Wartości sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa kątów 30, 45, 60 stopni kartkówka LiczBit

8.2 Wartości sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa kątów 30, 45, 60 stopni

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1 (6 pkt)

Oblicz: a) $8 \cdot \sin 60^\circ \cdot \cos 30^\circ - 4 \cdot \sin 45^\circ \cdot \cos 45^\circ$ b) $\tan 60^\circ \cdot \tan 30^\circ : \left( \sin 30^\circ \cdot \cot 45^\circ \right)$ c) $12 \cdot \cos 60^\circ \cdot \cot 60^\circ : \left( \sin 60^\circ \cdot \cot 30^\circ \right)$ d) $4 \cdot \left( \cos 30^\circ \cdot \sin 60^\circ \cdot \tan 45^\circ \right) : \left( \sin 45^\circ \cdot \cos 45^\circ \right)$ e) $2 \cdot \left( \tan 60^\circ - \tan 45^\circ \right) \cdot \left( \cot 30^\circ + \cot 45^\circ \right)$ f) $\left( \sin 30^\circ + \tan 45^\circ \right) \cdot \left( 4 \cdot \cos 60^\circ + \cot 45^\circ \right)$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

WSKAZÓWKI: 1) Przed przystąpieniem do obliczeń przygotuj sobie zestawienie wartości, których będziesz używać: $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$, $\cot 30^\circ = \sqrt{3}$ $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\tan 45^\circ = 1$, $\cot 45^\circ = 1$ $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$, $\tan 60^\circ = \sqrt{3}$, $\cot 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$ 2) Przestrzegaj kolejności wykonywania działań: najpierw działania w nawiasach, potem mnożenie i dzielenie (od lewej do prawej), a na końcu dodawanie i odejmowanie. 3) W przykładzie e) zauważ, że wyrażenie ma postać $\left( a - b \right) \cdot \left( a + b \right)$. Możesz tu ułatwić sobie pracę, stosując wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów: $a^{2} - b^{2}$. 4) Pamiętaj, że dzielenie przez ułamek jest tym samym, co mnożenie przez jego odwrotność. ROZWIĄZANIE: a) Obliczanie wyrażenia $8 \cdot \sin 60^\circ \cdot \cos 30^\circ - 4 \cdot \sin 45^\circ \cdot \cos 45^\circ$. Najpierw podstawiamy wartości odczytane z tabeli: $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ oraz $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$.$$8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$$Zajmujemy się pierwszym członem. Mnożymy liczby $8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$, co daje nam $\frac{8\sqrt{3}}{2}$, a po skróceniu $8$ i $2$ przez $2$ otrzymujemy $4\sqrt{3}$. Teraz mnożymy to przez drugi ułamek:$$4\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{4 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2}$$Ponieważ $\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3$, otrzymujemy:$$\frac{4 \cdot 3}{2} = \frac{12}{2} = 6$$Teraz zajmujemy się drugim członem wyrażenia: $4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$. Mnożymy $4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$, co daje $2\sqrt{2}$. Następnie:$$2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{2}$$Ponieważ $\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2$, mamy:$$\frac{2 \cdot 2}{2} = \frac{4}{2} = 2$$Odejmujemy wyniki:$$6 - 2 = 4$$b) Obliczanie wyrażenia $\tan 60^\circ \cdot \tan 30^\circ : \left( \sin 30^\circ \cdot \cot 45^\circ \right)$. Podstawiamy wartości: $\tan 60^\circ = \sqrt{3}$, $\tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$, $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$ oraz $\cot 45^\circ = 1$.