Iloczyn trzech liczb całkowitych, z których druga jest o 2 większa od pierwszej, a trzecia o 1 mniejsza od drugiej, jest równy 24. Wyznacz te liczby.
Wskazówki:
• Zdefiniuj wszystkie trzy liczby za pomocą jednej zmiennej $x \in \mathbb{Z}$: pierwsza to $x$, druga to $x+2$, a trzecia to $(x+2)-1 = x+1$.
• Zapisz równanie iloczynowe i doprowadź je do postaci uporządkowanego wielomianu stopnia trzeciego.
• Pierwiastków całkowitych szukaj wśród dzielników wyrazu wolnego, po czym obniż stopień wielomianu schematem Hornera i zbadaj wyróżnik trójmianu kwadratowego.
Rozwiązanie krok po kroku:
1. Zdefiniowanie liczb i ułożenie równania:
Niech $x$ oznacza pierwszą liczbę całkowitą ($x \in \mathbb{Z}$). Druga liczba wynosi $x + 2$, a trzecia: $(x + 2) - 1 = x + 1$. Zapisujemy warunek iloczynu:
$$\begin{aligned}
x(x + 2)(x + 1) &= 24
\end{aligned}$$
2. Doprowadzenie równania do postaci ogólnej:
Wymnażamy czynniki i przenosimy wyraz wolny na lewą stronę:
$$\begin{aligned}
x(x^2 + 3x + 2) &= 24 \\[6pt]
x^3 + 3x^2 + 2x - 24 &= 0
\end{aligned}$$
3. Wyznaczenie pierwiastka całkowitego:
Szukamy pierwiastków całkowitych wielomianu $W(x) = x^3 + 3x^2 + 2x - 24$ wśród dzielników liczby $-24$: $D_{-24} = \{\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \dots\}$. Sprawdzamy wartość dla $x = 2$:
$$\begin{aligned}
W(2) &= 2^3 + 3 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2 - 24 \\[6pt]
&= 8 + 12 + 4 - 24 \\[6pt]
&= 24 - 24 = 0
\end{aligned}$$
Liczba $x = 2$ jest pierwiastkiem wielomianu.
4. Użycie schematu Hornera
Dzielimy wielomian przez dwumian $(x - 2)$:
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
& 1 & 3 & 2 & -24 \\
\hline
2 & & 2 & 10 & 24 \\
\hline
& 1 & 5 & 12 & 0 \\
\hline
\end{array}$$
Otrzymujemy postać iloczynową:
$$\begin{aligned}
(x - 2)(x^2 + 5x + 12) &= 0
\end{aligned}$$
Badamy wyróżnik trójmianu kwadratowego $x^2 + 5x + 12 = 0$:
$$\begin{aligned}
\Delta &= b^2 - 4ac \\[6pt]
&= 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 \\[6pt]
&= 25 - 48 = -23 < 0
\end{aligned}$$
Ponieważ $\Delta < 0$, trójmian nie posiada pierwiastków rzeczywistych. Jedynym rozwiązaniem jest $x = 2$.
5. Wyznaczenie wartości poszukiwanych liczb:
Dla $x = 2$ otrzymujemy kolejno:
$$\begin{aligned}
x &= 2 \\[6pt]
x + 1 &= 3 \\[6pt]
x + 2 &= 4
\end{aligned}$$
Szukane liczby to $2, 3, 4$.
Liczby to $2, 3, 4$.
2
Iloczyn trzech kolejnych liczb nieparzystych jest równy 105. Jakie to liczby?
Wskazówki:
• Trzy kolejne liczby nieparzyste najwygodniej oznaczyć symetrycznie jako $n - 2$, $n$ oraz $n + 2$, gdzie $n \in 2\mathbb{Z} + 1$.
• Zastosuj wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów: $(n - 2)(n + 2) = n^2 - 4$.
• Rozwiąż równanie trzeciego stopnia, weryfikując nieparzyste dzielniki wyrazu wolnego.
