WSKAZÓWKI:
1) W zadaniach wykazujących równości trygonometryczne warto korzystać ze wzorów redukcyjnych dla kątów dopełniających się do $90^\circ$, takich jak $\sin\left(90^\circ - \alpha\right) = \cos\alpha$, $\cos\left(90^\circ - \alpha\right) = \sin\alpha$ oraz $\operatorname{ctg}\left(90^\circ - \alpha\right) = \operatorname{tg}\alpha$.
2) Pamiętaj o podstawowych tożsamościach trygonometrycznych, w szczególności o jedynce trygonometrycznej:$$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$$oraz o zależności między tangensem i cotangensem tego samego kąta:$$\operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{ctg}\alpha = 1$$3) Wykorzystaj znane wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów ostrych:$$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$$$$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$$$$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$$$$\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$$$$\operatorname{tg} 60^\circ = \sqrt{3}$$ROZWIĄZANIE:
a) Wykazanie równości $\frac{1}{2}\sin^2 53^\circ - \sin 30^\circ \cdot \cos^2 37^\circ = 0$.
Rozpoczynamy od przekształcenia lewej strony równania. Wiemy z tabel wartości funkcji trygonometrycznych, że wartość $\sin 30^\circ$ wynosi $\frac{1}{2}$. Podstawiamy tę liczbę w miejsce funkcji do naszego wyrażenia:$$\frac{1}{2}\sin^2 53^\circ - \frac{1}{2} \cdot \cos^2 37^\circ$$Następnie zajmujemy się kątem $37^\circ$. Możemy go zapisać jako różnicę $90^\circ - 53^\circ$, ponieważ wartość $90$ odjąć $53$ daje dokładnie $37$. Stosujemy wzór redukcyjny $\cos\left(90^\circ - \alpha\right) = \sin\alpha$, gdzie za $\alpha$ przyjmujemy kąt $53^\circ$:$$\cos 37^\circ = \cos\left(90^\circ - 53^\circ\right) = \sin 53^\circ$$Podnosząc obie strony tego równania do kwadratu, otrzymujemy zależność:$$\cos^2 37^\circ = \sin^2 53^\circ$$Teraz podstawiamy to przekształcone wyrażenie do naszego głównego zapisu:$$\frac{1}{2}\sin^2 53^\circ - \frac{1}{2}\sin^2 53^\circ$$Widzimy, że odejmujemy od siebie dwa dokładnie takie same wyrażenia. Wynikiem odjęcia dowolnego wyrażenia od samego siebie jest zawsze $0$:$$\frac{1}{2}\sin^2 53^\circ - \frac{1}{2}\sin^2 53^\circ = 0$$Otrzymaliśmy wartość równą prawej stronie wyjściowego równania, co kończy dowód dla podpunktu a.
b) Wykazanie równości $2\sin 60^\circ \cdot \cos 30^\circ - \operatorname{ctg} 18^\circ \cdot \operatorname{ctg} 72^\circ = \frac{1}{2}$.
Rozpatrujemy lewą stronę równania. W pierwszej kolejności podstawiamy znane wartości dla kątów $60^\circ$ i $30^\circ$. Wiemy, że $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ oraz $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Wstawiamy te ułamki do wyrażenia:$$2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \operatorname{ctg} 18^\circ \cdot \operatorname{ctg} 72^\circ$$Now wykonujemy mnożenie początkowych czynników. Najpierw mnożymy dwa ułamki zawierające pierwiastki. Mnożenie licznik razy licznik daje nam $\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3$, natomiast mianownik razy mianownik daje $2 \cdot 2 = 4$. Otrzymujemy w ten sposób ułamek $\frac{3}{4}$:$$2 \cdot \frac{3}{4} - \operatorname{ctg} 18^\circ \cdot \operatorname{ctg} 72^\circ$$Następnie mnożymy całkowitą liczbę $2$ przez ułamek $\frac{3}{4}$, co daje nam ułamek $\frac{6}{4}$. Skracamy ten ułamek przez liczbę $2$, dzieląc zarówno licznik, jak i mianownik, i otrzymujemy ułamek $\frac{3}{2}$:$$\frac{3}{2} - \operatorname{ctg} 18^\circ \cdot \operatorname{ctg} 72^\circ$$W kolejnym kroku przekształcamy iloczyn dwóch funkcji cotangens. Kąt $72^\circ$ zapisujemy jako różnicę $90^\circ - 18^\circ$, ponieważ wartość $90$ odjąć $18$ wynosi $72$. Korzystamy ze wzoru redukcyjnego $\operatorname{ctg}\left(90^\circ - \alpha\right) = \operatorname{tg}\alpha$ dla kąta $\alpha = 18^\circ$:$$\operatorname{ctg} 72^\circ = \operatorname{ctg}\left(90^\circ - 18^\circ\right) = \operatorname{tg} 18^\circ$$Podstawiamy uzyskaną zależność do naszego wyrażenia:$$\frac{3}{2} - \operatorname{ctg} 18^\circ \cdot \operatorname{tg} 18^\circ$$Znamy podstawową tożsamość trygonometryczną, która mówi, że iloczyn cotangensa i tangensa tego samego kąta wynosi zawsze $1$, czyli $\operatorname{ctg} 18^\circ \cdot \operatorname{tg} 18^\circ = 1$. Podstawiamy tę liczbę:$$\frac{3}{2} - 1$$Aby wykonać odejmowanie liczby całkowitej od ułamka, sprowadzamy obie liczby do wspólnego mianownika. Zamieniamy liczbę $1$ na ułamek $\frac{2}{2}$:$$\frac{3}{2} - \frac{2}{2}$$Odejmujemy liczniki od siebie, czyli wykonujemy działanie $3 - 2 = 1$, pozostawiając mianownik bez zmian:$$\frac{1}{2}$$Wykazaliśmy, że lewa strona po uproszczeniu jest równa prawej stronie równania, co kończy dowód dla podpunktu b.
