| Nr | Treść Zadania | Odpowiedź |
|---|---|---|
| 1 | Znajdź wzór funkcji kwadratowej wiedząc, że wierzchołek paraboli będącej wykresem tej funkcji ma współrzędne $(3, -4)$, a punkt $A(1, 4)$ należy do wykresu tej funkcji. | $$ f(x) = 2(x - 3)^2 - 4 $$ |
| 2 | Znajdź wzór funkcji kwadratowej wiedząc, że miejscami zerowymi tej funkcji są $-1$ i $5$, a wykres zawiera punkt $A(2, -9)$. | $$ f(x) = (x + 1)(x - 5) $$ |
| 3 | Znajdź wzór funkcji kwadratowej wiedząc, że prosta $x = 2$ jest osią symetrii wykresu tej funkcji, a punkty $(1, 5)$ oraz $(4, -4)$ należą do wykresu tej funkcji. | $$ f(x) = -3(x - 2)^2 + 8 $$ |
| 4 | Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których funkcja $f(x) = (m^2 - 1)x^2 - 2(m - 1)x + m + 2$ jest rosnąca w przedziale $(-\infty, 1\rangle$ i malejąca w przedziale $\langle 1, +\infty)$. | $$ m = 0 $$ |
| 5 | Dla jakich wartości parametru $m$ nierówność $x^2 - 2mx + 2m + 3 > 0$ jest spełniona przez wszystkie liczby rzeczywiste $x$? | $$ m \in (-1, 3) $$ |
| 6 | Dla jakich wartości parametru $m$ nierówność $(m - 3)x^2 - 6x + m - 3 < 0$ jest spełniona przez wszystkie liczby rzeczywiste $x$? | $m \in (-\infty, 0)$ |
| 7 | Wyznacz takie wartości parametru $m$, dla których wykres funkcji $f(x) = x^2 - (m - 4)x + (m - 1)$ ma wierzchołek, którego obie współrzędne są liczbami ujemnymi. | $m \in (-\infty, 2)$ |
| 8 | Wyznacz trzy kolejne liczby całkowite takie, że suma kwadratów dwóch pierwszych z nich jest o $5$ większa od kwadratu trzeciej liczby. | Są to liczby: $-2, -1, 0$ lub $4, 5, 6$. |
| 9 | Liczby $-2$ i $4$ są miejscami zerowymi funkcji kwadratowej $f$. Oblicz wartość wyrażenia $\frac{f(1)}{f(5)}$. | $$ -\frac{9}{7} $$ |
| 10 | Funkcja kwadratowa $f(x) = -x^2 + bx + c$ ma dwa miejsca zerowe: $x_1 = -3$ i $x_2 = 5$. Oblicz największą wartość tej funkcji. | $$ 16 $$ |
| Nr | Treść Zadania | Odpowiedź |
|---|---|---|
| 1 | Znajdź wzór funkcji kwadratowej wiedząc, że wierzchołek paraboli będącej wykresem tej funkcji ma współrzędne $(-2, 5)$, a punkt $A(0, 1)$ należy do wykresu tej funkcji. | $$ f(x) = -(x + 2)^2 + 5 $$ |
| 2 | Znajdź wzór funkcji kwadratowej wiedząc, że miejscami zerowymi tej funkcji są $2$ i $6$, a wykres zawiera punkt $A(3, 6)$. | $$ f(x) = -2(x - 2)(x - 6) $$ |
| 3 | Znajdź wzór funkcji kwadratowej wiedząc, że prosta $x = -1$ jest osią symetrii wykresu tej funkcji, a punkty $(0, 3)$ oraz $(2, 15)$ należą do wykresu tej funkcji. | $$ f(x) = \frac{3}{2}(x + 1)^2 + \frac{3}{2} $$ |
| 4 | Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których funkcja $f(x) = (m^2 - 4)x^2 - 2(m + 2)x + m$ jest rosnąca w przedziale $(-\infty, -1\rangle$ i malejąca w przedziale $\langle -1, +\infty)$. | $$ m = 1 $$ |
| 5 | Dla jakich wartości parametru $m$ nierówność $x^2 - 4mx + 5m > 0$ jest spełniona przez wszystkie liczby rzeczywiste $x$? | $$ m \in (0, \frac{5}{4}) $$ |
| 6 | Dla jakich wartości parametru $m$ nierówność $(m + 2)x^2 - 4x + m + 2 < 0$ jest spełniona przez wszystkie liczby rzeczywiste $x$? | $m \in (-\infty, -4)$ |
| 7 | Wyznacz takie wartości parametru $m$, dla których wykres funkcji $f(x) = x^2 - (m - 5)x + (m - 2)$ ma wierzchołek, którego obie współrzędne są liczbami ujemnymi. | $m \in (-\infty, 3)$ |
| 8 | Wyznacz trzy kolejne liczby całkowite takie, że suma kwadratów dwóch pierwszych z nich jest o $3$ mniejsza od kwadratu trzeciej liczby. | Są to liczby: $0, 1, 2$ lub $2, 3, 4$. |
| 9 | Liczby $-4$ i $2$ są miejscami zerowymi funkcji kwadratowej $f$. Oblicz wartość wyrażenia $\frac{f(0)}{f(3)}$. | $$ -\frac{8}{7} $$ |
| 10 | Funkcja kwadratowa $f(x) = -x^2 + bx + c$ ma dwa miejsca zerowe: $x_1 = -4$ i $x_2 = 2$. Oblicz największą wartość tej funkcji. | $$ 9 $$ |