Rozwiązanie krok po kroku:
1. Zapisanie równania iloczynowego:
Wprowadzamy oznaczenia liczb nieparzystych i układamy równanie:
$$\begin{aligned}
(n - 2) \cdot n \cdot (n + 2) &= 105
\end{aligned}$$
2. Przekształcenie do postaci ogólnej:
Wymnażamy wyrazy z użyciem różnicy kwadratów:
$$\begin{aligned}
n(n^2 - 4) &= 105 \\[6pt]
n^3 - 4n - 105 &= 0
\end{aligned}$$
3. Wyznaczenie pierwiastka całkowitego:
Dzielniki wyrazu wolnego $-105$ to m.in. $\pm 1, \pm 3, \pm 5, \dots$. Sprawdzamy wartość dla $n = 5$:
$$\begin{aligned}
5^3 - 4 \cdot 5 - 105 &= 125 - 20 - 105 \\[6pt]
&= 105 - 105 = 0
\end{aligned}$$
Liczba $n = 5$ spełnia równanie.
4. Użycie schematu Hornera i analiza wyróżnika:
Dzielimy wielomian przez dwumian $(n - 5)$:
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
& 1 & 0 & -4 & -105 \\
\hline
5 & & 5 & 25 & 105 \\
\hline
& 1 & 5 & 21 & 0 \\
\hline
\end{array}$$
Równanie przyjmuje postać:
$$\begin{aligned}
(n - 5)(n^2 + 5n + 21) &= 0
\end{aligned}$$
Badamy wyróżnik trójmianu kwadratowego $n^2 + 5n + 21 = 0$:
$$\begin{aligned}
\Delta &= b^2 - 4ac \\[6pt]
&= 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 21 \\[6pt]
&= 25 - 84 = -59 < 0
\end{aligned}$$
Wyróżnik $\Delta < 0$, co oznacza brak innych pierwiastków rzeczywistych.
5. Wyznaczenie szukanych liczb:
Dla $n = 5$ obliczamy poszczególne liczby:
$$\begin{aligned}
n - 2 &= 5 - 2 = 3 \\[6pt]
n &= 5 \\[6pt]
n + 2 &= 5 + 2 = 7
\end{aligned}$$
Szukane liczby to $3, 5, 7$.
Liczby to $3, 5, 7$.
3
Wyznacz wartość $k$ wiedząc, że liczba $-2$ jest pierwiastkiem wielomianu $W(x) = x^3 + kx^2 - 5x + 6$.
Wskazówki:
• Z definicji pierwiastka wielomianu wynika, że liczba $x_0$ jest pierwiastkiem wielomianu $W(x)$ wtedy i tylko wtedy, gdy $W(x_0) = 0$.
• Podstaw $x = -2$ do wzoru wielomianu i przyrównaj całe wyrażenie do zera.
• Rozwiąż powstałe równanie liniowe z niewiadomą $k$.
Rozwiązanie krok po kroku:
1. Zastosowanie warunku pierwiastka wielomianu:
Skoro liczba $-2$ jest pierwiastkiem wielomianu, to:
$$\begin{aligned}
W(-2) &= 0
\end{aligned}$$
2. Podstawienie $x = -2$ do wzoru wielomianu:
Wykonujemy potęgowanie i redukujemy wyrazy:
$$\begin{aligned}
(-2)^3 + k \cdot (-2)^2 - 5 \cdot (-2) + 6 &= 0 \\[6pt]
-8 + 4k + 10 + 6 &= 0 \\[6pt]
4k + 8 &= 0
\end{aligned}$$
3. Rozwiązanie równania liniowego:
Wyznaczamy wartość parametru $k$:
$$\begin{aligned}
4k &= -8 \\[6pt]
k &= \dfrac{-8}{4} = -2
\end{aligned}$$
$k = -2$
4
Nie wykonując dzielenia wyznacz resztę z dzielenia wielomianu $W(x) = x^4 - 2x^3 + 5x^2 - 3x + 1$ przez dwumian $x - 1$.
Wskazówki:
• Zastosuj twierdzenie o reszcie (twierdzenie Bézouta): reszta $R$ z dzielenia wielomianu $W(x)$ przez dwumian $(x - a)$ jest równa wartości wielomianu w punkcie $a$, czyli $R = W(a)$.
• Dla dzielnika $x - 1$ przyjmij $a = 1$.
• Oblicz wartość liczbową $W(1)$.
Rozwiązanie krok po kroku:
1. Zastosowanie twierdzenia o reszcie:
Reszta $R$ z dzielenia wielomianu przez dwumian $x - 1$ wynosi:
$$\begin{aligned}
R &= W(1)
\end{aligned}$$
2. Obliczenie wartości $W(1)$:
Podstawiamy $x = 1$ bezpośrednio do wzoru wielomianu:
$$\begin{aligned}
W(1) &= 1^4 - 2 \cdot 1^3 + 5 \cdot 1^2 - 3 \cdot 1 + 1 \\[6pt]
&= 1 - 2 + 5 - 3 + 1 \\[6pt]
&= 2
\end{aligned}$$
Reszta z dzielenia wielomianu wynosi $2$.