$$\left( \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} \right) : \left( \frac{1}{2} \cdot 1 \right)$$Obliczamy wartość w pierwszym nawiasie. Mnożymy $\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}$, co daje $3$, więc mamy $\frac{3}{3} = 1$. Obliczamy wartość w drugim nawiasie: $\frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$. Wykonujemy dzielenie:$$1 : \frac{1}{2}$$Dzielenie przez ułamek to mnożenie przez odwrotność:$$1 \cdot \frac{2}{1} = 2$$c) Obliczanie wyrażenia $12 \cdot \cos 60^\circ \cdot \cot 60^\circ : \left( \sin 60^\circ \cdot \cot 30^\circ \right)$. Podstawiamy wartości: $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$, $\cot 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$, $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ oraz $\cot 30^\circ = \sqrt{3}$.$$\left( 12 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} \right) : \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{3} \right)$$Obliczamy pierwszy nawias: $12 \cdot \frac{1}{2} = 6$. Następnie $6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}$. Skracamy $6$ i $3$ przez $3$, co daje $2$, więc wynik to $2\sqrt{3}$. Obliczamy drugi nawias: $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2}$. Dzielimy wyniki:$$2\sqrt{3} : \frac{3}{2}$$Mnożymy przez odwrotność:$$2\sqrt{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2\sqrt{3} \cdot 2}{3} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$$d) Obliczanie wyrażenia $4 \cdot \left( \cos 30^\circ \cdot \sin 60^\circ \cdot \tan 45^\circ \right) : \left( \sin 45^\circ \cdot \cos 45^\circ \right)$. Podstawiamy wartości: $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\tan 45^\circ = 1$, $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ oraz $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$.$$4 \cdot \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 \right) : \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$$W pierwszym nawiasie: $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{4}$. Mnożenie przez $1$ nie zmienia wyniku. Cały licznik to $4 \cdot \frac{3}{4}$, co po skróceniu czwórek daje nam $3$. W drugim nawiasie (dzielnik): $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2}{4}$. Skracamy ułamek przez $2$, co daje $\frac{1}{2}$. Wykonujemy ostateczne dzielenie:$$3 : \frac{1}{2} = 3 \cdot \frac{2}{1} = 6$$e) Obliczanie wyrażenia $2 \cdot \left( \tan 60^\circ - \tan 45^\circ \right) \cdot \left( \cot 30^\circ + \cot 45^\circ \right)$. Podstawiamy wartości: $\tan 60^\circ = \sqrt{3}$, $\tan 45^\circ = 1$, $\cot 30^\circ = \sqrt{3}$ oraz $\cot 45^\circ = 1$.$$2 \cdot \left( \sqrt{3} - 1 \right) \cdot \left( \sqrt{3} + 1 \right)$$Zauważamy wzór skróconego mnożenia $\left( a - b \right) \left( a + b \right) = a^{2} - b^{2}$ dla wyrażeń w nawiasach, gdzie $a = \sqrt{3}$ oraz $b = 1$.$$\left( \sqrt{3} - 1 \right) \left( \sqrt{3} + 1 \right) = \left( \sqrt{3} \right)^{2} - 1^{2}$$Obliczamy potęgi: $\left( \sqrt{3} \right)^{2} = 3$ oraz $1^{2} = 1$.$$3 - 1 = 2$$Teraz wracamy do całego wyrażenia, mnożąc przez początkową liczbę $2$:$$2 \cdot 2 = 4$$f) Obliczanie wyrażenia $\left( \sin 30^\circ + \tan 45^\circ \right) \cdot \left( 4 \cdot \cos 60^\circ + \cot 45^\circ \right)$. Podstawiamy wartości: $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, $\tan 45^\circ = 1$, $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$ oraz $\cot 45^\circ = 1$.$$\left( \frac{1}{2} + 1 \right) \cdot \left( 4 \cdot \frac{1}{2} + 1 \right)$$Obliczamy pierwszy nawias: $\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2} + \frac{2}{2} = \frac{3}{2}$. Obliczamy drugi nawias. Najpierw mnożenie: $4 \cdot \frac{1}{2} = 2$. Potem dodawanie: $2 + 1 = 3$. Mnożymy wyniki z obu nawiasów:$$\frac{3}{2} \cdot 3 = \frac{3 \cdot 3}{2} = \frac{9}{2}$$Możemy zapisać to w postaci ułamka dziesiętnego:$$\frac{9}{2} = 4,5$$

