[6pt]
&= \frac{32 + 50 - 49}{4} \\[6pt]
&= \frac{33}{4}
\end{aligned}$$
|
$m_c = \frac{\sqrt{33}}{2}$ |
| 10 | W trójkącie równoramiennym $ABC$, w którym $|AC| = |BC| = 15$, na ramieniu $BC$ obrano punkt $D$ tak, że $|CD| : |DB| = 1 : 2$. Długość podstawy $AB$ wynosi $18$. Oblicz długość odcinka $AD$. | Wskazówki:
• Podziel ramię $BC = 15$ w stosunku $1:2$, aby wyznaczyć odcinki $|CD| = 5$ oraz $|DB| = 10$.
• Oblicz $\cos \beta$ z trójkąta prostokątnego utworzonego przez wysokość opuszczoną na podstawę $AB$.
• Zastosuj twierdzenie cosinusów w trójkącie $ABD$ dla boku $AD$.
Rozwiązanie krok po kroku:
1. Wyznaczenie długości odcinków na ramieniu $BC$:
Skoro $|CD| : |DB| = 1 : 2$ oraz $|BC| = 15$, wprowadzamy zmienną $x$:
$$\begin{aligned}
x + 2x &= 15 \implies 3x = 15 \implies x = 5 \\[6pt]
|CD| &= 5 \\[6pt]
|DB| &= 10
\end{aligned}$$
2. Obliczenie cosinusa kąta przy podstawie ($\cos \beta$):
Wysokość opuszczona z $C$ dzieli podstawę $AB$ na dwa odcinki o długości $9$. W trójkącie prostokątnym otrzymujemy:
$$\begin{aligned}
\cos \beta &= \frac{\frac{1}{2}|AB|}{|BC|} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}
\end{aligned}$$
|
$|AD| = 4\sqrt{13}$ |
| Nr | Treść Zadania | Rozwiązanie | Odpowiedź |
|---|---|---|---|
| 1 | W trójkącie prostokątnym $ABC$ (kąt prosty przy wierzchołku $C$) dane są $\alpha = 45^\circ$ i $|AC| = 8$. Oblicz długości boków $BC, AB$ oraz długość wysokości $CD$ opuszczonej na przeciwprostokątną $AB$. | Zaczynamy od obliczenia długości boku $BC$, korzystając z funkcji tangens dla kąta $\alpha$. $$ \text{tg } 45^\circ = \frac{|BC|}{|AC|} $$ Podstawiamy znane wartości (wiemy, że $\text{tg } 45^\circ = 1$): $$ 1 = \frac{|BC|}{8} $$ Mnożymy obustronnie przez $8$: $$ |BC| = 8 $$ Trójkąt jest równoramienny prostokątny. Obliczamy długość przeciwprostokątnej $AB$ z twierdzenia Pitagorasa: $$ |AB|^2 = |AC|^2 + |BC|^2 $$ $$ |AB|^2 = 8^2 + 8^2 $$ $$ |AB|^2 = 64 + 64 $$ $$ |AB|^2 = 128 $$ Długość boku musi być dodatnia, więc: $$ |AB| = \sqrt{128} = 8\sqrt{2} $$ Aby obliczyć wysokość $CD$, najpierw liczymy pole trójkąta $ABC$ z przyprostokątnych: $$ P = \frac{1}{2} \cdot |AC| \cdot |BC| $$ $$ P = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8 $$ $$ P = 32 $$ Pole możemy również wyrazić za pomocą boku $AB$ i wysokości $CD$: $$ P = \frac{1}{2} \cdot |AB| \cdot |CD| $$ Podstawiamy obliczone pole i długość $AB$: $$ 32 = \frac{1}{2} \cdot 8\sqrt{2} \cdot |CD| $$ $$ 32 = 4\sqrt{2} \cdot |CD| $$ Dzielimy obustronnie przez $4\sqrt{2}$: $$ |CD| = \frac{32}{4\sqrt{2}} $$ $$ |CD| = \frac{8}{\sqrt{2}} $$ Usuwamy niewymierność z mianownika: $$ |CD| = \frac{8\sqrt{2}}{2} $$ $$ |CD| = 4\sqrt{2} $$ | $|BC| = 8$, $|AB| = 8\sqrt{2}$, $|CD| = 4\sqrt{2}$ |
| 2 | W trójkącie prostokątnym $ABC$ (kąt prosty przy wierzchołku $C$) dane są $|BC| = 15$ oraz $\text{ctg } \beta = \frac{8}{15}$. Oblicz obwód tego trójkąta. | Kąt $\beta$ znajduje się przy wierzchołku $B$. W trójkącie prostokątnym cotangens kąta $\beta$ to stosunek długości przyprostokątnej przyległej do tego kąta do długości przyprostokątnej przeciwległej. Przyprostokątna przyległa to $BC$, a przeciwległa to $AC$. $$ \text{ctg } \beta = \frac{|BC|}{|AC|} $$ Podstawiamy dane z zadania: $$ \frac{8}{15} = \frac{15}{|AC|} $$ Mnożymy na krzyż: $$ 8 \cdot |AC| = 15 \cdot 15 $$ $$ 8 \cdot |AC| = 225 $$ $$ |AC| = \frac{225}{8} $$ Teraz obliczamy długość przeciwprostokątnej $AB$ z twierdzenia Pitagorasa: $$ |AB|^2 = |AC|^2 + |BC|^2 $$ $$ |AB|^2 = \left(\frac{225}{8}\right)^2 + 15^2 $$ $$ |AB|^2 = \frac{50625}{64} + 225 $$ Sprowadzamy do wspólnego mianownika: $$ |AB|^2 = \frac{50625}{64} + \frac{14400}{64} $$ $$ |AB|^2 = \frac{65025}{64} $$ Długość boku jest dodatnia, więc pierwiastkujemy (wiemy, że $\sqrt{65025} = 255$): $$ |AB| = \frac{255}{8} $$ Obliczamy obwód trójkąta dodając długości wszystkich boków: $$ \text{Obwód} = |AB| + |BC| + |AC| $$ $$ \text{Obwód} = \frac{255}{8} + 15 + \frac{225}{8} $$ $$ \text{Obwód} = \frac{480}{8} + 15 $$ $$ \text{Obwód} = 60 + 15 $$ $$ \text{Obwód} = 75 $$ | $75$ |
| 3 | W trójkącie równoramiennym $ABC$ dane są $|AB| = 16$ (podstawa) oraz długość wysokości $CD$ opuszczonej na podstawę wynosi $15$. Oblicz obwód trójkąta $ABC$. | Wysokość $CD$ opuszczona na podstawę w trójkącie równoramiennym dzieli tę podstawę na dwie równe części. Punkt $D$ jest środkiem boku $AB$. Obliczamy długość odcinka $AD$: $$ |AD| = \frac{1}{2} \cdot |AB| $$ $$ |AD| = \frac{1}{2} \cdot 16 $$ $$ |AD| = 8 $$ Trójkąt $ADC$ jest trójkątem prostokątnym. Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa, aby obliczyć długość ramienia $AC$: $$ |AC|^2 = |AD|^2 + |CD|^2 $$ Podstawiamy dane: $$ |AC|^2 = 8^2 + 15^2 $$ $$ |AC|^2 = 64 + 225 $$ $$ |AC|^2 = 289 $$ Długość boku musi być dodatnia, więc: $$ |AC| = 17 $$ Ponieważ trójkąt jest równoramienny, drugie ramię ma taką samą długość: $$ |BC| = |AC| = 17 $$ Obliczamy obwód trójkąta: $$ \text{Obwód} = |AB| + |AC| + |BC| $$ $$ \text{Obwód} = 16 + 17 + 17 $$ $$ \text{Obwód} = 50 $$ | $50$ |