Reszta wynosi $2$.
5
Nie wykonując dzielenia sprawdź, dla jakiej wartości $m$ wielomian $W(x) = x^3 + 3x^2 - mx + 12$ jest podzielny przez dwumian $x + 3$.
Wskazówki:
• Wielomian $W(x)$ jest podzielny przez dwumian $(x - a)$ bez reszty wtedy i tylko wtedy, gdy reszta wynosi zero: $W(a) = 0$.
• Dwumian $x + 3$ przedstaw w postaci $x - (-3)$, skąd wynika, że $a = -3$.
• Podstaw $x = -3$ do wielomianu i rozwiąż równanie $W(-3) = 0$.
Rozwiązanie krok po kroku:
1. Warunek podzielności bez reszty:
Podzielność przez $x + 3 = x - (-3)$ oznacza, że:
$$\begin{aligned}
W(-3) &= 0
\end{aligned}$$
2. Podstawienie $x = -3$ do wzoru:
Wykonujemy działania algebraiczne:
$$\begin{aligned}
(-3)^3 + 3 \cdot (-3)^2 - m \cdot (-3) + 12 &= 0 \\[6pt]
-27 + 3 \cdot 9 + 3m + 12 &= 0 \\[6pt]
-27 + 27 + 3m + 12 &= 0 \\[6pt]
3m + 12 &= 0
\end{aligned}$$
3. Wyznaczenie parametru $m$:
Rozwiązujemy równanie liniowe:
$$\begin{aligned}
3m &= -12 \\[6pt]
m &= \dfrac{-12}{3} = -4
\end{aligned}$$
$m = -4$
6
Wyznacz wartość $k$, dla której reszta z dzielenia wielomianu $W(x) = 2x^4 - x^3 + 3x^2 - kx + 5$ przez dwumian $x + 1$ wynosi $10$.
Wskazówki:
• Na mocy twierdzenia o reszcie, reszta z dzielenia wielomianu przez dwumian $x + 1 = x - (-1)$ wynosi $R = W(-1)$.
• Ułóż równanie liniowe $W(-1) = 10$.
• Oblicz potęgi liczby $-1$ i wyznacz wartość parametru $k$.
Rozwiązanie krok po kroku:
1. Ułożenie równania z twierdzenia o reszcie:
Zgodnie z treścią zadania zachodzi równość:
$$\begin{aligned}
W(-1) &= 10
\end{aligned}$$
2. Podstawienie $x = -1$ do wzoru wielomianu:
Podnosimy liczbę $-1$ do odpowiednich potęg:
$$\begin{aligned}
2(-1)^4 - (-1)^3 + 3(-1)^2 - k(-1) + 5 &= 10 \\[6pt]
2 \cdot 1 - (-1) + 3 \cdot 1 + k + 5 &= 10 \\[6pt]
2 + 1 + 3 + k + 5 &= 10 \\[6pt]
k + 11 &= 10
\end{aligned}$$
3. Wyznaczenie wartości parametru $k$:
Odejmujemy $11$ od obu stron równania:
$$\begin{aligned}
k &= 10 - 11 \\[6pt]
k &= -1
\end{aligned}$$
$k = -1$
7
Wyznacz wartości $a$ i $b$ wiedząc, że liczby $1$ i $-3$ są pierwiastkami wielomianu $W(x) = x^3 + ax^2 - 4x + b$.
Wskazówki:
• Fakt, że liczby $1$ oraz $-3$ są pierwiastkami wielomianu, oznacza równoczesne zachodzenie warunków $W(1) = 0$ oraz $W(-3) = 0$.
• Ułóż układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi $a$ i $b$.
• Rozwiąż układ metodą przeciwnych współczynników.