Zadanie 2 (6 pkt)

Oblicz: a) $ \left(\sin 45^\circ - \sin 30^\circ\right) \cdot \left(\sin 45^\circ + \sin 30^\circ\right) $ b) $ \left(\text{tg } 45^\circ + 2\cos 60^\circ\right) \cdot \left(\text{tg } 45^\circ - 2\cos 60^\circ\right) $ c) $ \left(\text{tg } 60^\circ + \text{ctg } 30^\circ\right)^2 - \left(\sin 60^\circ + \cos 30^\circ\right)^2 $ d) $ \left(\sin 60^\circ - \text{ctg } 45^\circ\right) \cdot \left(\text{tg } 45^\circ - \cos 30^\circ\right) $ e) $ 6\left(\sin 30^\circ + \cos 60^\circ\right) \cdot \left(\text{tg } 30^\circ + \text{ctg } 60^\circ\right) $ f) $ 2\left(\sin 45^\circ - \text{tg } 30^\circ\right) \cdot \left(\text{ctg } 60^\circ - \cos 45^\circ\right) $

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

WSKAZÓWKI: 1) Do rozwiązania tych zadań niezbędna jest znajomość wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów podstawowych. Przygotuj tabelę wartości dla kątów $30^\circ$, $45^\circ$ oraz $60^\circ$: - $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ - $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$ - $\tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$, $\tan 45^\circ = 1$, $\tan 60^\circ = \sqrt{3}$ - $\cot 30^\circ = \sqrt{3}$, $\cot 45^\circ = 1$, $\cot 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$ 2) Zauważ, że wiele przykładów ma strukturę wzorów skróconego mnożenia. Możesz ułatwić sobie obliczenia, stosując wzór na różnicę kwadratów:$$(a - b) \cdot (a + b) = a^2 - b^2$$oraz wzory na kwadrat sumy lub różnicy:$$(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$$3) Przy działaniach na ułamkach i pierwiastkach pamiętaj, że: - Aby dodać ułamki, musisz sprowadzić je do wspólnego mianownika. - Podnosząc ułamek do kwadratu, podnosisz oddzielnie licznik i mianownik. - Pierwiastek z liczby podniesiony do kwadratu (dla liczb nieujemnych) daje tę samą liczbę: $(\sqrt{x})^2 = x$. ROZWIĄZANIE: a) Obliczanie wyrażenia $\left(\sin 45^\circ - \sin 30^\circ\right) \cdot \left(\sin 45^\circ + \sin 30^\circ\right)$. Podstawiamy wartości z tabeli: $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ oraz $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$. Otrzymujemy wyrażenie:$$\left(\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2}\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2}\right)$$Korzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$, gdzie $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$ oraz $b = \frac{1}{2}$:$$\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2$$Podnosimy ułamki do kwadratu:$$\frac{(\sqrt{2})^2}{2^2} - \frac{1^2}{2^2} = \frac{2}{4} - \frac{1}{4}$$Wykonujemy odejmowanie ułamków o tych samych mianownikach:$$\frac{2 - 1}{4} = \frac{1}{4}$$b) Obliczanie wyrażenia $\left(\tan 45^\circ + 2\cos 60^\circ\right) \cdot \left(\tan 45^\circ - 2\cos 60^\circ\right)$. Podstawiamy wartości: $\tan 45^\circ = 1$ oraz $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$:$$\left(1 + 2 \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \left(1 - 2 \cdot \frac{1}{2}\right)$$Najpierw wykonujemy mnożenie wewnątrz nawiasów. Liczba $2 \cdot \frac{1}{2}$ to $1$ (dwójki się skracają):$$\left(1 + 1\right) \cdot \left(1 - 1\right)$$Obliczamy sumę i różnicę w nawiasach:$$2 \cdot 0$$Każda liczba pomnożona przez zero daje zero:$$0$$c) Obliczanie wyrażenia $\left(\tan 60^\circ + \cot 30^\circ\right)^2 - \left(\sin 60^\circ + \cos 