| Nr | Treść Zadania | Odpowiedź |
|---|---|---|
| 1 | Wiadomo, że $2^x + 2^{-x} = 5$. Oblicz $4^x + 4^{-x}$ oraz $16^x + 16^{-x}$. | $4^x + 4^{-x} = 23$, $16^x + 16^{-x} = 527$ |
| 2 | Udowodnij, że liczba $\left(\sqrt{12 - \sqrt{128}} + \sqrt{12 + \sqrt{128}}\right)^2$ jest całkowita. | Wartość wyrażenia wynosi $32$, co jest liczbą całkowitą. |
| 3 | Populacja rzadkiego gatunku motyli w pewnym rezerwacie w 2005 roku wynosiła 800 osobników. Od tego czasu populacja systematycznie spada o 3% rocznie z powodu zmian klimatycznych. Znajdź wzór funkcji $P(t)$ opisującej populację motyli po $t$ latach od 2005 roku. Oblicz przybliżoną populację tego gatunku w 2015 roku. | $P(t) = 800 \cdot (0,97)^t$, populacja wyniesie około 590 osobników. |
| 4 | W 2010 roku liczba studentów pewnej uczelni wynosiła 12000. Z każdym kolejnym rokiem wzrastała ona o 4%. Dla każdej liczby całkowitej $t \ge 0$ funkcja $S(t)$ określa liczbę studentów po upływie $t$ lat. Wyznacz wzór funkcji $S(t)$ oraz oblicz, w którym roku liczba studentów tej uczelni przekroczy 15000. | $S(t) = 12000 \cdot (1,04)^t$, w 2016 roku. |
| 5 | Wykaż, że jeżeli $A = 5^{4\sqrt{2}+2}$ i $B = 5^{2\sqrt{2}+2}$, to $B = 5\sqrt{A}$. | Dowód w rozwiązaniu. |
| 6 | Wykaż, że jeśli $a = 5^{4-2\sqrt{3}}$ i $b = \left(\frac{1}{25}\right)^{|1-\sqrt{3}|}$, to $a = 25b$. | Dowód w rozwiązaniu. |
| 7 | Pewien pierwiastek promieniotwórczy rozpada się w tempie 15% rocznie. Po 3 latach pozostało 3,06g tego pierwiastka. Znajdź początkową masę pierwiastka. Po ilu latach masa tego pierwiastka będzie mniejsza niż 0,5g? | Masa początkowa wynosiła około 5g. Masa będzie mniejsza niż 0,5g po 15 latach. |
| 8 | Uprość wyrażenie $a = \left[ (3-\sqrt{5})^{\frac{1}{2}} + (3+\sqrt{5})^{\frac{1}{2}} \right]^2$. | $a = 10$ |
| 9 | Uprość wyrażenie $b = \frac{125^{-1} \cdot \sqrt{5}}{25^{-2} \cdot \sqrt[4]{25}}$. | $b = 5$ |
| 10 | Porównaj liczby $a^b$ i $b^a$, jeśli $a = \left[ (3-\sqrt{5})^{\frac{1}{2}} + (3+\sqrt{5})^{\frac{1}{2}} \right]^2$ oraz $b = \frac{125^{-1} \cdot \sqrt{5}}{25^{-2} \cdot \sqrt[4]{25}}$. | $b^a > a^b$ |
| Nr | Treść Zadania | Odpowiedź |
|---|---|---|
| 1 | Wiadomo, że $3^x + 3^{-x} = 4$. Oblicz $9^x + 9^{-x}$ oraz $81^x + 81^{-x}$. | $9^x + 9^{-x} = 14$, $81^x + 81^{-x} = 194$ |
| 2 | Udowodnij, że liczba $\left(\sqrt{8 - \sqrt{28}} + \sqrt{8 + \sqrt{28}}\right)^2$ jest całkowita. | Wartość wyrażenia wynosi $28$, co jest liczbą całkowitą. |
| 3 | Populacja rzadkiego gatunku ptaków w pewnym rezerwacie w 2000 roku wynosiła 1000 osobników. Od tego czasu populacja systematycznie spada o 2% rocznie z powodu niszczenia siedlisk. Znajdź wzór funkcji $P(t)$ opisującej populację ptaków po $t$ latach od 2000 roku. Oblicz przybliżoną populację tego gatunku w 2010 roku. | $P(t) = 1000 \cdot (0,98)^t$, populacja wyniesie około 817 osobników. |