Rozwiązanie krok po kroku:
1. Ułożenie pierwszego równania ($W(1) = 0$):
Podstawiamy $x = 1$ do wzoru wielomianu:
$$\begin{aligned}
1^3 + a \cdot 1^2 - 4 \cdot 1 + b &= 0 \\[6pt]
1 + a - 4 + b &= 0 \\[6pt]
a + b - 3 &= 0 \\[6pt]
a + b &= 3
\end{aligned}$$
2. Ułożenie drugiego równania ($W(-3) = 0$):
Podstawiamy $x = -3$ do wzoru wielomianu:
$$\begin{aligned}
(-3)^3 + a \cdot (-3)^2 - 4 \cdot (-3) + b &= 0 \\[6pt]
-27 + 9a + 12 + b &= 0 \\[6pt]
9a + b - 15 &= 0 \\[6pt]
9a + b &= 15
\end{aligned}$$
3. Rozwiązanie układu równań:
Zestawiamy oba równania:
$$\begin{aligned}
\begin{cases}
a + b = 3 \\[6pt]
9a + b = 15
\end{cases}
\end{aligned}$$
Odejmujemy pierwsze równanie od drugiego stronami:
$$\begin{aligned}
(9a + b) - (a + b) &= 15 - 3 \\[6pt]
8a &= 12 \\[6pt]
a &= \dfrac{12}{8} = \dfrac{3}{2}
\end{aligned}$$
Podstawiamy obliczoną wartość $a$ do pierwszego równania:
$$\begin{aligned}
\dfrac{3}{2} + b &= 3 \\[6pt]
b &= 3 - \dfrac{3}{2} = \dfrac{3}{2}
\end{aligned}$$
$a = \dfrac{3}{2}$, $\quad b = \dfrac{3}{2}$
8
Dobierz tak wartości $a$ i $b$, aby reszty z dzielenia wielomianu $W(x) = x^4 + ax^3 + 2x^2 + bx - 1$ przez dwumiany $x - 2$ i $x + 1$ wynosiły odpowiednio $5$ i $-2$.
Wskazówki:
• Z twierdzenia o reszcie wynika układ warunków: $W(2) = 5$ oraz $W(-1) = -2$.
• Wstaw wartości argumentów do wielomianu i uporządkuj oba równania liniowe.
• Rozwiąż otrzymany układ równań z niewiadomymi $a$ i $b$.
Rozwiązanie krok po kroku:
1. Ułożenie pierwszego równania ($W(2) = 5$):
Podstawiamy $x = 2$:
$$\begin{aligned}
2^4 + a \cdot 2^3 + 2 \cdot 2^2 + b \cdot 2 - 1 &= 5 \\[6pt]
16 + 8a + 8 + 2b - 1 &= 5 \\[6pt]
8a + 2b + 23 &= 5 \\[6pt]
8a + 2b &= -18
\end{aligned}$$
Dzielimy obie strony równania przez $2$:
$$\begin{aligned}
4a + b &= -9
\end{aligned}$$
2. Ułożenie drugiego równania ($W(-1) = -2$):
Podstawiamy $x = -1$:
$$\begin{aligned}
(-1)^4 + a \cdot (-1)^3 + 2 \cdot (-1)^2 + b \cdot (-1) - 1 &= -2 \\[6pt]
1 - a + 2 - b - 1 &= -2 \\[6pt]
-a - b + 2 &= -2 \\[6pt]
-a - b &= -4 \\[6pt]
a + b &= 4
\end{aligned}$$
3. Rozwiązanie układu równań:
Zestawiamy równania:
$$\begin{aligned}
\begin{cases}
4a + b = -9 \\[6pt]
a + b = 4
\end{cases}
\end{aligned}$$
Odejmujemy drugie równanie od pierwszego stronami:
$$\begin{aligned}
(4a + b) - (a + b) &= -9 - 4 \\[6pt]
3a &= -13 \\[6pt]
a &= -\dfrac{13}{3}
\end{aligned}$$
Wyznaczamy wartość $b$:
$$\begin{aligned}
b &= 4 - a \\[6pt]
&= 4 - \left(-\dfrac{13}{3}\right) \\[6pt]
&= \dfrac{12}{3} + \dfrac{13}{3} = \dfrac{25}{3}
\end{aligned}$$
$a = -\dfrac{13}{3}$, $\quad b = \dfrac{25}{3}$
9
Wyznacz takie wartości $k$, dla których wielomian $P(x) = kx^3 - (k+1)x^2 + k(k-4)x + 4$ jest podzielny przez dwumian $Q(x) = x - k$.
Wskazówki:
• Podzielność wielomianu $P(x)$ przez dwumian liniowy $(x - k)$ oznacza, że liczba $k$ jest pierwiastkiem wielomianu: $P(k) = 0$.
• Wstaw $x = k$ do wzoru wielomianu i zredukuj wyrazy podobne do postaci dwukwadratowej.
