| Nr | Treść Zadania | Rozwiązanie | Odpowiedź |
|---|---|---|---|
| 1 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(x + 1)^2$ | Wskazówki: • Skorzystaj ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy dwóch wyrażeń: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. • Pułapka: nie zapomnij o wyrazie środkowym, czyli podwojonym iloczynie ($2ab$). Kwadrat sumy nie jest sumą kwadratów! Rozwiązanie krok po kroku: 1. Zastosowanie wzoru skróconego mnożenia (Sposób I): Identyfikujemy składniki sumy: pierwszym wyrazem jest $a = x$, a drugim $b = 1$. Podstawiamy je bezpośrednio do tożsamości $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$: $$\begin{aligned} (x + 1)^2 &= x^2 + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2 \\[6pt] &= x^2 + 2x + 1 \end{aligned}$$ Częsty błąd: Nagminnym błędem jest mechaniczne podnoszenie każdego składnika z osobna do kwadratu: $(x + 1)^2 = x^2 + 1^2 = x^2 + 1$ i pomijanie wyrazu $2x$. Potęgowanie nie jest operacją rozdzielną względem dodawania. Błąd ten łatwo zweryfikować na liczbach, np. dla $x = 3$: wartość $(3 + 1)^2 = 4^2 = 16$, podczas gdy błędna reguła dałaby $3^2 + 1^2 = 9 + 1 = 10$, co prowadzi do ewidentnej sprzeczności ($16 \neq 10$). 2. Wymnożenie nawiasów jako alternatywna metoda weryfikacji (Sposób II): Kwadrat dowolnego wyrażenia oznacza pomnożenie go przez samo siebie: $(x + 1)^2 = (x + 1)(x + 1)$. Zgodnie z prawem rozdzielności mnożenia względem dodawania mnożymy każdy wyraz z pierwszego nawiasu przez każdy wyraz z drugiego nawiasu, a następnie redukujemy wyrazy podobne: $$\begin{aligned} (x + 1)^2 &= (x + 1)(x + 1) \\[6pt] &= x \cdot x + x \cdot 1 + 1 \cdot x + 1 \cdot 1 \\[6pt] &= x^2 + x + x + 1 \\[6pt] &= x^2 + 2x + 1 \end{aligned}$$ | $x^2 + 2x + 1$ |
| 2 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(x - 2)^2$ | Wskazówki: • Skorzystaj ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy dwóch wyrażeń: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. • Pułapka: znak minus dotyczy wyłącznie wyrazu środkowego ($-2ab$). Ostatni wyraz jest kwadratem liczby ujemnej: $(-b)^2 = +b^2$, dlatego na końcu zawsze pojawia się znak dodawania. Kwadrat różnicy nie jest równy różnicy kwadratów! Rozwiązanie krok po kroku: 1. Zastosowanie wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy (Sposób I): W wyrażeniu $(x - 2)^2$ identyfikujemy składniki: $a = x$ oraz $b = 2$. Podstawiamy je do tożsamości $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$: $$\begin{aligned} (x - 2)^2 &= x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 \\[6pt] &= x^2 - 4x + 4 \end{aligned}$$ Częsty błąd: Nagminnym błędem jest podnoszenie składników do kwadratu z pominięciem wyrazu środkowego oraz błędnym ustaleniem znaku: $(x - 2)^2 = x^2 - 2^2 = x^2 - 4$. Potęgowanie nie jest rozdzielne względem odejmowania. Taki błąd łatwo obalić podstawieniem liczbowym, np. dla $x = 5$: wartość rzeczywista to $(5 - 2)^2 = 3^2 = 9$, podczas gdy z błędnego wzoru otrzymalibyśmy $5^2 - 4 = 25 - 4 = 21$, co prowadzi do sprzeczności ($9 \neq 21$). Często pojawia się też błąd podwójnego minusa prowadzący do zapisu $+4x$ zamiast $-4x$ lub błędny znak przy wyrazie wolnym ($-4$ zamiast $+4$). 2. Wymnożenie nawiasów jako alternatywna metoda weryfikacji (Sposób II): Kwadrat różnicy przedstawiamy w postaci iloczynu dwóch jednakowych czynników: $(x - 2)^2 = (x - 2)(x - 2)$. Mnożymy każdy wyraz pierwszego nawiasu przez każdy wyraz drugiego nawiasu, przestrzegając reguł znaków (w tym $(-2) \cdot (-2) = +4$): $$\begin{aligned} (x - 2)^2 &= (x - 2)(x - 2) \\[6pt] &= x \cdot x + x \cdot (-2) - 2 \cdot x - 2 \cdot (-2) \\[6pt] &= x^2 - 2x - 2x + 4 \\[6pt] &= x^2 - 4x + 4 \end{aligned}$$ | $x^2 - 4x + 4$ |