30^\circ\right)^2$. Podstawiamy wartości: $\tan 60^\circ = \sqrt{3}$, $\cot 30^\circ = \sqrt{3}$, $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$:$$\left(\sqrt{3} + \sqrt{3}\right)^2 - \left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2$$Dodajemy wyrażenia w nawiasach. W pierwszym nawiasie $\sqrt{3} + \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$. W drugim nawiasie mamy dwa takie same ułamki:$$\left(2\sqrt{3}\right)^2 - \left(\frac{2\sqrt{3}}{2}\right)^2$$W drugim nawiasie skracamy dwójki:$$\left(2\sqrt{3}\right)^2 - \left(\sqrt{3}\right)^2$$Podnosimy do kwadratu. $(2\sqrt{3})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12$:$$12 - 3$$Wykonujemy odejmowanie:$$9$$d) Obliczanie wyrażenia $\left(\sin 60^\circ - \cot 45^\circ\right) \cdot \left(\tan 45^\circ - \cos 30^\circ\right)$. Podstawiamy wartości: $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cot 45^\circ = 1$, $\tan 45^\circ = 1$, $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$:$$\left(\frac{\sqrt{3}}{2} - 1\right) \cdot \left(1 - \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$Mnożymy każdy wyraz przez każdy:$$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - 1 \cdot 1 - 1 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$$$\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{3}{4} - 1 + \frac{\sqrt{3}}{2}$$Dodajemy do siebie wyrazy z pierwiastkami: $\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$. Teraz dodajemy liczby: $- \frac{3}{4} - 1 = -\frac{3}{4} - \frac{4}{4} = -\frac{7}{4}$:$$\sqrt{3} - \frac{7}{4}$$e) Obliczanie wyrażenia $6\left(\sin 30^\circ + \cos 60^\circ\right) \cdot \left(\tan 30^\circ + \cot 60^\circ\right)$. Podstawiamy: $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$, $\tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$, $\cot 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$:$$6 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3}\right)$$Wykonujemy dodawanie w nawiasach. $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$, natomiast $\frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$:$$6 \cdot 1 \cdot \frac{2\sqrt{3}}{3}$$Mnożymy liczbę $6$ przez ułamek. Skracamy $6$ i $3$ przez $3$, co daje $2$ w liczniku:$$2 \cdot 1 \cdot 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$$f) Obliczanie wyrażenia $2\left(\sin 45^\circ - \tan 30^\circ\right) \cdot \left(\cot 60^\circ - \cos 45^\circ\right)$. Podstawiamy: $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$, $\cot 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$, $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$:$$2 \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{3}\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$Mnożymy każdy wyraz pierwszego nawiasu przez każdy wyraz drugiego nawiasu:$$2 \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$$$2 \cdot \left(\frac{\sqrt{6}}{6} - \frac{2}{4} - \frac{3}{9} + \frac{\sqrt{6}}{6}\right)$$Upraszczamy ułamki: $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ oraz $\frac{3}{9} = \frac{1}{3}$. Dodajemy wyrazy z pierwiastkami:$$2 \cdot \left(\frac{2\sqrt{6}}{6} - \frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right)$$Sprowadzamy ułamki do mianownika $6$:$$2 \cdot \left(\frac{2\sqrt{6}}{6} - \frac{3}{6} - \frac{2}{6}\right) = 2 \cdot \left(\frac{2\sqrt{6} - 5}{6}\right)$$Skracamy dwójkę z szóstką:$$\frac{2\sqrt{6} - 5}{3}$$