| 4 | W trójkącie równoramiennym $ABC$ dane są $|AB| = 12$ (podstawa) oraz $|AC| = |BC| = 10$. Oblicz pole tego trójkąta, długość wysokości $CD$ opuszczonej na podstawę $AB$ oraz długości odcinków, na jakie dzieli ona bok $AB$. | Wysokość $CD$ opuszczona na podstawę trójkąta równoramiennego dzieli ją na dwie równe części. Punkt $D$ to środek boku $AB$. Długości odcinków, na jakie wysokość dzieli bok $AB$, to $|AD|$ i $|DB|$: $$ |AD| = |DB| = \frac{1}{2} \cdot |AB| $$ $$ |AD| = \frac{1}{2} \cdot 12 $$ $$ |AD| = 6 $$ Aby obliczyć wysokość $CD$, korzystamy z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym $ADC$: $$ |AD|^2 + |CD|^2 = |AC|^2 $$ Podstawiamy znane wartości: $$ 6^2 + |CD|^2 = 10^2 $$ $$ 36 + |CD|^2 = 100 $$ Odejmujemy $36$ obustronnie: $$ |CD|^2 = 64 $$ Długość wysokości jest dodatnia, więc: $$ |CD| = 8 $$ Teraz obliczamy pole trójkąta $ABC$ ze wzoru: $$ P = \frac{1}{2} \cdot |AB| \cdot |CD| $$ Podstawiamy dane: $$ P = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 $$ $$ P = 6 \cdot 8 $$ $$ P = 48 $$ | Pole: $48$, wysokość $CD$: $8$, odcinki: $6$ i $6$ |
| 5 | W trójkącie $ABC$ dane są $|AC| = 12$, $\beta = 45^\circ$, $\gamma = 60^\circ$. Oblicz długość boku $AB$. | Zadanie rozwiązujemy korzystając z twierdzenia sinusów. Stosunek długości boku do sinusa kąta leżącego naprzeciwko jest stały dla danego trójkąta. Bok $AC$ leży naprzeciwko kąta $\beta$, a bok $AB$ leży naprzeciwko kąta $\gamma$. Zapisujemy twierdzenie sinusów: $$ \frac{|AC|}{\sin \beta} = \frac{|AB|}{\sin \gamma} $$ Podstawiamy dane z zadania: $$ \frac{12}{\sin 45^\circ} = \frac{|AB|}{\sin 60^\circ} $$ Podstawiamy wartości funkcji trygonometrycznych: $$ \frac{12}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{|AB|}{\frac{\sqrt{3}}{2}} $$ Przekształcamy lewą stronę (dzielenie to mnożenie przez odwrotność): $$ 12 \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{|AB|}{\frac{\sqrt{3}}{2}} $$ $$ \frac{24}{\sqrt{2}} = \frac{|AB|}{\frac{\sqrt{3}}{2}} $$ Mnożymy obustronnie przez $\frac{\sqrt{3}}{2}$: $$ |AB| = \frac{24}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} $$ $$ |AB| = \frac{12\sqrt{3}}{\sqrt{2}} $$ Usuwamy niewymierność z mianownika: $$ |AB| = \frac{12\sqrt{6}}{2} $$ $$ |AB| = 6\sqrt{6} $$ | $|AB| = 6\sqrt{6}$ |
| 6 | W trójkącie dane są długości boków $a = 7$, $b = 8$, $c = 13$. Oblicz miarę największego kąta w tym trójkącie. | Największy kąt w trójkącie leży zawsze naprzeciwko najdłuższego boku. W tym przypadku najdłuższy bok to $c = 13$, więc szukamy kąta $\gamma$. Korzystamy z twierdzenia cosinusów dla boku $c$: $$ c^2 = a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos \gamma $$ Podstawiamy długości boków: $$ 13^2 = 7^2 + 8^2 - 2 \cdot 7 \cdot 8 \cdot \cos \gamma $$ Obliczamy kwadraty i iloczyny: $$ 169 = 49 + 64 - 112 \cdot \cos \gamma $$ $$ 169 = 113 - 112 \cdot \cos \gamma $$ Przenosimy $113$ na lewą stronę: $$ 169 - 113 = -112 \cdot \cos \gamma $$ $$ 56 = -112 \cdot \cos \gamma $$ Dzielimy obustronnie przez $-112$: $$ \cos \gamma = \frac{56}{-112} $$ $$ \cos \gamma = -\frac{1}{2} $$ Szukamy kąta $\gamma$ w przedziale $(0^\circ, 180^\circ)$, dla którego cosinus wynosi $-\frac{1}{2}$. Wartość cosinusa jest ujemna, więc kąt jest rozwarty. Wiemy, że $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$. Ze wzorów redukcyjnych $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha$. Zatem $\gamma = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. | $120^\circ$ |
| 7 | W trójkącie $ABC$ dane są $a = 4$, $b = 5$, $\gamma = 120^\circ$. Oblicz pole tego trójkąta, długość boku $c$ oraz wysokość $h_b$. | Najpierw obliczamy pole trójkąta ze wzoru z sinusem kąta między bokami: $$ P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin \gamma $$ Podstawiamy dane (wiemy, że $\sin 120^\circ = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$): $$ P = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} $$ $$ P = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} $$ $$ P = 5\sqrt{3} $$ Następnie obliczamy długość boku $c$ korzystając z twierdzenia cosinusów: $$ c^2 = a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos \gamma $$ Podstawiamy wartości (wiemy, że $\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$): $$ c^2 = 4^2 + 5^2 - 2 \cdot 4 \cdot 5 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) $$ $$ c^2 = 16 + 25 - 40 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) $$ $$ c^2 = 41 + 20 $$ $$ c^2 = 61 $$ Długość boku musi być dodatnia, więc: $$ c = \sqrt{61} $$ Aby obliczyć wysokość $h_b$ opuszczoną na bok $b$, wykorzystujemy obliczone wcześniej pole trójkąta: $$ P = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_b $$ Podstawiamy pole i długość boku $b$: $$ 5\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot h_b $$ $$ 5\sqrt{3} = \frac{5}{2} \cdot h_b $$ Mnożymy obustronnie przez $\frac{2}{5}$: $$ h_b = 5\sqrt{3} \cdot \frac{2}{5} $$ $$ h_b = 2\sqrt{3} $$ | Pole: $5\sqrt{3}$, $c = \sqrt{61}$, $h_b = 2\sqrt{3}$ |