• Równanie czwartego stopnia sprowadź do równania kwadratowego za pomocą podstawienia pomocniczego $t = k^2$, pamiętając o warunku $t \ge 0$.
Rozwiązanie krok po kroku:
1. Warunek podzielności wielomianu:
Z treści zadania wynika równość:
$$\begin{aligned}
P(k) &= 0
\end{aligned}$$
2. Podstawienie $x = k$ i redukcja wyrazów:
Wstawiamy $x = k$ do wzoru wielomianu:
$$\begin{aligned}
k \cdot k^3 - (k + 1)k^2 + k(k - 4)k + 4 &= 0 \\[6pt]
k^4 - (k^3 + k^2) + (k^3 - 4k^2) + 4 &= 0 \\[6pt]
k^4 - k^3 - k^2 + k^3 - 4k^2 + 4 &= 0 \\[6pt]
k^4 - 5k^2 + 4 &= 0
\end{aligned}$$
3. Rozwiązanie równania dwukwadratowego:
Wprowadzamy zmienną pomocniczą $t = k^2$, gdzie $t \ge 0$:
$$\begin{aligned}
t^2 - 5t + 4 &= 0
\end{aligned}$$
Obliczamy wyróżnik $\Delta$ trójmianu:
$$\begin{aligned}
\Delta &= b^2 - 4ac \\[6pt]
&= (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 \\[6pt]
&= 25 - 16 = 9 \\[6pt]
\sqrt{\Delta} &= 3
\end{aligned}$$
Wyznaczamy wartości zmiennej pomocniczej:
$$\begin{aligned}
t_1 &= \dfrac{5 - 3}{2} = 1 \\[6pt]
t_2 &= \dfrac{5 + 3}{2} = 4
\end{aligned}$$
Oba rozwiązania spełniają warunek $t \ge 0$.
4. Powrót do zmiennej $k$:
Rozwiązujemy równania potęgowe dla wyznaczonych wartości $t$:
$$\begin{aligned}
k^2 = 1 &\implies k = 1 \quad \text{lub} \quad k = -1 \\[6pt]
k^2 = 4 &\implies k = 2 \quad \text{lub} \quad k = -2
\end{aligned}$$
Zbiór szukanych wartości parametru to $k \in \{-2, -1, 1, 2\}$.
$k \in \{-2, -1, 1, 2\}$
10
Wielomian $W(x) = x^4 - 6x^3 + 15x^2 - 18x + 9$ jest kwadratem innego wielomianu. Jakiego?
Wskazówki:
• Skoro wielomian $W(x)$ jest stopnia $4$ ze współczynnikiem wiodącym równym $1$, to szukany wielomian $Q(x)$ musi być stopnia $2$ i mieć postać ogólną $Q(x) = x^2 + bx + c$.
• Rozwiń kwadrat trójmianu $(x^2 + bx + c)^2$ i pogrupuj wyrazy według potęg zmiennej $x$.
• Porównaj odpowiadające sobie współczynniki wielomianów i wyznacz wartości $b$ oraz $c$.
Rozwiązanie krok po kroku:
1. Rozwinięcie kwadratu trójmianu $Q(x) = x^2 + bx + c$:
Rozpisujemy kwadrat trójmianu zgodnie ze wzorami skróconego mnożenia:
$$\begin{aligned}
(x^2 + bx + c)^2 &= (x^2)^2 + (bx)^2 + c^2 + 2(x^2)(bx) + 2(x^2)(c) + 2(bx)(c) \\[6pt]
&= x^4 + 2bx^3 + (b^2 + 2c)x^2 + 2bc x + c^2
\end{aligned}$$
2. Porównanie współczynników z wielomianem $W(x)$:
Przyrównujemy wyrażenie do $W(x) = x^4 - 6x^3 + 15x^2 - 18x + 9$:
• współczynnik przy $x^3$:
$$\begin{aligned}
2b &= -6 \implies b = -3
\end{aligned}$$
• wyraz wolny:
$$\begin{aligned}
c^2 &= 9 \implies c = 3 \quad \text{lub} \quad c = -3
\end{aligned}$$
• współczynnik przy $x$:
$$\begin{aligned}
2bc &= -18
\end{aligned}$$
Podstawiając wyznaczoną wartość $b = -3$:
$$\begin{aligned}
2 \cdot (-3) \cdot c &= -18 \\[6pt]
-6c &= -18 \implies c = 3
\end{aligned}$$
3. Weryfikacja współczynnika przy $x^2$:
Sprawdzamy poprawność dla wyznaczonych liczb $b = -3$ oraz $c = 3$:
$$\begin{aligned}
b^2 + 2c &= (-3)^2 + 2 \cdot 3 \\[6pt]
&= 9 + 6 = 15
\end{aligned}$$
Wartość $15$ jest w pełni zgodna ze współczynnikiem przy $x^2$ w wielomianie $W(x)$.