Zadanie 3 (3 pkt)

Oblicz obwód trójkąta $ABC$, korzystając z odpowiednich funkcji trygonometrycznych kątów ostrych. a)b) c)

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

WSKAZÓWKI: 1) Zauważ, że w każdym podpunkcie wysokość poprowadzona z wierzchołka dzieli trójkąt $ABC$ na dwa trójkąty prostokątne. Skorzystaj z funkcji trygonometrycznych takich jak sinus, tangens lub cotangens w tych mniejszych trójkątach, aby wyznaczyć długości boków $AC$, $BC$ oraz fragmentów podstawy. 2) Obwód trójkąta to suma długości wszystkich jego boków. Pamiętaj, że bok, na który opuszczona jest wysokość, składa się z dwóch odcinków, których długości musisz obliczyć oddzielnie i dodać do siebie. 3) Wykorzystaj tabelę wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów $30^\circ$, $45^\circ$ oraz $60^\circ$:$$\sin\left(30^\circ\right) = \frac{1}{2}, \sin\left(45^\circ\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}, \sin\left(60^\circ\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$$$\tan\left(30^\circ\right) = \frac{\sqrt{3}}{3}, \tan\left(45^\circ\right) = 1, \tan\left(60^\circ\right) = \sqrt{3}$$ROZWIĄZANIE: a) Obliczanie obwodu trójkąta dla danych $h = 3$ $cm$, $\angle A = 30^\circ$ i $\angle B = 60^\circ$. Najpierw rozpatrujemy trójkąt prostokątny $ACD$, gdzie $D$ jest punktem przecięcia wysokości z podstawą. Wysokość $CD$ wynosi $3$ $cm$. Korzystamy z funkcji sinus dla kąta $30^\circ$, aby obliczyć długość boku $AC$:$$\sin\left(30^\circ\right) = \frac{CD}{AC}$$Podstawiamy wartość $\sin\left(30^\circ\right) = \frac{1}{2}$ oraz $CD = 3$:$$\frac{1}{2} = \frac{3}{AC}$$Mnożymy na krzyż:$$1 \cdot AC = 2 \cdot 3$$$$AC = 6 \text{ } cm$$Następnie wyznaczamy długość boku $AD$ za pomocą funkcji tangens:$$\tan\left(30^\circ\right) = \frac{CD}{AD}$$Podstawiamy wartości:$$\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{3}{AD}$$Mnożymy na krzyż:$$AD \cdot \sqrt{3} = 3 \cdot 3$$$$AD = \frac{9}{\sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{3} \text{ } cm$$Teraz przechodzimy do trójkąta prostokątnego $BCD$. Obliczamy bok $BC$:$$\sin\left(60^\circ\right) = \frac{CD}{BC}$$$$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{BC}$$$$BC \cdot \sqrt{3} = 6$$$$BC = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \text{ } cm$$Wyznaczamy odcinek $BD$ przy pomocy funkcji tangens dla kąta $60^\circ$:$$\tan\left(60^\circ\right) = \frac{CD}{BD}$$$$\sqrt{3} = \frac{3}{BD}$$$$BD = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \text{ } cm$$Obliczamy długość podstawy $AB$:$$AB = AD + BD = 3\sqrt{3} + \sqrt{3} = 4\sqrt{3} \text{ } cm$$Sumujemy wszystkie boki:$$O = AC + BC + AB = 6 + 2\sqrt{3} + 4\sqrt{3} = 6 + 6\sqrt{3} \text{ } cm$$b) Obliczanie obwodu trójkąta dla danych $h = 2$ $cm$, $\angle A = 45^\circ$ i $\angle B = 60^\circ$. W trójkącie prostokątnym $ACD$ ($45^\circ$):$$\sin\left(45^\circ\right) = \frac{CD}{AC}$$$$\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2}{AC}$$$$AC = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} \text{ } cm$$Odcinek $AD$:$$\tan\left(45^\circ\right) = \frac{CD}{AD}$$$$1 = \frac{2}{AD} \Rightarrow AD = 2 \text{ } cm$$W trójkącie prostokątnym $BCD$ ($60^\circ$):$$\sin\left(60^\circ\right) = \frac{CD}{BC}$$$$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2}{BC} \Rightarrow BC = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3} \text{ } cm$$Odcinek $BD$:$$\tan\left(60^\circ\right) = \frac{CD}{BD}$$$$\sqrt{3} = \frac{2}{BD} \Rightarrow BD = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3} \text{ } cm$$Długość boku $AB$:$$AB = 2 + \frac{2\sqrt{3}}{3} \text{ } cm$$Obwód:$$O = 2\sqrt{2} + \frac{4\sqrt{3}}{3} + 2 + \frac{2\sqrt{3}}{3} = 2 + 2\sqrt{2} + 2\sqrt{3} \text{ } cm$$c) Obliczanie obwodu trójkąta dla danych $h = 4$ $cm$, $\angle C = 45^\circ$ i $\angle B = 30^\circ$. Wysokość $AD = 4$ $cm$ tworzy trójkąty $ACD$ i $ABD$. W $ACD$:$$\sin\left(45^\circ\right) = \frac{AD}{AC}$$$$\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{4}{AC} \Rightarrow AC = 4\sqrt{2} \text{ } cm$$$$CD = \frac{AD}{\tan\left(45^\circ\right)} = \frac{4}{1} = 4 \text{ } cm$$W $ABD$:$$\sin\left(30^\circ\right) = \frac{AD}{AB}$$$$\frac{1}{2} = \frac{4}{AB} \Rightarrow AB = 8 \text{ } cm$$$$BD = \frac{AD}{\tan\left(30^\circ\right)} = \frac{4}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = 4\sqrt{3} \text{ } cm$$Bok $BC = 4 + 4\sqrt{3} \text{ } cm$. Obwód:$$O = 8 + 4\sqrt{2} + 4 + 4\sqrt{3} = 12 + 4\sqrt{2} + 4\sqrt{3} \text{ } cm$$