| 8 | W trójkącie $ABC$ dane są długości boków $a = 7$, $b = 15$, $c = 20$. Oblicz pole trójkąta, promień okręgu wpisanego ($r$) oraz promień okręgu opisanego ($R$). | Do obliczenia pola trójkąta wykorzystamy wzór Herona. Najpierw obliczamy połowę obwodu ($p$): $$ p = \frac{a + b + c}{2} $$ $$ p = \frac{7 + 15 + 20}{2} $$ $$ p = \frac{42}{2} $$ $$ p = 21 $$ Stosujemy wzór Herona na pole trójkąta: $$ P = \sqrt{p \cdot (p - a) \cdot (p - b) \cdot (p - c)} $$ Podstawiamy wartości: $$ P = \sqrt{21 \cdot (21 - 7) \cdot (21 - 15) \cdot (21 - 20)} $$ $$ P = \sqrt{21 \cdot 14 \cdot 6 \cdot 1} $$ Rozkładamy liczby na czynniki, aby łatwiej wyciągnąć pierwiastek: $$ P = \sqrt{(7 \cdot 3) \cdot (7 \cdot 2) \cdot (3 \cdot 2)} $$ $$ P = \sqrt{7^2 \cdot 3^2 \cdot 2^2} $$ $$ P = 7 \cdot 3 \cdot 2 $$ $$ P = 42 $$ Teraz obliczamy promień okręgu wpisanego ($r$) ze wzoru $P = p \cdot r$: $$ r = \frac{P}{p} $$ $$ r = \frac{42}{21} $$ $$ r = 2 $$ Na koniec obliczamy promień okręgu opisanego ($R$) ze wzoru $P = \frac{a \cdot b \cdot c}{4 \cdot R}$: $$ R = \frac{a \cdot b \cdot c}{4 \cdot P} $$ $$ R = \frac{7 \cdot 15 \cdot 20}{4 \cdot 42} $$ $$ R = \frac{2100}{168} $$ Skracamy ułamek przez $84$: $$ R = \frac{25}{2} = 12.5 $$ | Pole: $42$, $r = 2$, $R = \frac{25}{2}$ |
| 9 | W trójkącie $ABC$ dane są długości boków $a = 7$, $b = 9$, $c = 12$. Oblicz długość środkowej $m_c$ poprowadzonej z wierzchołka $C$. | Korzystamy ze wzoru na długość środkowej trójkąta poprowadzonej na bok $c$: $$ m_c^2 = \frac{2 \cdot a^2 + 2 \cdot b^2 - c^2}{4} $$ Podstawiamy długości boków podane w zadaniu: $$ m_c^2 = \frac{2 \cdot 7^2 + 2 \cdot 9^2 - 12^2}{4} $$ Wykonujemy potęgowanie: $$ m_c^2 = \frac{2 \cdot 49 + 2 \cdot 81 - 144}{4} $$ Mnożymy: $$ m_c^2 = \frac{98 + 162 - 144}{4} $$ Dodajemy i odejmujemy w liczniku: $$ m_c^2 = \frac{260 - 144}{4} $$ $$ m_c^2 = \frac{116}{4} $$ $$ m_c^2 = 29 $$ Długość środkowej musi być liczbą dodatnią, więc pierwiastkujemy obustronnie: $$ m_c = \sqrt{29} $$ | $m_c = \sqrt{29}$ |
| 10 | W trójkącie równoramiennym $ABC$, w którym $|AC| = |BC| = 25$, na ramieniu $BC$ obrano punkt $D$ tak, że $|CD| : |DB| = 2 : 3$. Długość podstawy $AB$ wynosi $30$. Oblicz długość odcinka $AD$. | Najpierw wyznaczamy długości odcinków $CD$ i $DB$. Wiemy, że $|BC| = 25$ oraz stosunek $|CD| : |DB| = 2 : 3$. Możemy zapisać $|CD| = 2x$ oraz $|DB| = 3x$. Suma tych odcinków daje całe ramię: $$ 2x + 3x = 25 $$ $$ 5x = 25 $$ $$ x = 5 $$ Zatem $|CD| = 2 \cdot 5 = 10$ oraz $|DB| = 3 \cdot 5 = 15$. Aby obliczyć $|AD|$, skorzystamy z twierdzenia cosinusów w trójkącie $ABD$. W tym celu musimy najpierw poznać cosinus kąta $\beta$ przy wierzchołku $B$. Rozpatrujemy duży trójkąt równoramienny $ABC$. Prowadzimy wysokość z wierzchołka $C$ na podstawę $AB$. Dzieli ona podstawę na dwie równe części po $15$. W powstałym trójkącie prostokątnym obliczamy cosinus kąta $\beta$: $$ \cos \beta = \frac{\text{połowa podstawy}}{\text{ramię}} $$ $$ \cos \beta = \frac{15}{25} $$ Po skróceniu przez $5$ otrzymujemy: $$ \cos \beta = \frac{3}{5} $$ Teraz wracamy do trójkąta $ABD$. Znamy boki $|AB| = 30$, $|BD| = 15$ oraz $\cos \beta = \frac{3}{5}$. Stosujemy twierdzenie cosinusów dla boku $AD$: $$ |AD|^2 = |AB|^2 + |BD|^2 - 2 \cdot |AB| \cdot |BD| \cdot \cos \beta $$ Podstawiamy wartości: $$ |AD|^2 = 30^2 + 15^2 - 2 \cdot 30 \cdot 15 \cdot \frac{3}{5} $$ $$ |AD|^2 = 900 + 225 - 900 \cdot \frac{3}{5} $$ $$ |AD|^2 = 1125 - 540 $$ $$ |AD|^2 = 585 $$ Długość odcinka jest dodatnia, więc: $$ |AD| = \sqrt{585} $$ Rozkładamy liczbę pod pierwiastkiem ($585 = 9 \cdot 65$): $$ |AD| = \sqrt{9 \cdot 65} $$ $$ |AD| = 3\sqrt{65} $$ | $|AD| = 3\sqrt{65}$ |
| Nr | Treść Zadania | Rozwiązanie | Odpowiedź |
|---|---|---|---|