| 3 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(x+3)^2$ | Wskazówki: • Wykorzystaj tożsamość $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. • Podstaw $a = x$, $b = 3$. Rozwiązanie krok po kroku: 1. Rozwinięcie potęgi sumy: Podstawiamy wartości do tożsamości algebraicznej: $$\begin{aligned} (x+3)^2 &= x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 \\[6pt] &= x^2 + 6x + 9 \end{aligned}$$ 2. Podsumowanie: Końcowa postać rozwiniętego wyrażenia wynosi: $$x^2 + 6x + 9$$ | $x^2 + 6x + 9$ |
| 4 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(x-4)^2$ | Wskazówki: • Zastosuj wzór na kwadrat różnicy $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. • Składnik środkowy wynosi $-2 \cdot x \cdot 4 = -8x$. Rozwiązanie krok po kroku: 1. Rozpisanie kwadratu różnicy: Podstawiamy $a = x$ oraz $b = 4$: $$\begin{aligned} (x-4)^2 &= x^2 - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 \\[6pt] &= x^2 - 8x + 16 \end{aligned}$$ 2. Podsumowanie: Wyrażenie doprowadzone do najprostszej postaci: $$x^2 - 8x + 16$$ | $x^2 - 8x + 16$ |
| 5 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(5+x)^2$ | Wskazówki: • Dodawanie jest przemienne, zatem $(5+x)^2 = (x+5)^2$. • Zastosuj wzór $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Rozwiązanie krok po kroku: 1. Rozwinięcie wyrażenia: Rozwijamy bezpośrednio dla $a = 5$ oraz $b = x$: $$\begin{aligned} (5+x)^2 &= 5^2 + 2 \cdot 5 \cdot x + x^2 \\[6pt] &= 25 + 10x + x^2 \end{aligned}$$ 2. Uporządkowanie wyrazów: Zapisujemy jednomiany w kolejności malejących potęg: $$x^2 + 10x + 25$$ | $x^2 + 10x + 25$ |
| 6 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(6-x)^2$ | Wskazówki: • Zastosuj wzór $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ dla $a = 6$, $b = x$. • Zauważ, że $(6-x)^2 = (x-6)^2$. Rozwiązanie krok po kroku: 1. Rozpisanie potęgi: Wykonujemy działania zgodnie ze wzorem skróconego mnożenia: $$\begin{aligned} (6-x)^2 &= 6^2 - 2 \cdot 6 \cdot x + x^2 \\[6pt] &= 36 - 12x + x^2 \end{aligned}$$ 2. Uporządkowanie wielomianu: Zapisujemy składniki od najwyższej potęgi zmiennej: $$x^2 - 12x + 36$$ | $x^2 - 12x + 36$ |
| 7 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(x-5)(x+5)$ | Wskazówki: • Skorzystaj ze wzoru na różnicę kwadratów: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$. • Nie ma potrzeby wymnażania każdego wyrazu przez każdy – wyrazy pośrednie $5x$ i $-5x$ redukują się. Rozwiązanie krok po kroku: 1. Zastosowanie wzoru na różnicę kwadratów: Podstawiamy $a = x$ oraz $b = 5$: $$\begin{aligned} (x-5)(x+5) &= x^2 - 5^2 \\[6pt] &= x^2 - 25 \end{aligned}$$ 2. Podsumowanie: Końcowy wynik to dwumian stopnia drugiego: $$x^2 - 25$$ | $x^2 - 25$ |
| 8 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(7-x)(7+x)$ | Wskazówki: • Zastosuj wzór na różnicę kwadratów $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$. • Zidentyfikuj składniki: $a = 7$, $b = x$. Rozwiązanie krok po kroku: 1. Rozwinięcie iloczynu: Korzystamy z tożsamości różnicy kwadratów: $$\begin{aligned} (7-x)(7+x) &= 7^2 - x^2 \\[6pt] &= 49 - x^2 \end{aligned}$$ 2. Podsumowanie: Wynik końcowy wynosi: $$49 - x^2$$ | $49 - x^2$ |