| Nr | Treść Zadania | Odpowiedź |
|---|---|---|
| 1 | Znajdź wzór funkcji kwadratowej wiedząc, że wierzchołek paraboli będącej wykresem tej funkcji ma współrzędne $(1, -2)$, a punkt $A(3, 6)$ należy do wykresu tej funkcji. | $$ f(x) = 2(x - 1)^2 - 2 $$ |
| 2 | Znajdź wzór funkcji kwadratowej wiedząc, że miejscami zerowymi tej funkcji są $-3$ i $1$, a wykres zawiera punkt $A(2, 10)$. | $$ f(x) = 2(x + 3)(x - 1) $$ |
| 3 | Znajdź wzór funkcji kwadratowej wiedząc, że prosta $x = 3$ jest osią symetrii wykresu tej funkcji, a punkty $(1, -1)$ oraz $(4, 8)$ należą do wykresu tej funkcji. | $$ f(x) = -3(x - 3)^2 + 11 $$ |
| 4 | Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których funkcja $f(x) = (m^2 - 16)x^2 - 2(m - 4)x + 5$ jest rosnąca w przedziale $(-\infty, \frac{1}{2}\rangle$ i malejąca w przedziale $\langle \frac{1}{2}, +\infty)$. | $$ m = -2 $$ |
| 5 | Dla jakich wartości parametru $m$ nierówność $x^2 - 6mx + 9m > 0$ jest spełniona przez wszystkie liczby rzeczywiste $x$? | $$ m \in (0, 1) $$ |
| 6 | Dla jakich wartości parametru $m$ nierówność $(m - 1)x^2 - 2x + m - 1 < 0$ jest spełniona przez wszystkie liczby rzeczywiste $x$? | $m \in (-\infty, 0)$ |
| 7 | Wyznacz takie wartości parametru $m$, dla których wykres funkcji $f(x) = x^2 - (m - 6)x + (m - 3)$ ma wierzchołek, którego obie współrzędne są liczbami ujemnymi. | $m \in (-\infty, 4)$ |
| 8 | Wyznacz trzy kolejne liczby całkowite takie, że suma kwadratów dwóch pierwszych z nich jest o $21$ większa od kwadratu trzeciej liczby. | Są to liczby: $-4, -3, -2$ lub $6, 7, 8$. |
| 9 | Liczby $-1$ i $5$ są miejscami zerowymi funkcji kwadratowej $f$. Oblicz wartość wyrażenia $\frac{f(2)}{f(6)}$. | $$ -\frac{9}{7} $$ |
| 10 | Funkcja kwadratowa $f(x) = -x^2 + bx + c$ ma dwa miejsca zerowe: $x_1 = -5$ i $x_2 = 1$. Oblicz największą wartość tej funkcji. | $$ 9 $$ |
| Nr | Treść Zadania | Odpowiedź |
|---|---|---|
| 1 | Znajdź wzór funkcji kwadratowej wiedząc, że wierzchołek paraboli będącej wykresem tej funkcji ma współrzędne $(-1, 3)$, a punkt $A(1, -5)$ należy do wykresu tej funkcji. | $$ f(x) = -2(x + 1)^2 + 3 $$ |
| 2 | Znajdź wzór funkcji kwadratowej wiedząc, że miejscami zerowymi tej funkcji są $1$ i $4$, a wykres zawiera punkt $A(2, -4)$. | $$ f(x) = 2(x - 1)(x - 4) $$ |
| 3 | Znajdź wzór funkcji kwadratowej wiedząc, że prosta $x = -2$ jest osią symetrii wykresu tej funkcji, a punkty $(0, -1)$ oraz $(-3, 8)$ należą do wykresu tej funkcji. | $$ f(x) = -3(x + 2)^2 + 11 $$ |
| 4 | Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których funkcja $f(x) = (m^2 - 25)x^2 - 2(m + 5)x + 7$ jest rosnąca w przedziale $(-\infty, -1\rangle$ i malejąca w przedziale $\langle -1, +\infty)$. | $$ m = 4 $$ |
| 5 | Dla jakich wartości parametru $m$ nierówność $x^2 - 8mx + 32m > 0$ jest spełniona przez wszystkie liczby rzeczywiste $x$? | $$ m \in (0, 2) $$ |
| 6 | Dla jakich wartości parametru $m$ nierówność $(m + 3)x^2 - 8x + m + 3 < 0$ jest spełniona przez wszystkie liczby rzeczywiste $x$? | $m \in (-\infty, -7)$ |
| 7 | Wyznacz takie wartości parametru $m$, dla których wykres funkcji $f(x) = x^2 - (m - 3)x + m$ ma wierzchołek, którego obie współrzędne są liczbami ujemnymi. | $m \in (-\infty, 1)$ |
| 8 | Wyznacz trzy kolejne liczby całkowite takie, że suma kwadratów dwóch pierwszych z nich jest o $45$ większa od kwadratu trzeciej liczby. | Są to liczby: $-6, -5, -4$ lub $8, 9, 10$. |
| 9 | Liczby $-3$ i $4$ są miejscami zerowymi funkcji kwadratowej $f$. Oblicz wartość wyrażenia $\frac{f(1)}{f(5)}$. | $$ -\frac{3}{2} $$ |
| 10 | Funkcja kwadratowa $f(x) = -x^2 + bx + c$ ma dwa miejsca zerowe: $x_1 = -8$ i $x_2 = 2$. Oblicz największą wartość tej funkcji. | $$ 25 $$ |