| 1 | W trójkącie prostokątnym $ABC$ (kąt prosty przy wierzchołku $C$) dane są $\alpha = 60^\circ$ i $|AC| = 4$. Oblicz długości boków $BC, AB$ oraz długość wysokości $CD$ opuszczonej na przeciwprostokątną $AB$. | Zaczynamy od obliczenia długości boku $BC$, korzystając z funkcji tangens dla kąta $\alpha$. $$ \text{tg } 60^\circ = \frac{|BC|}{|AC|} $$ Podstawiamy znane wartości: $$ \sqrt{3} = \frac{|BC|}{4} $$ Mnożymy obustronnie przez $4$: $$ |BC| = 4\sqrt{3} $$ Następnie obliczamy długość przeciwprostokątnej $AB$ z twierdzenia Pitagorasa: $$ |AB|^2 = |AC|^2 + |BC|^2 $$ $$ |AB|^2 = 4^2 + (4\sqrt{3})^2 $$ $$ |AB|^2 = 16 + 48 $$ $$ |AB|^2 = 64 $$ Długość boku musi być dodatnia, więc: $$ |AB| = 8 $$ Aby obliczyć wysokość $CD$, najpierw liczymy pole trójkąta $ABC$ z przyprostokątnych: $$ P = \frac{1}{2} \cdot |AC| \cdot |BC| $$ $$ P = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4\sqrt{3} $$ $$ P = 8\sqrt{3} $$ Pole możemy również wyrazić za pomocą boku $AB$ i wysokości $CD$: $$ P = \frac{1}{2} \cdot |AB| \cdot |CD| $$ Podstawiamy obliczone pole i długość $AB$: $$ 8\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot |CD| $$ $$ 8\sqrt{3} = 4 \cdot |CD| $$ Dzielimy obustronnie przez $4$: $$ |CD| = 2\sqrt{3} $$ | $|BC| = 4\sqrt{3}$, $|AB| = 8$, $|CD| = 2\sqrt{3}$ |
| 2 | W trójkącie prostokątnym $ABC$ (kąt prosty przy wierzchołku $C$) dane są $|BC| = 24$ oraz $\text{ctg } \beta = \frac{7}{24}$. Oblicz obwód tego trójkąta. | Kąt $\beta$ znajduje się przy wierzchołku $B$. W trójkącie prostokątnym cotangens kąta $\beta$ to stosunek długości przyprostokątnej przyległej do tego kąta do długości przyprostokątnej przeciwległej. Przyprostokątna przyległa to $BC$, a przeciwległa to $AC$. $$ \text{ctg } \beta = \frac{|BC|}{|AC|} $$ Podstawiamy dane z zadania: $$ \frac{7}{24} = \frac{24}{|AC|} $$ Mnożymy na krzyż: $$ 7 \cdot |AC| = 24 \cdot 24 $$ $$ 7 \cdot |AC| = 576 $$ $$ |AC| = \frac{576}{7} $$ Teraz obliczamy długość przeciwprostokątnej $AB$ z twierdzenia Pitagorasa: $$ |AB|^2 = |AC|^2 + |BC|^2 $$ $$ |AB|^2 = \left(\frac{576}{7}\right)^2 + 24^2 $$ $$ |AB|^2 = \frac{331776}{49} + 576 $$ Sprowadzamy do wspólnego mianownika: $$ |AB|^2 = \frac{331776}{49} + \frac{28224}{49} $$ $$ |AB|^2 = \frac{360000}{49} $$ Długość boku jest dodatnia, więc pierwiastkujemy: $$ |AB| = \frac{600}{7} $$ Obliczamy obwód trójkąta dodając długości wszystkich boków: $$ \text{Obwód} = |AB| + |BC| + |AC| $$ $$ \text{Obwód} = \frac{600}{7} + 24 + \frac{576}{7} $$ $$ \text{Obwód} = \frac{1176}{7} + 24 $$ $$ \text{Obwód} = 168 + 24 $$ $$ \text{Obwód} = 192 $$ | $192$ |
| 3 | W trójkącie równoramiennym $ABC$ dane są $|AB| = 10$ (podstawa) oraz długość wysokości $CD$ opuszczonej na podstawę wynosi $12$. Oblicz obwód trójkąta $ABC$. | Wysokość $CD$ opuszczona na podstawę w trójkącie równoramiennym dzieli tę podstawę na dwie równe części. Punkt $D$ jest środkiem boku $AB$. Obliczamy długość odcinka $AD$: $$ |AD| = \frac{1}{2} \cdot |AB| $$ $$ |AD| = \frac{1}{2} \cdot 10 $$ $$ |AD| = 5 $$ Trójkąt $ADC$ jest trójkątem prostokątnym. Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa, aby obliczyć długość ramienia $AC$: $$ |AC|^2 = |AD|^2 + |CD|^2 $$ Podstawiamy dane: $$ |AC|^2 = 5^2 + 12^2 $$ $$ |AC|^2 = 25 + 144 $$ $$ |AC|^2 = 169 $$ Długość boku musi być dodatnia, więc: $$ |AC| = 13 $$ Ponieważ trójkąt jest równoramienny, drugie ramię ma taką samą długość: $$ |BC| = |AC| = 13 $$ Obliczamy obwód trójkąta: $$ \text{Obwód} = |AB| + |AC| + |BC| $$ $$ \text{Obwód} = 10 + 13 + 13 $$ $$ \text{Obwód} = 36 $$ | $36$ |
| 4 | W trójkącie równoramiennym $ABC$ dane są $|AB| = 24$ (podstawa) oraz $|AC| = |BC| = 15$. Oblicz pole tego trójkąta, długość wysokości $CD$ opuszczonej na podstawę $AB$ oraz długości odcinków, na jakie dzieli ona bok $AB$. | Wysokość $CD$ opuszczona na podstawę trójkąta równoramiennego dzieli ją na dwie równe części. Punkt $D$ to środek boku $AB$. Długości odcinków, na jakie wysokość dzieli bok $AB$, to $|AD|$ i $|DB|$: $$ |AD| = |DB| = \frac{1}{2} \cdot |AB| $$ $$ |AD| = \frac{1}{2} \cdot 24 $$ $$ |AD| = 12 $$ Aby obliczyć wysokość $CD$, korzystamy z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym $ADC$: $$ |AD|^2 + |CD|^2 = |AC|^2 $$ Podstawiamy znane wartości: $$ 12^2 + |CD|^2 = 15^2 $$ $$ 144 + |CD|^2 = 225 $$ Odejmujemy $144$ obustronnie: $$ |CD|^2 = 81 $$ Długość wysokości jest dodatnia, więc: $$ |CD| = 9 $$ Teraz obliczamy pole trójkąta $ABC$ ze wzoru: $$ P = \frac{1}{2} \cdot |AB| \cdot |CD| $$ Podstawiamy dane: $$ P = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 9 $$ $$ P = 12 \cdot 9 $$ $$ P = 108 $$ | Pole: $108$, wysokość $CD$: $9$, odcinki: $12$ i $12$ |
| 5 | W trójkącie $ABC$ dane są $|AC| = 6\sqrt{2}$, $\beta = 45^\circ$, $\gamma = 30^\circ$. Oblicz długość boku $AB$. | Zadanie rozwiązujemy korzystając z twierdzenia sinusów. Stosunek długości boku do sinusa kąta leżącego naprzeciwko jest stały dla danego trójkąta. Bok $AC$ leży naprzeciwko kąta $\beta$, a bok $AB$ leży naprzeciwko kąta $\gamma$. Zapisujemy twierdzenie sinusów: $$ \frac{|AC|}{\sin \beta} = \frac{|AB|}{\sin \gamma} $$ Podstawiamy dane z zadania: $$ \frac{6\sqrt{2}}{\sin 45^\circ} = \frac{|AB|}{\sin 30^\circ} $$ Podstawiamy wartości funkcji trygonometrycznych: $$ \frac{6\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{|AB|}{\frac{1}{2}} $$ Przekształcamy lewą stronę (dzielenie to mnożenie przez odwrotność): $$ 6\sqrt{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{|AB|}{\frac{1}{2}} $$ $$ 12 = \frac{|AB|}{\frac{1}{2}} $$ Mnożymy obustronnie przez $\frac{1}{2}$: $$ |AB| = 12 \cdot \frac{1}{2} $$ $$ |AB| = 6 $$ | $|AB| = 6$ |