| 9 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(2x+1)^2$ | Wskazówki: • Zastosuj wzór $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ dla $a = 2x$ i $b = 1$. • Pamiętaj o podniesieniu całego jednomianu do kwadratu: $(2x)^2 = 4x^2$. Rozwiązanie krok po kroku: 1. Rozpisanie kwadratu sumy: Podnosimy do kwadratu pierwszy składnik oraz obliczamy iloczyn podwojony: $$\begin{aligned} (2x+1)^2 &= (2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot 1 + 1^2 \\[6pt] &= 4x^2 + 4x + 1 \end{aligned}$$ 2. Podsumowanie: Otrzymujemy uproszczoną postać trójmianu: $$4x^2 + 4x + 1$$ | $4x^2 + 4x + 1$ |
| 10 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(3x-2)^2$ | Wskazówki: • Zastosuj wzór $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. • Oblicz starannie $(3x)^2 = 9x^2$ oraz wyraz środkowy $2 \cdot 3x \cdot 2 = 12x$. Rozwiązanie krok po kroku: 1. Rozwinięcie potęgi różnicy: Podstawiamy $a = 3x$ oraz $b = 2$: $$\begin{aligned} (3x-2)^2 &= (3x)^2 - 2 \cdot (3x) \cdot 2 + 2^2 \\[6pt] &= 9x^2 - 12x + 4 \end{aligned}$$ 2. Podsumowanie: Wielomian po rozwinięciu przyjmuje postać: $$9x^2 - 12x + 4$$ | $9x^2 - 12x + 4$ |
| 11 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(x+\sqrt{3})^2$ | Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$. Mamy $a=x$ i $b=\sqrt{3}$. $$ (x+\sqrt{3})^2 = x^2+2 \cdot x \cdot \sqrt{3}+(\sqrt{3})^2 $$ $$ = x^2+2\sqrt{3}x+3 $$ | $x^2+2\sqrt{3}x+3$ |
| 12 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(4-\sqrt{2})^2$ | Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$. Mamy $a=4$ i $b=\sqrt{2}$. $$ (4-\sqrt{2})^2 = 4^2-2 \cdot 4 \cdot \sqrt{2}+(\sqrt{2})^2 $$ $$ = 16-8\sqrt{2}+2 $$ $$ = 18-8\sqrt{2} $$ | $18-8\sqrt{2}$ |
| 13 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(2\sqrt{3}+1)^2$ | Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$. Mamy $a=2\sqrt{3}$ i $b=1$. $$ (2\sqrt{3}+1)^2 = (2\sqrt{3})^2+2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot 1+1^2 $$ $$ = (4 \cdot 3)+4\sqrt{3}+1 $$ $$ = 12+4\sqrt{3}+1 $$ $$ = 13+4\sqrt{3} $$ | $13+4\sqrt{3}$ |
| 14 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(x^2+2)^2$ | Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$. Mamy $a=x^2$ i $b=2$. $$ (x^2+2)^2 = (x^2)^2+2 \cdot x^2 \cdot 2+2^2 $$ $$ = x^4+4x^2+4 $$ | $x^4+4x^2+4$ |
| 15 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(y^3-3)^2$ | Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$. Mamy $a=y^3$ i $b=3$. $$ (y^3-3)^2 = (y^3)^2-2 \cdot y^3 \cdot 3+3^2 $$ $$ = y^6-6y^3+9 $$ | $y^6-6y^3+9$ |
| 16 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(2x+3y)^2$ | Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$. Mamy $a=2x$ i $b=3y$. $$ (2x+3y)^2 = (2x)^2+2 \cdot 2x \cdot 3y+(3y)^2 $$ $$ = 4x^2+12xy+9y^2 $$ | $4x^2+12xy+9y^2$ |
| 17 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(4a-b)^2$ | Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$. Mamy $a=4a$ i $b=b$. $$ (4a-b)^2 = (4a)^2-2 \cdot 4a \cdot b+b^2 $$ $$ = 16a^2-8ab+b^2 $$ | $16a^2-8ab+b^2$ |
| 18 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(x-\sqrt{5})(x+\sqrt{5})$ | Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$. Mamy $a=x$ i $b=\sqrt{5}$. $$ (x-\sqrt{5})(x+\sqrt{5}) = x^2-(\sqrt{5})^2 $$ $$ = x^2-5 $$ | $x^2-5$ |