4. Sformułowanie wzoru szukanego wielomianu:
Szukanym wielomianem jest:
$$Q(x) = x^2 - 3x + 3 \quad (\text{lub } Q(x) = -x^2 + 3x - 3)$$
Iloczyn trzech liczb całkowitych, z których druga jest o 3 mniejsza od pierwszej, a trzecia o 1 większa od drugiej, jest równy 30. Wyznacz te liczby.
Wskazówka: Wszystkie liczby wyrażamy za pomocą zmiennej $x \in \mathbb{Z}$. Otrzymane równanie stopnia trzeciego porządkujemy i rozkładamy na czynniki metodą grupowania wyrazów.
Oznaczenie niewiadomych i ułożenie równania:
Niech $x$ oznacza pierwszą liczbę całkowitą ($x \in \mathbb{Z}$).
- druga liczba: $x - 3$
- trzecia liczba: $(x - 3) + 1 = x - 2$
Iloczyn tych liczb wynosi $30$:
$$
\begin{aligned}
x(x - 3)(x - 2) &= 30
\end{aligned}
$$
Iloczyn trzech kolejnych liczb parzystych jest równy 48. Jakie to liczby?
Wskazówka: Trzy kolejne liczby parzyste oznaczamy jako $n - 2$, $n$ oraz $n + 2$, gdzie $n$ jest liczbą parzystą ($n \in 2\mathbb{Z}$). Stosujemy wzór skróconego mnożenia $(n - 2)(n + 2) = n^2 - 4$.
Wyznaczenie wartości parametru $k$:
$$
\begin{aligned}
2k &= 7 - 13 \\[6pt]
2k &= -6 \\[6pt]
k &= \dfrac{-6}{2} \\[6pt]
k &= -3
\end{aligned}
$$
$k = -3$
7
Wyznacz wartości $a$ i $b$ wiedząc, że liczby $-1$ i $2$ są pierwiastkami wielomianu $W(x) = x^3 + ax^2 + 5x + b$.
Wskazówka: Wartości wielomianu dla jego pierwiastków muszą być zerami: $W(-1) = 0$ oraz $W(2) = 0$. Układamy i rozwiązujemy układ równań liniowych.
Równanie dla pierwiastka $x = -1$:
$$
\begin{aligned}
W(-1) &= 0 \\[6pt]
(-1)^3 + a \cdot (-1)^2 + 5 \cdot (-1) + b &= 0 \\[6pt]
-1 + a - 5 + b &= 0 \\[6pt]
a + b - 6 &= 0 \\[6pt]
a + b &= 6
\end{aligned}
$$
Równanie dla pierwiastka $x = 2$:
$$
\begin{aligned}
W(2) &= 0 \\[6pt]
2^3 + a \cdot 2^2 + 5 \cdot 2 + b &= 0 \\[6pt]
8 + 4a + 10 + b &= 0 \\[6pt]
4a + b + 18 &= 0 \\[6pt]
4a + b &= -18
\end{aligned}
$$
Rozwiązanie układu równań:
$$
\begin{aligned}
\begin{cases}
a + b = 6 \\[6pt]
4a + b = -18
\end{cases}
\end{aligned}
$$
Odejmujemy pierwsze równanie od drugiego stronami:
$$
\begin{aligned}
(4a + b) - (a + b) &= -18 - 6 \\[6pt]
3a &= -24 \\[6pt]
a &= \dfrac{-24}{3} = -8
\end{aligned}
$$
Podstawiamy $a = -8$ do równania $a + b = 6$:
$$
\begin{aligned}
-8 + b &= 6 \\[6pt]
b &= 6 + 8 = 14
\end{aligned}
$$
$a = -8$, $\quad b = 14$
8
Dobierz tak wartości $a$ i $b$, aby reszty z dzielenia wielomianu $W(x) = x^4 - ax^3 + 3x^2 + bx + 2$ przez dwumiany $x - 1$ i $x + 2$ wynosiły odpowiednio $7$ i $10$.