Zadanie 4 (4 pkt)

W trójkącie $ABC$ kąty $\alpha$ i $\beta$ są ostre. Wyznacz miary kątów tego trójkąta, jeśli: a) $\cos \alpha = \frac{1}{2}$ i $\text{tg} \beta = 1$ b) $\sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$ i $\text{ctg} \beta = \sqrt{3}$ c) $\text{tg} \alpha = \frac{\sqrt{3}}{3}$ i $\cos \beta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ d) $\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$ i $\cos \beta = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

WSKAZÓWKI: 1) Aby wyznaczyć miary kątów $\alpha$ oraz $\beta$, skorzystaj z tablicy wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów podstawowych ($30^{\circ}$, $45^{\circ}$, $60^{\circ}$). W zadaniu zaznaczono, że kąty te są ostre, co oznacza, że ich miary mieszczą się w przedziale od $0^{\circ}$ do $90^{\circ}$. 2) Pamiętaj o podstawowej własności każdego trójkąta na płaszczyźnie euklidesowej: suma miar wszystkich trzech kątów wewnętrznych ($\alpha$, $\beta$, $\gamma$) zawsze wynosi $180^{\circ}$. Możemy to zapisać równaniem:$$\alpha + \beta + \gamma = 180^{\circ}$$3) Po wyznaczeniu wartości $\alpha$ i $\beta$ z funkcji trygonometrycznych, trzeci kąt $\gamma$ obliczysz, przekształcając powyższy wzór:$$\gamma = 180^{\circ} - \left(\alpha + \beta\right)$$ROZWIĄZANIE: a) Wyznaczanie kątów dla $\cos \alpha = \frac{1}{2}$ i $tg \beta = 1$. 1. Wyznaczamy miarę kąta $\alpha$. Wiemy z tablic trygonometrycznych, że cosinus przyjmuje wartość $\frac{1}{2}$ dla kąta $60^{\circ}$. Ponieważ w poleceniu wskazano, że $\alpha$ jest kątem ostrym, otrzymujemy:$$\alpha = 60^{\circ}$$2. Wyznaczamy miarę kąta $\beta$. Wiemy z definicji wartości funkcji dla kątów ostrych, że tangens przyjmuje wartość $1$ dla kąta $45^{\circ}$. Zatem:$$\beta = 45^{\circ}$$3. Obliczamy miarę trzeciego kąta $\gamma$. Wiemy, że suma wszystkich kątów w trójkącie to $180^{\circ}$. Aby znaleźć brakujący kąt, od tej sumy odejmujemy miary dwóch już wyznaczonych kątów:$$\gamma = 180^{\circ} - \left(60^{\circ} + 45^{\circ}\right)$$Najpierw wykonujemy dodawanie liczb wewnątrz nawiasu:$$\gamma = 180^{\circ} - 105^{\circ}$$Następnie wykonujemy odejmowanie:$$\gamma = 75^{\circ}$$Miary kątów trójkąta w tym przypadku to $60^{\circ}$, $45^{\circ}$ oraz $75^{\circ}$. b) Wyznaczanie kątów dla $\sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$ i $ctg \beta = \sqrt{3}$. 1. Wyznaczamy miarę kąta $\alpha$. Z tablic wartości funkcji trygonometrycznych odczytujemy, że sinus kąta ostrego jest równy $\frac{\sqrt{2}}{2}$ dla kąta o mierze $45^{\circ}$:$$\alpha = 45^{\circ}$$2. Wyznaczamy miarę kąta $\beta$. Funkcja cotangens przyjmuje wartość $\sqrt{3}$ dla kąta ostrego równego $30^{\circ}$:$$\beta = 30^{\circ}$$3. Obliczamy miarę kąta $\gamma$. Korzystamy z zasady sumy kątów w trójkącie równej $180^{\circ}$:$$\gamma = 180^{\circ} - \left(45^{\circ} + 30^{\circ}\right)$$Dodajemy wartości w nawiasie:$$\gamma = 180^{\circ} - 75^{\circ}$$Odejmujemy otrzymany wynik od $180^{\circ}$:$$\gamma = 105^{\circ}$$Miary kątów trójkąta to $45^{\circ}$, $30^{\circ}$ oraz $105^{\circ}$. c) Wyznaczanie kątów dla $tg \alpha = \frac{\sqrt{3}}{3}$ i $\cos \beta = \frac{\sqrt{3}}{2}$. 1. Wyznaczamy miarę kąta $\alpha$. Szukamy w tablicach, dla jakiego kąta ostrego funkcja tangens przyjmuje wartość $\frac{\sqrt{3}}{3}$. Jest to kąt $30^{\circ}$:$$\alpha = 30^{\circ}$$2. Wyznaczamy miarę kąta $\beta$. Cosinus kąta ostrego wynosi $\frac{\sqrt{3}}{2}$ dokładnie dla kąta o mierze $30^{\circ}$:$$\beta = 30^{\circ}$$3. Obliczamy miarę kąta $\gamma$. Podstawiamy obie znane miary do równania sumy kątów:$$\gamma = 180^{\circ} - \left(30^{\circ} + 30^{\circ}\right)$$Sumujemy kąty $\alpha$ i $\beta$:$$\gamma = 180^{\circ} - 60^{\circ}$$Wykonujemy odejmowanie, aby otrzymać kąt przy wierzchołku $C$:$$\gamma = 120^{\circ}$$Miary kątów trójkąta to $30^{\circ}$, $30^{\circ}$ oraz $120^{\circ}$. d) Wyznaczanie kątów dla $\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$ i $\cos \beta = \frac{\sqrt{2}}{2}$. 1. Wyznaczamy miarę kąta $\alpha$. Funkcja sinus osiąga wartość $\frac{\sqrt{3}}{2}$ dla kąta ostrego o mierze $60^{\circ}$:$$\alpha = 60^{\circ}$$2. Wyznaczamy miarę kąta $\beta$. Funkcja cosinus osiąga wartość $\frac{\sqrt{2}}{2}$ dla kąta ostrego o mierze $45^{\circ}$:$$\beta = 45^{\circ}$$3. Obliczamy miarę kąta $\gamma$. Ponownie sumujemy znane miary i odejmujemy od sumy całkowitej:$$\gamma = 180^{\circ} - \left(60^{\circ} + 45^{\circ}\right)$$Wewnątrz nawiasu otrzymujemy $105^{\circ}$:$$\gamma = 180^{\circ} - 105^{\circ}$$Wykonujemy odejmowanie końcowe:$$\gamma = 75^{\circ}$$Miary kątów trójkąta to $60^{\circ}$, $45^{\circ}$ oraz $75^{\circ}$.