| 6 | W trójkącie dane są długości boków $a = 5$, $b = 16$, $c = 19$. Oblicz miarę największego kąta w tym trójkącie. | Największy kąt w trójkącie leży zawsze naprzeciwko najdłuższego boku. W tym przypadku najdłuższy bok to $c = 19$, więc szukamy kąta $\gamma$. Korzystamy z twierdzenia cosinusów dla boku $c$: $$ c^2 = a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos \gamma $$ Podstawiamy długości boków: $$ 19^2 = 5^2 + 16^2 - 2 \cdot 5 \cdot 16 \cdot \cos \gamma $$ Obliczamy kwadraty i iloczyny: $$ 361 = 25 + 256 - 160 \cdot \cos \gamma $$ $$ 361 = 281 - 160 \cdot \cos \gamma $$ Przenosimy $281$ na lewą stronę: $$ 361 - 281 = -160 \cdot \cos \gamma $$ $$ 80 = -160 \cdot \cos \gamma $$ Dzielimy obustronnie przez $-160$: $$ \cos \gamma = \frac{80}{-160} $$ $$ \cos \gamma = -\frac{1}{2} $$ Szukamy kąta $\gamma$ w przedziale $(0^\circ, 180^\circ)$, dla którego cosinus wynosi $-\frac{1}{2}$. Wartość cosinusa jest ujemna, więc kąt jest rozwarty. Wiemy, że $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$. Ze wzorów redukcyjnych $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha$. Zatem $\gamma = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. | $120^\circ$ |
| 7 | W trójkącie $ABC$ dane są $a = 6$, $b = 10$, $\gamma = 60^\circ$. Oblicz pole tego trójkąta, długość boku $c$ oraz wysokość $h_b$. | Najpierw obliczamy pole trójkąta ze wzoru z sinusem kąta między bokami: $$ P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin \gamma $$ Podstawiamy dane: $$ P = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 10 \cdot \sin 60^\circ $$ $$ P = 30 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} $$ $$ P = 15\sqrt{3} $$ Następnie obliczamy długość boku $c$ korzystając z twierdzenia cosinusów: $$ c^2 = a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos \gamma $$ Podstawiamy wartości: $$ c^2 = 6^2 + 10^2 - 2 \cdot 6 \cdot 10 \cdot \cos 60^\circ $$ $$ c^2 = 36 + 100 - 120 \cdot \frac{1}{2} $$ $$ c^2 = 136 - 60 $$ $$ c^2 = 76 $$ Długość boku musi być dodatnia, więc: $$ c = \sqrt{76} = 2\sqrt{19} $$ Aby obliczyć wysokość $h_b$ opuszczoną na bok $b$, wykorzystujemy obliczone wcześniej pole trójkąta: $$ P = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_b $$ Podstawiamy pole i długość boku $b$: $$ 15\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot h_b $$ $$ 15\sqrt{3} = 5 \cdot h_b $$ Dzielimy obustronnie przez $5$: $$ h_b = \frac{15\sqrt{3}}{5} $$ $$ h_b = 3\sqrt{3} $$ | Pole: $15\sqrt{3}$, $c = 2\sqrt{19}$, $h_b = 3\sqrt{3}$ |
| 8 | W trójkącie $ABC$ dane są długości boków $a = 13$, $b = 20$, $c = 21$. Oblicz pole trójkąta, promień okręgu wpisanego ($r$) oraz promień okręgu opisanego ($R$). | Do obliczenia pola trójkąta wykorzystamy wzór Herona. Najpierw obliczamy połowę obwodu ($p$): $$ p = \frac{a + b + c}{2} $$ $$ p = \frac{13 + 20 + 21}{2} $$ $$ p = \frac{54}{2} $$ $$ p = 27 $$ Stosujemy wzór Herona na pole trójkąta: $$ P = \sqrt{p \cdot (p - a) \cdot (p - b) \cdot (p - c)} $$ Podstawiamy wartości: $$ P = \sqrt{27 \cdot (27 - 13) \cdot (27 - 20) \cdot (27 - 21)} $$ $$ P = \sqrt{27 \cdot 14 \cdot 7 \cdot 6} $$ Rozkładamy liczby na czynniki, aby łatwiej wyciągnąć pierwiastek: $$ P = \sqrt{(9 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 7) \cdot 7 \cdot (2 \cdot 3)} $$ $$ P = \sqrt{9 \cdot 3^2 \cdot 2^2 \cdot 7^2} $$ $$ P = 3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 7 $$ $$ P = 126 $$ Teraz obliczamy promień okręgu wpisanego ($r$) ze wzoru $P = p \cdot r$: $$ r = \frac{P}{p} $$ $$ r = \frac{126}{27} $$ Po skróceniu ułamka przez $9$: $$ r = \frac{14}{3} $$ Na koniec obliczamy promień okręgu opisanego ($R$) ze wzoru $P = \frac{a \cdot b \cdot c}{4 \cdot R}$: $$ R = \frac{a \cdot b \cdot c}{4 \cdot P} $$ $$ R = \frac{13 \cdot 20 \cdot 21}{4 \cdot 126} $$ $$ R = \frac{5460}{504} $$ Skracamy ułamek przez $84$: $$ R = \frac{65}{6} $$ | Pole: $126$, $r = \frac{14}{3}$, $R = \frac{65}{6}$ |