Wskazówka: Z twierdzenia o reszcie otrzymujemy dwa warunki: $W(1) = 7$ oraz $W(-2) = 10$. Tworzymy układ równań liniowych z niewiadomymi $a$ i $b$.
Ułożenie pierwszego równania ($W(1) = 7$):
$$
\begin{aligned}
W(1) &= 7 \\[6pt]
1^4 - a \cdot 1^3 + 3 \cdot 1^2 + b \cdot 1 + 2 &= 7 \\[6pt]
1 - a + 3 + b + 2 &= 7 \\[6pt]
-a + b + 6 &= 7 \\[6pt]
-a + b &= 1
\end{aligned}
$$
Powrót do zmiennej $k$:
Dla każdego dodatniego $t$ mamy dwa rozwiązania $k = \pm \sqrt{t}$:
$$
\begin{aligned}
k &= \pm \sqrt{\dfrac{9 - 3\sqrt{5}}{2}} \quad \text{lub} \quad k = \pm \sqrt{\dfrac{9 + 3\sqrt{5}}{2}}
\end{aligned}
$$
Iloczyn trzech liczb całkowitych, z których druga jest o 1 większa od pierwszej, a trzecia jest o 3 większa od pierwszej, jest równy 72. Wyznacz te liczby.
Wskazówka: Układamy równanie iloczynowe dla liczb całkowitych $x$, $x + 1$ oraz $x + 3$, doprowadzamy je do postaci uporządkowanej i wyznaczamy pierwiastek całkowity z dzielników wyrazu wolnego.
Oznaczenie liczb i ułożenie równania:
Niech $x$ będzie pierwszą liczbą całkowitą ($x \in \mathbb{Z}$).
- druga liczba: $x + 1$
- trzecia liczba: $x + 3$
Iloczyn tych liczb wynosi $72$:
$$
\begin{aligned}
x(x + 1)(x + 3) &= 72
\end{aligned}
$$
Równanie dla pierwiastka $x = 1$:
$$
\begin{aligned}
W(1) &= 0 \\[6pt]
1^3 + a \cdot 1^2 + b \cdot 1 + 6 &= 0 \\[6pt]
1 + a + b + 6 &= 0 \\[6pt]
a + b + 7 &= 0 \\[6pt]
a + b &= -7
\end{aligned}
$$
Rozwiązanie układu równań:
$$
\begin{aligned}
\begin{cases}
2a - b = 1 \\[6pt]
a + b = -7
\end{cases}
\end{aligned}
$$
Dodajemy oba równania stronami:
$$
\begin{aligned}
(2a - b) + (a + b) &= 1 + (-7) \\[6pt]
3a &= -6 \\[6pt]
a &= \dfrac{-6}{3} = -2
\end{aligned}
$$
Podstawiamy $a = -2$ do równania $a + b = -7$:
$$
\begin{aligned}
-2 + b &= -7 \\[6pt]
b &= -7 + 2 = -5
\end{aligned}
$$
$a = -2$, $\quad b = -5$
8
Dobierz tak wartości $a$ i $b$, aby reszty z dzielenia wielomianu $W(x) = 2x^4 + ax^3 - x^2 + bx + 3$ przez dwumiany $x + 1$ i $x - 2$ wynosiły odpowiednio $5$ i $1$.
Wskazówka: Z twierdzenia o reszcie otrzymujemy: $W(-1) = 5$ oraz $W(2) = 1$. Rozwiązujemy powstały układ równań liniowych.
Ułożenie pierwszego równania ($W(-1) = 5$):
$$
\begin{aligned}
W(-1) &= 5 \\[6pt]
2(-1)^4 + a(-1)^3 - (-1)^2 + b(-1) + 3 &= 5 \\[6pt]
2(1) - a - 1 - b + 3 &= 5 \\[6pt]
4 - a - b &= 5 \\[6pt]
-a - b &= 1 \\[6pt]
a + b &= -1
\end{aligned}
$$
Porównanie współczynników z $W(x) = x^4 - 8x^3 + 24x^2 - 32x + 16$:
- przy $x^3$:
$$
\begin{aligned}
2b &= -8 \implies b = -4
\end{aligned}
$$
- wyraz wolny:
$$
\begin{aligned}
c^2 &= 16 \implies c = 4 \quad \text{lub} \quad c = -4
\end{aligned}
$$
- przy $x$:
$$
\begin{aligned}
2bc &= -32
\end{aligned}
$$
Dla $b = -4$:
$$
\begin{aligned}
2 \cdot (-4) \cdot c &= -32 \\[6pt]
-8c &= -32 \implies c = 4
\end{aligned}
$$
Sprawdzenie współczynnika przy $x^2$:
$$
\begin{aligned}
b^2 + 2c &= (-4)^2 + 2 \cdot 4 \\[6pt]
&= 16 + 8 = 24
\end{aligned}
$$
Wartość $24$ w pełni zgadza się ze współczynnikiem przy $x^2$ w wielomianie $W(x)$.