Zadanie 5 (2 pkt)

W trójkącie dwa boki mają długość $a$ i $b$, a kąt ostry między nimi jest równy $\gamma$. Oblicz pole tego trójkąta. a) $a = 10 \text{ cm}, b = 4 \text{ cm}, \gamma = 30^\circ$ b) $a = 12 \text{ cm}, b = 5 \text{ cm}, \gamma = 60^\circ$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

WSKAZÓWKI: 1) Przypomnij sobie podstawowy wzór na pole trójkąta:$$P = \frac{1}{2} \cdot \text{podstawa} \cdot \text{wysokość}$$W tym zadaniu za podstawę możesz przyjąć bok $b$. Wtedy wysokość $h$ musi być opuszczona na ten bok (lub jego przedłużenie) z wierzchołka leżącego naprzeciwko. 2) Aby znaleźć wysokość $h$, zauważ, że tworzy ona z bokiem $a$ trójkąt prostokątny. Kąt $\gamma$ jest jednym z kątów ostrych w tym trójkącie prostokątnym. 3) Wykorzystaj własność trójkąta prostokątnego o kątach $30^{\circ}$, $60^{\circ}$ i $90^{\circ}$. Jeśli kąt $\gamma = 30^{\circ}$, to wysokość $h$ leżąca naprzeciw tego kąta jest dokładnie dwa razy krótsza od przeciwprostokątnej (którą jest bok $a$). 4) Jeśli kąt $\gamma = 60^{\circ}$, to wysokość $h$ obliczysz, pamiętając, że taki trójkąt prostokątny jest połową trójkąta równobocznego. Wtedy wysokość odpowiada wysokości trójkąta równobocznego o boku $a$. ROZWIĄZANIE: a) Obliczanie pola dla $a = 10$ $cm$, $b = 4$ $cm$ i $\gamma = 30^{\circ}$. Przyjmijmy bok $b = 4$ jako podstawę trójkąta. Musimy wyznaczyć wysokość $h$ opuszczoną na tę podstawę. Wysokość $h$ wraz z bokiem $a$ oraz fragmentem podstawy tworzy trójkąt prostokątny. W tym trójkącie bok $a$ jest przeciwprostokątną, a wysokość $h$ jest przyprostokątną leżącą naprzeciw kąta $\gamma = 30^{\circ}$. Z własności trójkąta o kątach $30^{\circ}$, $60^{\circ}$ i $90^{\circ}$ wiemy, że bok leżący naprzeciw kąta $30^{\circ}$ jest równy połowie długości przeciwprostokątnej. Zapisujemy to równaniem:$$h = \frac{1}{2} \cdot a$$Podstawiamy wartość $a = 10$:$$h = \frac{1}{2} \cdot 10$$Wykonujemy mnożenie liczby $10$ przez ułamek $\frac{1}{2}$ (co jest tym samym, co dzielenie przez $2$):$$h = 5$$Wysokość trójkąta wynosi $5$ $cm$. Teraz możemy obliczyć pole $P$, korzystając ze wzoru na pole z użyciem podstawy $b = 4$ i wysokości $h = 5$:$$P = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h$$Podstawiamy liczby:$$P = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 5$$Najpierw mnożymy $\frac{1}{2}$ przez $4$, co daje nam $2$:$$P = 2 \cdot 5$$$$P = 10$$Pole trójkąta w podpunkcie a) wynosi $10$ $cm^{2}$. b) Obliczanie pola dla $a = 12$ $cm$, $b = 5$ $cm$ i $\gamma = 60^{\circ}$. Przyjmijmy bok $b = 5$ jako podstawę trójkąta. Wyznaczamy wysokość $h$ opuszczoną na ten bok. Tworzy ona trójkąt prostokątny z bokiem $a = 12$ jako przeciwprostokątną. Kąt przy wierzchołku wynosi $\gamma = 60^{\circ}$, więc trzeci kąt w tym małym trójkącie prostokątnym musi wynosić $30^{\circ}$ (ponieważ $180 - 90 - 60 = 30$). W trójkącie o kątach $30^{\circ}$, $60^{\circ}$ i $90^{\circ}$ wysokość $h$ leży naprzeciw kąta $60^{\circ}$. Odpowiada ona wysokości trójkąta równobocznego, którego bokiem byłoby nasze $a$. Wzór na taką wysokość to:$$h = \frac{a \cdot \sqrt{3}}{2}$$Podstawiamy wartość $a = 12$:$$h = \frac{12 \cdot \sqrt{3}}{2}$$Dzielimy liczbę $12$ przez $2$:$$h = 6\sqrt{3}$$Wysokość trójkąta wynosi $6\sqrt{3}$ $cm$. Teraz podstawiamy podstawę $b = 5$ oraz wysokość $h = 6\sqrt{3}$ do wzoru na pole:$$P = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h$$Podstawiamy wartości liczbowe:$$P = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 6\sqrt{3}$$Dla ułatwienia obliczeń zmieniamy kolejność mnożenia, aby najpierw pomnożyć $\frac{1}{2}$ przez $6$:$$P = 5 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{3}\right)$$Obliczamy wartość w nawiasie, dzieląc $6$ przez $2$:$$P = 5 \cdot 3\sqrt{3}$$Teraz mnożymy liczbę $5$ przez $3$:$$P = 15\sqrt{3}$$Pole trójkąta w podpunkcie b) wynosi $15\sqrt{3}$ $cm^{2}$.