| 9 | W trójkącie $ABC$ dane są długości boków $a = 8$, $b = 10$, $c = 12$. Oblicz długość środkowej $m_a$ poprowadzonej z wierzchołka $A$. | Korzystamy ze wzoru na długość środkowej trójkąta poprowadzonej na bok $a$: $$ m_a^2 = \frac{2 \cdot b^2 + 2 \cdot c^2 - a^2}{4} $$ Podstawiamy długości boków podane w zadaniu: $$ m_a^2 = \frac{2 \cdot 10^2 + 2 \cdot 12^2 - 8^2}{4} $$ Wykonujemy potęgowanie: $$ m_a^2 = \frac{2 \cdot 100 + 2 \cdot 144 - 64}{4} $$ Mnożymy: $$ m_a^2 = \frac{200 + 288 - 64}{4} $$ Dodajemy i odejmujemy w liczniku: $$ m_a^2 = \frac{488 - 64}{4} $$ $$ m_a^2 = \frac{424}{4} $$ $$ m_a^2 = 106 $$ Długość środkowej musi być liczbą dodatnią, więc pierwiastkujemy obustronnie: $$ m_a = \sqrt{106} $$ | $m_a = \sqrt{106}$ |
| 10 | W trójkącie równoramiennym $ABC$, w którym $|AC| = |BC| = 10$, na ramieniu $BC$ obrano punkt $D$ tak, że $|CD| : |DB| = 1 : 1$. Długość podstawy $AB$ wynosi $16$. Oblicz długość odcinka $AD$. | Najpierw wyznaczamy długości odcinków $CD$ i $DB$. Wiemy, że $|BC| = 10$ oraz stosunek $|CD| : |DB| = 1 : 1$, co oznacza, że punkt $D$ jest środkiem boku $BC$. Zatem: $$ |CD| = |DB| = \frac{10}{2} = 5 $$ Aby obliczyć $|AD|$, skorzystamy z twierdzenia cosinusów w trójkącie $ABD$. W tym celu musimy najpierw poznać cosinus kąta $\beta$ przy wierzchołku $B$. Rozpatrujemy duży trójkąt równoramienny $ABC$. Prowadzimy wysokość z wierzchołka $C$ na podstawę $AB$. Dzieli ona podstawę na dwie równe części po $8$. W powstałym trójkącie prostokątnym obliczamy cosinus kąta $\beta$: $$ \cos \beta = \frac{\text{połowa podstawy}}{\text{ramię}} $$ $$ \cos \beta = \frac{8}{10} $$ Po skróceniu przez $2$ otrzymujemy: $$ \cos \beta = \frac{4}{5} $$ Teraz wracamy do trójkąta $ABD$. Znamy boki $|AB| = 16$, $|BD| = 5$ oraz $\cos \beta = \frac{4}{5}$. Stosujemy twierdzenie cosinusów dla boku $AD$: $$ |AD|^2 = |AB|^2 + |BD|^2 - 2 \cdot |AB| \cdot |BD| \cdot \cos \beta $$ Podstawiamy wartości: $$ |AD|^2 = 16^2 + 5^2 - 2 \cdot 16 \cdot 5 \cdot \frac{4}{5} $$ $$ |AD|^2 = 256 + 25 - 160 \cdot \frac{4}{5} $$ $$ |AD|^2 = 281 - 128 $$ $$ |AD|^2 = 153 $$ Długość odcinka jest dodatnia, więc: $$ |AD| = \sqrt{153} $$ Rozkładamy liczbę pod pierwiastkiem ($153 = 9 \cdot 17$): $$ |AD| = \sqrt{9 \cdot 17} $$ $$ |AD| = 3\sqrt{17} $$ | $|AD| = 3\sqrt{17}$ |
| Nr | Treść Zadania | Rozwiązanie | Odpowiedź |
|---|---|---|---|
| 1 | W trójkącie prostokątnym $ABC$ (kąt prosty przy wierzchołku $C$) dane są $\alpha = 30^\circ$ i $|AC| = 8\sqrt{3}$. Oblicz długości boków $BC, AB$ oraz długość wysokości $CD$ opuszczonej na przeciwprostokątną $AB$. | Zaczynamy od obliczenia długości boku $BC$, korzystając z funkcji tangens dla kąta $\alpha$. $$ \text{tg } 30^\circ = \frac{|BC|}{|AC|} $$ Podstawiamy znane wartości: $$ \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{|BC|}{8\sqrt{3}} $$ Mnożymy obustronnie przez $8\sqrt{3}$: $$ |BC| = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 8\sqrt{3} $$ $$ |BC| = \frac{8 \cdot 3}{3} $$ $$ |BC| = 8 $$ Następnie obliczamy długość przeciwprostokątnej $AB$ z twierdzenia Pitagorasa: $$ |AB|^2 = |AC|^2 + |BC|^2 $$ $$ |AB|^2 = (8\sqrt{3})^2 + 8^2 $$ $$ |AB|^2 = 192 + 64 $$ $$ |AB|^2 = 256 $$ Długość boku musi być dodatnia, więc: $$ |AB| = 16 $$ Aby obliczyć wysokość $CD$, najpierw liczymy pole trójkąta $ABC$ z przyprostokątnych: $$ P = \frac{1}{2} \cdot |AC| \cdot |BC| $$ $$ P = \frac{1}{2} \cdot 8\sqrt{3} \cdot 8 $$ $$ P = 32\sqrt{3} $$ Pole możemy również wyrazić za pomocą boku $AB$ i wysokości $CD$: $$ P = \frac{1}{2} \cdot |AB| \cdot |CD| $$ Podstawiamy obliczone pole i długość $AB$: $$ 32\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot |CD| $$ $$ 32\sqrt{3} = 8 \cdot |CD| $$ Dzielimy obustronnie przez $8$: $$ |CD| = 4\sqrt{3} $$ | $|BC| = 8$, $|AB| = 16$, $|CD| = 4\sqrt{3}$ |
| 2 | W trójkącie prostokątnym $ABC$ (kąt prosty przy wierzchołku $C$) dane są $|BC| = 21$ oraz $\text{ctg } \beta = \frac{20}{21}$. Oblicz obwód tego trójkąta. | Kąt $\beta$ znajduje się przy wierzchołku $B$. W trójkącie prostokątnym cotangens kąta $\beta$ to stosunek długości przyprostokątnej przyległej do tego kąta do długości przyprostokątnej przeciwległej. Przyprostokątna przyległa to $BC$, a przeciwległa to $AC$. $$ \text{ctg } \beta = \frac{|BC|}{|AC|} $$ Podstawiamy dane z zadania: $$ \frac{20}{21} = \frac{21}{|AC|} $$ Mnożymy na krzyż: $$ 20 \cdot |AC| = 21 \cdot 21 $$ $$ 20 \cdot |AC| = 441 $$ $$ |AC| = \frac{441}{20} $$ Teraz obliczamy długość przeciwprostokątnej $AB$ z twierdzenia Pitagorasa: $$ |AB|^2 = |AC|^2 + |BC|^2 $$ $$ |AB|^2 = \left(\frac{441}{20}\right)^2 + 21^2 $$ $$ |AB|^2 = \frac{194481}{400} + 441 $$ Sprowadzamy do wspólnego mianownika: $$ |AB|^2 = \frac{194481}{400} + \frac{176400}{400} $$ $$ |AB|^2 = \frac{370881}{400} $$ Długość boku jest dodatnia, więc pierwiastkujemy (wiemy, że $\sqrt{370881} = 609$): $$ |AB| = \frac{609}{20} $$ Obliczamy obwód trójkąta dodając długości wszystkich boków: $$ \text{Obwód} = |AB| + |BC| + |AC| $$ $$ \text{Obwód} = \frac{609}{20} + 21 + \frac{441}{20} $$ $$ \text{Obwód} = \frac{1050}{20} + 21 $$ $$ \text{Obwód} = 52.5 + 21 $$ $$ \text{Obwód} = 73.5 $$ | $73.5$ |