Iloczyn trzech liczb całkowitych, z których druga jest o 1 większa od pierwszej, a trzecia jest o 3 większa od pierwszej, jest równy 30. Wyznacz te liczby.
Wskazówka: Oznaczamy liczby jako $x$, $x + 1$ oraz $x + 3$ ($x \in \mathbb{Z}$), doprowadzamy równanie do wielomianu trzeciego stopnia i znajdujemy pierwiastek całkowity wśród dzielników wyrazu wolnego.
Zdefiniowanie niewiadomych i ułożenie równania:
Niech pierwszą liczbą będzie $x \in \mathbb{Z}$.
- druga liczba: $x + 1$
- trzecia liczba: $x + 3$
Iloczyn tych liczb wynosi $30$:
$$
\begin{aligned}
x(x + 1)(x + 3) &= 30
\end{aligned}
$$
Wyznaczenie wartości $k$:
$$
\begin{aligned}
-2k &= 2 - 64 \\[6pt]
-2k &= -62 \\[6pt]
k &= \dfrac{-62}{-2} \\[6pt]
k &= 31
\end{aligned}
$$
$k = 31$
7
Wyznacz wartości $a$ i $b$ wiedząc, że liczby $-1$ i $3$ są pierwiastkami wielomianu $W(x) = x^3 + ax^2 + bx - 12$.
Wskazówka: Pierwiastki wielomianu dają układ równań $W(-1) = 0$ oraz $W(3) = 0$.
Równanie dla pierwiastka $x = -1$:
$$
\begin{aligned}
W(-1) &= 0 \\[6pt]
(-1)^3 + a \cdot (-1)^2 + b \cdot (-1) - 12 &= 0 \\[6pt]
-1 + a - b - 12 &= 0 \\[6pt]
a - b - 13 &= 0 \\[6pt]
a - b &= 13
\end{aligned}
$$
Równanie dla pierwiastka $x = 3$:
$$
\begin{aligned}
W(3) &= 0 \\[6pt]
3^3 + a \cdot 3^2 + b \cdot 3 - 12 &= 0 \\[6pt]
27 + 9a + 3b - 12 &= 0 \\[6pt]
9a + 3b + 15 &= 0
\end{aligned}
$$
Dzielimy obie strony równania przez $3$:
$$
\begin{aligned}
3a + b + 5 &= 0 \\[6pt]
3a + b &= -5
\end{aligned}
$$
Rozwiązanie układu równań:
$$
\begin{aligned}
\begin{cases}
a - b = 13 \\[6pt]
3a + b = -5
\end{cases}
\end{aligned}
$$
Dodajemy oba równania stronami:
$$
\begin{aligned}
(a - b) + (3a + b) &= 13 + (-5) \\[6pt]
4a &= 8 \\[6pt]
a &= \dfrac{8}{4} = 2
\end{aligned}
$$
Wyznaczamy wartość $b$:
$$
\begin{aligned}
2 - b &= 13 \\[6pt]
-b &= 11 \\[6pt]
b &= -11
\end{aligned}
$$
$a = 2$, $\quad b = -11$
8
Dobierz tak wartości $a$ i $b$, aby reszty z dzielenia wielomianu $W(x) = x^4 + ax^3 - 3x^2 + bx + 5$ przez dwumiany $x - 1$ i $x + 2$ wynosiły odpowiednio $0$ i $11$.
Wskazówka: Z twierdzenia o reszcie otrzymujemy: $W(1) = 0$ oraz $W(-2) = 11$.
Ułożenie pierwszego równania ($W(1) = 0$):
$$
\begin{aligned}
W(1) &= 0 \\[6pt]
1^4 + a \cdot 1^3 - 3 \cdot 1^2 + b \cdot 1 + 5 &= 0 \\[6pt]
1 + a - 3 + b + 5 &= 0 \\[6pt]
a + b + 3 &= 0 \\[6pt]
a + b &= -3
\end{aligned}
$$