| 4 | W 2015 roku liczba mieszkańców nowo powstałego osiedla wynosiła 10000. Z każdym kolejnym rokiem wzrastała ona o 5%. Dla każdej liczby całkowitej $t \ge 0$ funkcja $S(t)$ określa liczbę mieszkańców po upływie $t$ lat. Wyznacz wzór funkcji $S(t)$ oraz oblicz, w którym roku liczba mieszkańców tego osiedla przekroczy 13000. | $S(t) = 10000 \cdot (1,05)^t$, w 2021 roku. |
| 5 | Wykaż, że jeżeli $A = 3^{6\sqrt{2}+4}$ i $B = 3^{3\sqrt{2}+3}$, to $B = 3\sqrt{A}$. | Dowód w rozwiązaniu. |
| 6 | Wykaż, że jeśli $a = 3^{4-2\sqrt{2}}$ i $b = \left(\frac{1}{9}\right)^{|1-\sqrt{2}|}$, to $a = 9b$. | Dowód w rozwiązaniu. |
| 7 | Pewien izotop promieniotwórczy rozpada się w tempie 20% rocznie. Po 2 latach pozostało 3,2g tego izotopu. Znajdź początkową masę izotopu. Po ilu latach masa tego izotopu będzie mniejsza niż 0,5g? | Masa początkowa wynosiła 5g. Masa będzie mniejsza niż 0,5g po 11 latach. |
| 8 | Uprość wyrażenie $a = \left[ (4-\sqrt{7})^{\frac{1}{2}} + (4+\sqrt{7})^{\frac{1}{2}} \right]^2$. | $a = 14$ |
| 9 | Uprość wyrażenie $b = \frac{27^{-1} \cdot \sqrt{3}}{9^{-2} \cdot \sqrt[4]{9}}$. | $b = 3$ |
| 10 | Porównaj liczby $a^b$ i $b^a$, jeśli $a = \left[ (4-\sqrt{7})^{\frac{1}{2}} + (4+\sqrt{7})^{\frac{1}{2}} \right]^2$ oraz $b = \frac{27^{-1} \cdot \sqrt{3}}{9^{-2} \cdot \sqrt[4]{9}}$. | $b^a > a^b$ |
| Nr | Treść Zadania | Odpowiedź |
|---|---|---|
| 1 | Wiadomo, że $2^x + 2^{-x} = 6$. Oblicz $4^x + 4^{-x}$ oraz $16^x + 16^{-x}$. | $4^x + 4^{-x} = 34$, $16^x + 16^{-x} = 1154$ |
| 2 | Udowodnij, że liczba $\left(\sqrt{10 - \sqrt{64}} + \sqrt{10 + \sqrt{64}}\right)^2$ jest całkowita. | Wartość wyrażenia wynosi $32$, co jest liczbą całkowitą. |
| 3 | Populacja rzadkiego gatunku żab w pewnym rezerwacie w 2010 roku wynosiła 500 osobników. Od tego czasu populacja systematycznie spada o 4% rocznie z powodu zanieczyszczenia wód. Znajdź wzór funkcji $P(t)$ opisującej populację żab po $t$ latach od 2010 roku. Oblicz przybliżoną populację tego gatunku w 2020 roku. | $P(t) = 500 \cdot (0,96)^t$, populacja wyniesie około 332 osobników. |
| 4 | W 2012 roku liczba pracowników pewnej korporacji wynosiła 8000. Z każdym kolejnym rokiem wzrastała ona o 6%. Dla każdej liczby całkowitej $t \ge 0$ funkcja $S(t)$ określa liczbę pracowników po upływie $t$ lat. Wyznacz wzór funkcji $S(t)$ oraz oblicz, w którym roku liczba pracowników tej korporacji przekroczy 10000. | $S(t) = 8000 \cdot (1,06)^t$, w 2016 roku. |
| 5 | Wykaż, że jeżeli $A = 2^{8\sqrt{3}+6}$ i $B = 2^{4\sqrt{3}+4}$, to $B = 2\sqrt{A}$. | Dowód w rozwiązaniu. |
| 6 | Wykaż, że jeśli $a = 2^{4-2\sqrt{5}}$ i $b = \left(\frac{1}{4}\right)^{|1-\sqrt{5}|}$, to $a = 4b$. | Dowód w rozwiązaniu. |
