Dzień 12

Grupa A

Nr	Treść Zadania	Odpowiedź
1	Mając dane $a+b=7$ oraz $ab=6$, oblicz wartości wyrażeń: $a^2+b^2$, $a^3+b^3$, $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$.	$a^2+b^2=37$, $a^3+b^3=217$, $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{7}{6}$.
2	Udowodnij, że jeśli $a+b=12$ oraz $a^2-b^2=84$, to $a-b=7$.	Dowód wynika z tożsamości $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.
3	Dane jest $ab=-4$ oraz $a+b=3$. Wykaż, że $a^3+b^3=63$.	Wartość $a^3+b^3$ wynosi $63$.
4	Dane jest $ab=5$ oraz $a-b=\sqrt{3}$. Wykaż, że $a^2+b^2=13$.	Wartość $a^2+b^2$ wynosi $13$.
5	Wiedząc, że $a+b=6$ oraz $a^3b+ab^3=112$, oblicz wartość wyrażenia $ab$.	$ab=4$.
6	Wykaż, że jeżeli $(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd)^2$, to $ad=-bc$.	Dowód wynika z przekształcenia równania do postaci $(ad+bc)^2=0$.
7	Uzasadnij, że jeżeli $a+b=2$ i $a^2+b^2=10$, to $a^4+b^4=82$.	Wartość $a^4+b^4$ wynosi $82$.
8	Udowodnij, że jeżeli $a \neq b$ oraz $a^2-a=b^2-b$, to $a+b=1$.	Dowód wynika z przekształcenia równania do postaci $(a-b)(a+b-1)=0$ i założenia $a \neq b$.

Dzień 12

Grupa B

Nr	Treść Zadania	Odpowiedź
1	Mając dane $a+b=8$ oraz $ab=7$, oblicz wartości wyrażeń: $a^2+b^2$, $a^3+b^3$, $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$.	$a^2+b^2=50$, $a^3+b^3=344$, $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{8}{7}$.
2	Udowodnij, że jeśli $a+b=15$ oraz $a^2-b^2=105$, to $a-b=7$.	Dowód wynika z tożsamości $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.
3	Dane jest $ab=-5$ oraz $a+b=4$. Wykaż, że $a^3+b^3=124$.	Wartość $a^3+b^3$ wynosi $124$.
4	Dane jest $ab=7$ oraz $a-b=\sqrt{5}$. Wykaż, że $a^2+b^2=19$.	Wartość $a^2+b^2$ wynosi $19$.
5	Wiedząc, że $a+b=7$ oraz $a^3b+ab^3=290$, oblicz wartość wyrażenia $ab$.	$ab=10$.
6	Wykaż, że jeżeli $(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2$, to $ad=bc$.	Dowód wynika z przekształcenia równania do postaci $(ad-bc)^2=0$.
7	Uzasadnij, że jeżeli $a+b=3$ i $a^2+b^2=17$, to $a^4+b^4=257$.	Wartość $a^4+b^4$ wynosi $257$.
8	Udowodnij, że jeżeli $x \neq y$ oraz $x^2+x=y^2+y$, to $x+y=-1$.	Dowód wynika z przekształcenia równania do postaci $(x-y)(x+y+1)=0$ i założenia $x \neq y$.

Dzień 12

Grupa C

Nr	Treść Zadania	Odpowiedź
1	Mając dane $a+b=6$ oraz $ab=5$, oblicz wartości wyrażeń: $a^2+b^2$, $a^3+b^3$, $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$.	$a^2+b^2=26$, $a^3+b^3=126$, $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{6}{5}$.
2	Udowodnij, że jeśli $a+b=14$ oraz $a^2-b^2=98$, to $a-b=7$.	Dowód wynika z tożsamości $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.
3	Dane jest $ab=-6$ oraz $a+b=5$. Wykaż, że $a^3+b^3=215$.	Wartość $a^3+b^3$ wynosi $215$.
4	Dane jest $ab=8$ oraz $a-b=\sqrt{7}$. Wykaż, że $a^2+b^2=23$.	Wartość $a^2+b^2$ wynosi $23$.
5	Wiedząc, że $a+b=8$ oraz $a^3b+ab^3=480$, oblicz wartość wyrażenia $ab$.	$ab=12$.
6	Wykaż, że jeżeli $(x^2+y^2)(z^2+w^2)=(xz-yw)^2$, to $xw=-yz$.	Dowód wynika z przekształcenia równania do postaci $(xw+yz)^2=0$.
7	Uzasadnij, że jeżeli $a+b=4$ i $a^2+b^2=20$, to $a^4+b^4=392$.	Wartość $a^4+b^4$ wynosi $392$.
8	Udowodnij, że jeżeli $p \neq q$ oraz $p^2-p=q^2-q$, to $p+q=1$.	Dowód wynika z przekształcenia równania do postaci $(p-q)(p+q-1)=0$ i założenia $p \neq q$.

Dzień 12

Grupa D

Nr	Treść Zadania	Odpowiedź
1	Mając dane $a+b=9$ oraz $ab=8$, oblicz wartości wyrażeń: $a^2+b^2$, $a^3+b^3$, $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$.	$a^2+b^2=65$, $a^3+b^3=513$, $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{9}{8}$.
2	Udowodnij, że jeśli $a+b=13$ oraz $a^2-b^2=91$, to $a-b=7$.	Dowód wynika z tożsamości $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.
3	Dane jest $ab=-7$ oraz $a+b=4$. Wykaż, że $a^3+b^3=148$.	Wartość $a^3+b^3$ wynosi $148$.
4	Dane jest $ab=9$ oraz $a-b=\sqrt{6}$. Wykaż, że $a^2+b^2=24$.	Wartość $a^2+b^2$ wynosi $24$.
5	Wiedząc, że $a+b=9$ oraz $a^3b+ab^3=810$, oblicz wartość wyrażenia $ab$.	$ab=18$.
6	Wykaż, że jeżeli $(k^2+l^2)(m^2+n^2)=(km-ln)^2$, to $kn=-lm$.	Dowód wynika z przekształcenia równania do postaci $(kn+lm)^2=0$.
7	Uzasadnij, że jeżeli $a+b=5$ i $a^2+b^2=29$, to $a^4+b^4=833$.	Wartość $a^4+b^4$ wynosi $833$.
8	Udowodnij, że jeżeli $u \neq v$ oraz $u^2-u=v^2-v$, to $u+v=1$.	Dowód wynika z przekształcenia równania do postaci $(u-v)(u+v-1)=0$ i założenia $u \neq v$.