| 19 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(6-\sqrt{7})(6+\sqrt{7})$ | Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$. Mamy $a=6$ i $b=\sqrt{7}$. $$ (6-\sqrt{7})(6+\sqrt{7}) = 6^2-(\sqrt{7})^2 $$ $$ = 36-7 $$ $$ = 29 $$ | $29$ |
| 20 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(3x-4)(3x+4)$ | Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$. Mamy $a=3x$ i $b=4$. $$ (3x-4)(3x+4) = (3x)^2-4^2 $$ $$ = 9x^2-16 $$ | $9x^2-16$ |
| 21 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(2x-3)(2x+3)$ | Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$. Mamy $a=2x$ i $b=3$. $$ (2x-3)(2x+3) = (2x)^2-3^2 $$ $$ = 4x^2-9 $$ | $4x^2-9$ |
| 22 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(x+2)^3$ | Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia $(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$. Mamy $a=x$ i $b=2$. $$ (x+2)^3 = x^3+3 \cdot x^2 \cdot 2+3 \cdot x \cdot 2^2+2^3 $$ $$ = x^3+6x^2+3 \cdot x \cdot 4+8 $$ $$ = x^3+6x^2+12x+8 $$ | $x^3+6x^2+12x+8$ |
| 23 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(x-3)^3$ | Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia $(a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$. Mamy $a=x$ i $b=3$. $$ (x-3)^3 = x^3-3 \cdot x^2 \cdot 3+3 \cdot x \cdot 3^2-3^3 $$ $$ = x^3-9x^2+3 \cdot x \cdot 9-27 $$ $$ = x^3-9x^2+27x-27 $$ | $x^3-9x^2+27x-27$ |
| 24 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(2x+1)^3$ | Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia $(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$. Mamy $a=2x$ i $b=1$. $$ (2x+1)^3 = (2x)^3+3 \cdot (2x)^2 \cdot 1+3 \cdot 2x \cdot 1^2+1^3 $$ $$ = 8x^3+3 \cdot 4x^2 \cdot 1+6x+1 $$ $$ = 8x^3+12x^2+6x+1 $$ | $8x^3+12x^2+6x+1$ |
| 25 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(3x-1)^3$ | Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia $(a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$. Mamy $a=3x$ i $b=1$. $$ (3x-1)^3 = (3x)^3-3 \cdot (3x)^2 \cdot 1+3 \cdot 3x \cdot 1^2-1^3 $$ $$ = 27x^3-3 \cdot 9x^2 \cdot 1+9x-1 $$ $$ = 27x^3-27x^2+9x-1 $$ | $27x^3-27x^2+9x-1$ |
| 26 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(x-1)(x^2+x+1)$ | Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę sześcianów $a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$. Mamy $a=x$ i $b=1$. $$ (x-1)(x^2+x+1) = x^3-1^3 $$ $$ = x^3-1 $$ | $x^3-1$ |
| 27 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(x+4)(x^2-4x+16)$ | Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na sumę sześcianów $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$. Mamy $a=x$ i $b=4$. $$ (x+4)(x^2-4x+16) = x^3+4^3 $$ $$ = x^3+64 $$ | $x^3+64$ |
| 28 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(2x-y)(4x^2+2xy+y^2)$ | Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę sześcianów $a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$. Mamy $a=2x$ i $b=y$. $$ (2x-y)((2x)^2+(2x)y+y^2) = (2x)^3-y^3 $$ $$ = 8x^3-y^3 $$ | $8x^3-y^3$ |
| 29 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(3a+2b)(9a^2-6ab+4b^2)$ | Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na sumę sześcianów $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$. Mamy $a=3a$ i $b=2b$. $$ (3a+2b)((3a)^2-(3a)(2b)+(2b)^2) = (3a)^3+(2b)^3 $$ $$ = 27a^3+8b^3 $$ | $27a^3+8b^3$ |