| 3 | W trójkącie równoramiennym $ABC$ dane są $|AB| = 18$ (podstawa) oraz długość wysokości $CD$ opuszczonej na podstawę wynosi $12$. Oblicz obwód trójkąta $ABC$. | Wysokość $CD$ opuszczona na podstawę w trójkącie równoramiennym dzieli tę podstawę na dwie równe części. Punkt $D$ jest środkiem boku $AB$. Obliczamy długość odcinka $AD$: $$ |AD| = \frac{1}{2} \cdot |AB| $$ $$ |AD| = \frac{1}{2} \cdot 18 $$ $$ |AD| = 9 $$ Trójkąt $ADC$ jest trójkątem prostokątnym. Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa, aby obliczyć długość ramienia $AC$: $$ |AC|^2 = |AD|^2 + |CD|^2 $$ Podstawiamy dane: $$ |AC|^2 = 9^2 + 12^2 $$ $$ |AC|^2 = 81 + 144 $$ $$ |AC|^2 = 225 $$ Długość boku musi być dodatnia, więc: $$ |AC| = 15 $$ Ponieważ trójkąt jest równoramienny, drugie ramię ma taką samą długość: $$ |BC| = |AC| = 15 $$ Obliczamy obwód trójkąta: $$ \text{Obwód} = |AB| + |AC| + |BC| $$ $$ \text{Obwód} = 18 + 15 + 15 $$ $$ \text{Obwód} = 48 $$ | $48$ |
| 4 | W trójkącie równoramiennym $ABC$ dane są $|AB| = 16$ (podstawa) oraz $|AC| = |BC| = 17$. Oblicz pole tego trójkąta, długość wysokości $CD$ opuszczonej na podstawę $AB$ oraz długości odcinków, na jakie dzieli ona bok $AB$. | Wysokość $CD$ opuszczona na podstawę trójkąta równoramiennego dzieli ją na dwie równe części. Punkt $D$ to środek boku $AB$. Długości odcinków, na jakie wysokość dzieli bok $AB$, to $|AD|$ i $|DB|$: $$ |AD| = |DB| = \frac{1}{2} \cdot |AB| $$ $$ |AD| = \frac{1}{2} \cdot 16 $$ $$ |AD| = 8 $$ Aby obliczyć wysokość $CD$, korzystamy z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym $ADC$: $$ |AD|^2 + |CD|^2 = |AC|^2 $$ Podstawiamy znane wartości: $$ 8^2 + |CD|^2 = 17^2 $$ $$ 64 + |CD|^2 = 289 $$ Odejmujemy $64$ obustronnie: $$ |CD|^2 = 225 $$ Długość wysokości jest dodatnia, więc: $$ |CD| = 15 $$ Teraz obliczamy pole trójkąta $ABC$ ze wzoru: $$ P = \frac{1}{2} \cdot |AB| \cdot |CD| $$ Podstawiamy dane: $$ P = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 15 $$ $$ P = 8 \cdot 15 $$ $$ P = 120 $$ | Pole: $120$, wysokość $CD$: $15$, odcinki: $8$ i $8$ |
| 5 | W trójkącie $ABC$ dane są $|AC| = 10$, $\beta = 30^\circ$, $\gamma = 60^\circ$. Oblicz długość boku $AB$. | Zadanie rozwiązujemy korzystając z twierdzenia sinusów. Stosunek długości boku do sinusa kąta leżącego naprzeciwko jest stały dla danego trójkąta. Bok $AC$ leży naprzeciwko kąta $\beta$, a bok $AB$ leży naprzeciwko kąta $\gamma$. Zapisujemy twierdzenie sinusów: $$ \frac{|AC|}{\sin \beta} = \frac{|AB|}{\sin \gamma} $$ Podstawiamy dane z zadania: $$ \frac{10}{\sin 30^\circ} = \frac{|AB|}{\sin 60^\circ} $$ Podstawiamy wartości funkcji trygonometrycznych: $$ \frac{10}{\frac{1}{2}} = \frac{|AB|}{\frac{\sqrt{3}}{2}} $$ Przekształcamy lewą stronę (dzielenie to mnożenie przez odwrotność): $$ 10 \cdot 2 = \frac{|AB|}{\frac{\sqrt{3}}{2}} $$ $$ 20 = \frac{|AB|}{\frac{\sqrt{3}}{2}} $$ Mnożymy obustronnie przez $\frac{\sqrt{3}}{2}$: $$ |AB| = 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} $$ $$ |AB| = 10\sqrt{3} $$ | $|AB| = 10\sqrt{3}$ |
| 6 | W trójkącie dane są długości boków $a = 11$, $b = 24$, $c = 31$. Oblicz miarę największego kąta w tym trójkącie. | Największy kąt w trójkącie leży zawsze naprzeciwko najdłuższego boku. W tym przypadku najdłuższy bok to $c = 31$, więc szukamy kąta $\gamma$. Korzystamy z twierdzenia cosinusów dla boku $c$: $$ c^2 = a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos \gamma $$ Podstawiamy długości boków: $$ 31^2 = 11^2 + 24^2 - 2 \cdot 11 \cdot 24 \cdot \cos \gamma $$ Obliczamy kwadraty i iloczyny: $$ 961 = 121 + 576 - 528 \cdot \cos \gamma $$ $$ 961 = 697 - 528 \cdot \cos \gamma $$ Przenosimy $697$ na lewą stronę: $$ 961 - 697 = -528 \cdot \cos \gamma $$ $$ 264 = -528 \cdot \cos \gamma $$ Dzielimy obustronnie przez $-528$: $$ \cos \gamma = \frac{264}{-528} $$ $$ \cos \gamma = -\frac{1}{2} $$ Szukamy kąta $\gamma$ w przedziale $(0^\circ, 180^\circ)$, dla którego cosinus wynosi $-\frac{1}{2}$. Wartość cosinusa jest ujemna, więc kąt jest rozwarty. Wiemy, że $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$. Ze wzorów redukcyjnych $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha$. Zatem $\gamma = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. | $120^\circ$ |