c) Wykazanie równości $\cos^2 14^\circ + \cos^2 76^\circ + \operatorname{tg}^2 60^\circ = 4$.
Zajmujemy się przekształcaniem lewej strony równania. Najpierw uprościmy wyrażenie $\cos^2 76^\circ$. Zapisujemy kąt $76^\circ$ w postaci różnicy $90^\circ - 14^\circ$, ponieważ wartość $90$ odjąć $14$ to dokładnie $76$. Stosujemy znany wzór redukcyjny $\cos\left(90^\circ - \alpha\right) = \sin\alpha$, gdzie naszym kątem $\alpha$ jest $14^\circ$:$$\cos 76^\circ = \cos\left(90^\circ - 14^\circ\right) = \sin 14^\circ$$Podnosząc obie strony do kwadratu, uzyskujemy $\cos^2 76^\circ = \sin^2 14^\circ$. Wstawiamy to bezpośrednio do początkowego wyrażenia:$$\cos^2 14^\circ + \sin^2 14^\circ + \operatorname{tg}^2 60^\circ$$Zauważamy, że dwa pierwsze składniki tworzą klasyczną jedynkę trygonometryczną, ponieważ dla każdego kąta zachodzi równość $\cos^2 14^\circ + \sin^2 14^\circ = 1$. Zastępujemy te dwa elementy liczbą $1$:$$1 + \operatorname{tg}^2 60^\circ$$Teraz musimy podstawić wartość dla funkcji tangens. Wiemy z tabel, że $\operatorname{tg} 60^\circ = \sqrt{3}$. Podnosimy tę wartość pierwiastkową do kwadratu:$$\operatorname{tg}^2 60^\circ = \left(\sqrt{3}\right)^2 = 3$$Dodajemy obliczoną liczbę $3$ do zapisanej wcześniej liczby $1$:$$1 + 3$$Wykonujemy ostateczne dodawanie dwóch liczb:$$1 + 3 = 4$$Otrzymany wynik jest równy prawej stronie wyjściowego równania, co kończy dowód dla podpunktu c.
d) Wykazanie równości $2\sin^2 22^\circ - 2\cos^2 68^\circ + 4\sin^2 45^\circ = 2$.
Analizujemy lewą stronę tego równania. W pierwszym kroku zajmiemy się przekształceniem funkcji $\cos^2 68^\circ$. Rozpisujemy kąt $68^\circ$ jako różnicę $90^\circ - 22^\circ$, ponieważ wartość $90$ pomniejszona o $22$ daje $68$. Używamy odpowiedniego wzoru redukcyjnego $\cos\left(90^\circ - \alpha\right) = \sin\alpha$ dla kąta $\alpha = 22^\circ$:$$\cos 68^\circ = \cos\left(90^\circ - 22^\circ\right) = \sin 22^\circ$$Podnoszymy uzyskaną zależność do kwadratu, co daje nam wyrażenie $\cos^2 68^\circ = \sin^2 22^\circ$. Podstawiamy to z powrotem do głównego wyrażenia, pamiętając o stałym współczynniku $2$, który stał przed tą funkcją:$$2\sin^2 22^\circ - 2\sin^2 22^\circ + 4\sin^2 45^\circ$$Dwa pierwsze elementy są całkowicie identyczne, ale różnią się znakami. Ich odjęcie od siebie daje nam wartość $0$, ponieważ wyrażenie $2\sin^2 22^\circ - 2\sin^2 22^\circ = 0$. Zostaje nam do obliczenia jedynie ostatni składnik:$$4\sin^2 45^\circ$$Z tablic wartości funkcji trygonometrycznych odczytujemy, że $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Podnosimy ten ułamek do kwadratu, podnosząc oddzielnie jego licznik oraz mianownik. Otrzymujemy $\left(\sqrt{2}\right)^2 = 2$ w liczniku oraz $2^2 = 4$ w mianowniku, co daje ułamek $\frac{2}{4}$. Po skróceniu przez liczbę $2$ daje to wartość $\frac{1}{2}$:$$\sin^2 45^\circ = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$Teraz wykonujemy mnożenie stałej liczby $4$ przez obliczoną przed chwilą wartość ułamkową $\frac{1}{2}$:$$4 \cdot \frac{1}{2}$$Liczba $4$ pomnożona przez ułamek $\frac{1}{2}$ daje ułamek $\frac{4}{2}$. Wykonujemy dzielenie licznika przez mianownik, aby uzyskać ostateczną liczbę całkowitą:$$\frac{4}{2} = 2$$Otrzymana końcowa wartość jest dokładnie równa prawej stronie analizowanego równania, co kończy dowód dla podpunktu d.