| 30 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(x^2-5)(x^4+5x^2+25)$ | Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę sześcianów $a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$. Mamy $a=x^2$ i $b=5$. $$ (x^2-5)((x^2)^2+x^2 \cdot 5+5^2) = (x^2)^3-5^3 $$ $$ = x^6-125 $$ | $x^6-125$ |
| Nr | Treść Zadania | Rozwiązanie | Odpowiedź |
|---|---|---|---|
| 1 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(x+4)^2$ | Wskazówki: • Zastosuj wzór $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. • Podstaw $a = x$ oraz $b = 4$. Rozwiązanie krok po kroku: 1. Rozwinięcie wzoru: Obliczamy poszczególne składniki: $$\begin{aligned} (x+4)^2 &= x^2 + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 \\[6pt] &= x^2 + 8x + 16 \end{aligned}$$ 2. Podsumowanie: Ostateczny wynik rozwinięcia wynosi: $$x^2 + 8x + 16$$ | $x^2 + 8x + 16$ |
| 2 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(x-1)^2$ | Wskazówki: • Zastosuj wzór $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. • Wyraz środkowy to $-2 \cdot x \cdot 1 = -2x$. Rozwiązanie krok po kroku: 1. Rozwinięcie kwadratu różnicy: Podstawiamy do wzoru $a = x$, $b = 1$: $$\begin{aligned} (x-1)^2 &= x^2 - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2 \\[6pt] &= x^2 - 2x + 1 \end{aligned}$$ 2. Podsumowanie: Otrzymujemy uproszczone wyrażenie algebraiczne: $$x^2 - 2x + 1$$ | $x^2 - 2x + 1$ |
| 3 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(x+7)^2$ | Wskazówki: • Skorzystaj ze wzoru $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ dla $a = x$, $b = 7$. Rozwiązanie krok po kroku: 1. Rozpisanie potęgi: Podstawiamy dane składniki: $$\begin{aligned} (x+7)^2 &= x^2 + 2 \cdot x \cdot 7 + 7^2 \\[6pt] &= x^2 + 14x + 49 \end{aligned}$$ 2. Podsumowanie: Zapisujemy ostateczny trójmian: $$x^2 + 14x + 49$$ | $x^2 + 14x + 49$ |
| 4 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(x-3)^2$ | Wskazówki: • Wzór: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. • Pamiętaj o znaku minus przy podwojonym iloczynie. Rozwiązanie krok po kroku: 1. Rozwinięcie potęgi: Podstawiamy $a = x$ oraz $b = 3$: $$\begin{aligned} (x-3)^2 &= x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 \\[6pt] &= x^2 - 6x + 9 \end{aligned}$$ 2. Podsumowanie: Ostateczny wynik działania: $$x^2 - 6x + 9$$ | $x^2 - 6x + 9$ |
| 5 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(8+x)^2$ | Wskazówki: • Wyrażenie $(8+x)^2$ odpowiada $(x+8)^2$. • Stosujemy wzór na kwadrat sumy. Rozwiązanie krok po kroku: 1. Rozpisanie kwadratu sumy: Podstawiamy $a = 8$, $b = x$: $$\begin{aligned} (8+x)^2 &= 8^2 + 2 \cdot 8 \cdot x + x^2 \\[6pt] &= 64 + 16x + x^2 \end{aligned}$$ 2. Uporządkowanie wyrazów: Zapisujemy wielomian w postaci standardowej: $$x^2 + 16x + 64$$ | $x^2 + 16x + 64$ |
| 6 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(10-x)^2$ | Wskazówki: • Zastosuj wzór na kwadrat różnicy $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. • Wyraz wolny to $10^2 = 100$. Rozwiązanie krok po kroku: 1. Wyznaczenie składników: Podstawiamy $a = 10$ i $b = x$: $$\begin{aligned} (10-x)^2 &= 10^2 - 2 \cdot 10 \cdot x + x^2 \\[6pt] &= 100 - 20x + x^2 \end{aligned}$$ 2. Uporządkowanie jednomianów: Zapisujemy wynik w kolejności malejących potęg zmiennej $x$: $$x^2 - 20x + 100$$ | $x^2 - 20x + 100$ |