| 7 | W trójkącie $ABC$ dane są $a = 8$, $b = 12$, $\gamma = 120^\circ$. Oblicz pole tego trójkąta, długość boku $c$ oraz wysokość $h_b$. | Najpierw obliczamy pole trójkąta ze wzoru z sinusem kąta między bokami: $$ P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin \gamma $$ Podstawiamy dane (wiemy, że $\sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$): $$ P = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} $$ $$ P = 48 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} $$ $$ P = 24\sqrt{3} $$ Następnie obliczamy długość boku $c$ korzystając z twierdzenia cosinusów: $$ c^2 = a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos \gamma $$ Podstawiamy wartości (wiemy, że $\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$): $$ c^2 = 8^2 + 12^2 - 2 \cdot 8 \cdot 12 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) $$ $$ c^2 = 64 + 144 - 192 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) $$ $$ c^2 = 208 + 96 $$ $$ c^2 = 304 $$ Długość boku musi być dodatnia, więc: $$ c = \sqrt{304} = \sqrt{16 \cdot 19} = 4\sqrt{19} $$ Aby obliczyć wysokość $h_b$ opuszczoną na bok $b$, wykorzystujemy obliczone wcześniej pole trójkąta: $$ P = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_b $$ Podstawiamy pole i długość boku $b$: $$ 24\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot h_b $$ $$ 24\sqrt{3} = 6 \cdot h_b $$ Dzielimy obustronnie przez $6$: $$ h_b = \frac{24\sqrt{3}}{6} $$ $$ h_b = 4\sqrt{3} $$ | Pole: $24\sqrt{3}$, $c = 4\sqrt{19}$, $h_b = 4\sqrt{3}$ |
| 8 | W trójkącie $ABC$ dane są długości boków $a = 10$, $b = 17$, $c = 21$. Oblicz pole trójkąta, promień okręgu wpisanego ($r$) oraz promień okręgu opisanego ($R$). | Do obliczenia pola trójkąta wykorzystamy wzór Herona. Najpierw obliczamy połowę obwodu ($p$): $$ p = \frac{a + b + c}{2} $$ $$ p = \frac{10 + 17 + 21}{2} $$ $$ p = \frac{48}{2} $$ $$ p = 24 $$ Stosujemy wzór Herona na pole trójkąta: $$ P = \sqrt{p \cdot (p - a) \cdot (p - b) \cdot (p - c)} $$ Podstawiamy wartości: $$ P = \sqrt{24 \cdot (24 - 10) \cdot (24 - 17) \cdot (24 - 21)} $$ $$ P = \sqrt{24 \cdot 14 \cdot 7 \cdot 3} $$ Rozkładamy liczby na czynniki, aby łatwiej wyciągnąć pierwiastek: $$ P = \sqrt{(8 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 7) \cdot 7 \cdot 3} $$ $$ P = \sqrt{16 \cdot 3^2 \cdot 7^2} $$ $$ P = 4 \cdot 3 \cdot 7 $$ $$ P = 84 $$ Teraz obliczamy promień okręgu wpisanego ($r$) ze wzoru $P = p \cdot r$: $$ r = \frac{P}{p} $$ $$ r = \frac{84}{24} $$ Po skróceniu ułamka przez $12$: $$ r = \frac{7}{2} = 3.5 $$ Na koniec obliczamy promień okręgu opisanego ($R$) ze wzoru $P = \frac{a \cdot b \cdot c}{4 \cdot R}$: $$ R = \frac{a \cdot b \cdot c}{4 \cdot P} $$ $$ R = \frac{10 \cdot 17 \cdot 21}{4 \cdot 84} $$ $$ R = \frac{3570}{336} $$ Skracamy ułamek przez $42$: $$ R = \frac{85}{8} $$ | Pole: $84$, $r = \frac{7}{2}$, $R = \frac{85}{8}$ |
| 9 | W trójkącie $ABC$ dane są długości boków $a = 10$, $b = 14$, $c = 16$. Oblicz długość środkowej $m_b$ poprowadzonej z wierzchołka $B$. | Korzystamy ze wzoru na długość środkowej trójkąta poprowadzonej na bok $b$: $$ m_b^2 = \frac{2 \cdot a^2 + 2 \cdot c^2 - b^2}{4} $$ Podstawiamy długości boków podane w zadaniu: $$ m_b^2 = \frac{2 \cdot 10^2 + 2 \cdot 16^2 - 14^2}{4} $$ Wykonujemy potęgowanie: $$ m_b^2 = \frac{2 \cdot 100 + 2 \cdot 256 - 196}{4} $$ Mnożymy: $$ m_b^2 = \frac{200 + 512 - 196}{4} $$ Dodajemy i odejmujemy w liczniku: $$ m_b^2 = \frac{712 - 196}{4} $$ $$ m_b^2 = \frac{516}{4} $$ $$ m_b^2 = 129 $$ Długość środkowej musi być liczbą dodatnią, więc pierwiastkujemy obustronnie: $$ m_b = \sqrt{129} $$ | $m_b = \sqrt{129}$ |
| 10 | W trójkącie równoramiennym $ABC$, w którym $|AC| = |BC| = 15$, na ramieniu $BC$ obrano punkt $D$ tak, że $|CD| : |DB| = 2 : 1$. Długość podstawy $AB$ wynosi $24$. Oblicz długość odcinka $AD$. | Najpierw wyznaczamy długości odcinków $CD$ i $DB$. Wiemy, że $|BC| = 15$ oraz stosunek $|CD| : |DB| = 2 : 1$. Możemy zapisać $|CD| = 2x$ oraz $|DB| = x$. Suma tych odcinków daje całe ramię: $$ 2x + x = 15 $$ $$ 3x = 15 $$ $$ x = 5 $$ Zatem $|CD| = 2 \cdot 5 = 10$ oraz $|DB| = 5$. Aby obliczyć $|AD|$, skorzystamy z twierdzenia cosinusów w trójkącie $ABD$. W tym celu musimy najpierw poznać cosinus kąta $\beta$ przy wierzchołku $B$. Rozpatrujemy duży trójkąt równoramienny $ABC$. Prowadzimy wysokość z wierzchołka $C$ na podstawę $AB$. Dzieli ona podstawę na dwie równe części po $12$. W powstałym trójkącie prostokątnym obliczamy cosinus kąta $\beta$: $$ \cos \beta = \frac{\text{połowa podstawy}}{\text{ramię}} $$ $$ \cos \beta = \frac{12}{15} $$ Po skróceniu przez $3$ otrzymujemy: $$ \cos \beta = \frac{4}{5} $$ Teraz wracamy do trójkąta $ABD$. Znamy boki $|AB| = 24$, $|BD| = 5$ oraz $\cos \beta = \frac{4}{5}$. Stosujemy twierdzenie cosinusów dla boku $AD$: $$ |AD|^2 = |AB|^2 + |BD|^2 - 2 \cdot |AB| \cdot |BD| \cdot \cos \beta $$ Podstawiamy wartości: $$ |AD|^2 = 24^2 + 5^2 - 2 \cdot 24 \cdot 5 \cdot \frac{4}{5} $$ $$ |AD|^2 = 576 + 25 - 240 \cdot \frac{4}{5} $$ $$ |AD|^2 = 601 - 192 $$ $$ |AD|^2 = 409 $$ Długość odcinka jest dodatnia, więc: $$ |AD| = \sqrt{409} $$ | $|AD| = \sqrt{409}$ |