Grupa B

Zadanie 1 (6 pkt)

Oblicz: a) $6 \cdot \sin 45^\circ \cdot \cos 45^\circ + 2 \cdot \tan 30^\circ \cdot \cot 30^\circ$ b) $\tan 45^\circ \cdot \cos 60^\circ : \left( \sin 30^\circ \cdot \cot 30^\circ \right)$ c) $24 \cdot \sin 60^\circ \cdot \cos 30^\circ : \left( \tan 60^\circ \cdot \cot 30^\circ \right)$ d) $10 \cdot \left( \sin 30^\circ \cdot \cos 60^\circ \cdot \tan 30^\circ \right) : \left( \cot 60^\circ \cdot \sin 60^\circ \right)$ e) $4 \cdot \left( \sin 60^\circ - \sin 30^\circ \right) \cdot \left( \cos 30^\circ + \cos 60^\circ \right)$ f) $\left( \tan 60^\circ + \cot 30^\circ \right) \cdot \left( \sin 60^\circ - \cos 30^\circ \right)$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 2 (6 pkt)

Wykonaj działania: a) $ \left(\text{tg } 60^\circ - \text{ctg } 45^\circ\right) \cdot \left(\text{tg } 60^\circ + \text{ctg } 45^\circ\right) $ b) $ \left(2\cos 45^\circ + \sin 45^\circ\right) \cdot \left(2\cos 45^\circ - \sin 45^\circ\right) $ c) $ \left(\sin 45^\circ + \cos 45^\circ\right)^2 - \left(\text{tg } 45^\circ + \text{ctg } 45^\circ\right)^2 $ d) $ \left(\cos 30^\circ - \text{tg } 60^\circ\right) \cdot \left(\text{ctg } 30^\circ - \sin 60^\circ\right) $ e) $ 8\left(\sin 45^\circ + \cos 45^\circ\right) \cdot \left(\text{tg } 60^\circ + \text{ctg } 30^\circ\right) $ f) $ 6\left(\text{tg } 30^\circ - \cos 30^\circ\right) \cdot \left(\sin 60^\circ - \text{ctg } 60^\circ\right) $

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 3 (3 pkt)

Oblicz obwód trójkąta $ABC$, korzystając z odpowiednich funkcji trygonometrycznych kątów ostrych. a) b) c)

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 4 (4 pkt)

W trójkącie $ABC$ kąty $\alpha$ i $\beta$ są ostre. Wyznacz miary kątów tego trójkąta, jeśli: a) $\text{ctg} \alpha = 1$ i $\sin \beta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ b) $\cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$ i $\text{tg} \beta = \sqrt{3}$ c) $\sin \alpha = \frac{1}{2}$ i $\cos \beta = \frac{1}{2}$ d) $\text{tg} \alpha = \sqrt{3}$ i $\text{ctg} \beta = 1$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 5 (2 pkt)

W trójkącie dwa boki mają długość $a$ i $b$, a kąt ostry między nimi jest równy $\gamma$. Oblicz pole tego trójkąta. a) $a = 9 \text{ cm}, b = 4 \text{ cm}, \gamma = 45^\circ$ b) $a = 14 \text{ cm}, b = 10 \text{ cm}, \gamma = 30^\circ$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

8.2 Wartości sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa kątów 30, 45, 60 stopni

Grupa A

Zadanie 1 (6 pkt)

Zadanie 2 (6 pkt)

Zadanie 3 (3 pkt)

Zadanie 4 (4 pkt)

Zadanie 5 (2 pkt)

Grupa B

Zadanie 1 (6 pkt)

Zadanie 2 (6 pkt)

Zadanie 3 (3 pkt)

Zadanie 4 (4 pkt)

Zadanie 5 (2 pkt)

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Witaj na Liczbit 👋