| 7 | Pewien pierwiastek promieniotwórczy rozpada się w tempie 10% rocznie. Po 2 latach pozostało 4,05g tego pierwiastka. Znajdź początkową masę pierwiastka. Po ilu latach masa tego pierwiastka będzie mniejsza niż 1g? | Masa początkowa wynosiła 5g. Masa będzie mniejsza niż 1g po 16 latach. |
| 8 | Uprość wyrażenie $a = \left[ (5-\sqrt{21})^{\frac{1}{2}} + (5+\sqrt{21})^{\frac{1}{2}} \right]^2$. | $a = 14$ |
| 9 | Uprość wyrażenie $b = \frac{8^{-1} \cdot \sqrt{2}}{4^{-2} \cdot \sqrt[4]{4}}$. | $b = 2$ |
| 10 | Porównaj liczby $a^b$ i $b^a$, jeśli $a = \left[ (5-\sqrt{21})^{\frac{1}{2}} + (5+\sqrt{21})^{\frac{1}{2}} \right]^2$ oraz $b = \frac{8^{-1} \cdot \sqrt{2}}{4^{-2} \cdot \sqrt[4]{4}}$. | $b^a > a^b$ |
| Nr | Treść Zadania | Odpowiedź |
|---|---|---|
| 1 | Wiadomo, że $5^x + 5^{-x} = 3$. Oblicz $25^x + 25^{-x}$ oraz $625^x + 625^{-x}$. | $25^x + 25^{-x} = 7$, $625^x + 625^{-x} = 47$ |
| 2 | Udowodnij, że liczba $\left(\sqrt{14 - \sqrt{132}} + \sqrt{14 + \sqrt{132}}\right)^2$ jest całkowita. | Wartość wyrażenia wynosi $44$, co jest liczbą całkowitą. |
| 3 | Populacja rzadkiego gatunku ryb w pewnym jeziorze w 2008 roku wynosiła 1200 osobników. Od tego czasu populacja systematycznie spada o 5% rocznie z powodu kłusownictwa. Znajdź wzór funkcji $P(t)$ opisującej populację ryb po $t$ latach od 2008 roku. Oblicz przybliżoną populację tego gatunku w 2018 roku. | $P(t) = 1200 \cdot (0,95)^t$, populacja wyniesie około 718 osobników. |
| 4 | W 2018 roku liczba samochodów w pewnym mieście wynosiła 15000. Z każdym kolejnym rokiem wzrastała ona o 3%. Dla każdej liczby całkowitej $t \ge 0$ funkcja $S(t)$ określa liczbę samochodów po upływie $t$ lat. Wyznacz wzór funkcji $S(t)$ oraz oblicz, w którym roku liczba samochodów w tym mieście przekroczy 18000. | $S(t) = 15000 \cdot (1,03)^t$, w 2025 roku. |
| 5 | Wykaż, że jeżeli $A = 7^{2\sqrt{5}+2}$ i $B = 7^{\sqrt{5}+2}$, to $B = 7\sqrt{A}$. | Dowód w rozwiązaniu. |
| 6 | Wykaż, że jeśli $a = 7^{4-2\sqrt{6}}$ i $b = \left(\frac{1}{49}\right)^{|1-\sqrt{6}|}$, to $a = 49b$. | Dowód w rozwiązaniu. |
| 7 | Pewien izotop promieniotwórczy rozpada się w tempie 25% rocznie. Po 2 latach pozostało 4,5g tego izotopu. Znajdź początkową masę izotopu. Po ilu latach masa tego izotopu będzie mniejsza niż 0,5g? | Masa początkowa wynosiła 8g. Masa będzie mniejsza niż 0,5g po 10 latach. |
| 8 | Uprość wyrażenie $a = \left[ (6-\sqrt{11})^{\frac{1}{2}} + (6+\sqrt{11})^{\frac{1}{2}} \right]^2$. | $a = 22$ |
| 9 | Uprość wyrażenie $b = \frac{64^{-1} \cdot \sqrt{4}}{16^{-2} \cdot \sqrt[4]{16}}$. | $b = 4$ |
| 10 | Porównaj liczby $a^b$ i $b^a$, jeśli $a = \left[ (6-\sqrt{11})^{\frac{1}{2}} + (6+\sqrt{11})^{\frac{1}{2}} \right]^2$ oraz $b = \frac{64^{-1} \cdot \sqrt{4}}{16^{-2} \cdot \sqrt[4]{16}}$. | $b^a > a^b$ |