| 7 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(x-6)(x+6)$ | Wskazówki: • Wykorzystaj tożsamość różnicy kwadratów: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$. Rozwiązanie krok po kroku: 1. Zastosowanie wzoru: Dla $a = x$ oraz $b = 6$: $$\begin{aligned} (x-6)(x+6) &= x^2 - 6^2 \\[6pt] &= x^2 - 36 \end{aligned}$$ 2. Podsumowanie: Wynik końcowy to: $$x^2 - 36$$ | $x^2 - 36$ |
| 8 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(9-x)(9+x)$ | Wskazówki: • Iloczyn sumy i różnicy tych samych wyrazów to różnica ich kwadratów. Rozwiązanie krok po kroku: 1. Rozwinięcie tożsamości: Przyjmując $a = 9$ oraz $b = x$: $$\begin{aligned} (9-x)(9+x) &= 9^2 - x^2 \\[6pt] &= 81 - x^2 \end{aligned}$$ 2. Podsumowanie: Otrzymujemy uproszczoną postać: $$81 - x^2$$ | $81 - x^2$ |
| 9 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(3x+1)^2$ | Wskazówki: • Pamiętaj: cały wyraz $(3x)$ podnosimy do kwadratu: $(3x)^2 = 9x^2$. Rozwiązanie krok po kroku: 1. Rozpisanie ze wzoru skróconego mnożenia: Podstawiamy $a = 3x$ oraz $b = 1$: $$\begin{aligned} (3x+1)^2 &= (3x)^2 + 2 \cdot (3x) \cdot 1 + 1^2 \\[6pt] &= 9x^2 + 6x + 1 \end{aligned}$$ 2. Podsumowanie: Rozwinięcie wyrażenia wynosi: $$9x^2 + 6x + 1$$ | $9x^2 + 6x + 1$ |
| 10 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(4x-3)^2$ | Wskazówki: • Oblicz $(4x)^2 = 16x^2$. • Podwojony iloczyn to $2 \cdot 4x \cdot 3 = 24x$. Rozwiązanie krok po kroku: 1. Zastosowanie wzoru na kwadrat różnicy: Podstawiamy $a = 4x$, $b = 3$: $$\begin{aligned} (4x-3)^2 &= (4x)^2 - 2 \cdot (4x) \cdot 3 + 3^2 \\[6pt] &= 16x^2 - 24x + 9 \end{aligned}$$ 2. Podsumowanie: Końcowa postać wielomianu: $$16x^2 - 24x + 9$$ | $16x^2 - 24x + 9$ |
| 11 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(x+\sqrt{5})^2$ | Wzór: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, gdzie $a=x$, $b=\sqrt{5}$. $$ (x+\sqrt{5})^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = x^2 + 2\sqrt{5}x + 5 $$ | $x^2+2\sqrt{5}x+5$ |
| 12 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(5-\sqrt{3})^2$ | Wzór: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, gdzie $a=5$, $b=\sqrt{3}$. $$ (5-\sqrt{3})^2 = 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 25 - 10\sqrt{3} + 3 = 28 - 10\sqrt{3} $$ | $28-10\sqrt{3}$ |
| 13 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(3\sqrt{2}-1)^2$ | Wzór: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, gdzie $a=3\sqrt{2}$, $b=1$. Kwadrat pierwszego wyrazu: $$ a^2 = (3\sqrt{2})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18 $$ Podstawiamy: $$ (3\sqrt{2}-1)^2 = 18 - 2 \cdot (3\sqrt{2}) \cdot 1 + 1^2 = 18 - 6\sqrt{2} + 1 = 19 - 6\sqrt{2} $$ | $19-6\sqrt{2}$ |
| 14 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(x^3+1)^2$ | Wzór: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, gdzie $a=x^3$, $b=1$. Potęga potęgi: $(x^3)^2 = x^{3 \cdot 2} = x^6$. $$ (x^3+1)^2 = (x^3)^2 + 2 \cdot x^3 \cdot 1 + 1^2 = x^6 + 2x^3 + 1 $$ | $x^6+2x^3+1$ |
| 15 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(a^2-4)^2$ | Wzór: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$, dla $x=a^2$, $y=4$. $$ (a^2-4)^2 = (a^2)^2 - 2 \cdot a^2 \cdot 4 + 4^2 = a^4 - 8a^2 + 16 $$ | $a^4-8a^2+16$ |
| 16 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(3x+2y)^2$ | Wzór: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, gdzie $a=3x$, $b=2y$. - $a^2 = (3x)^2 = 9x^2$ - $2ab = 2 \cdot (3x) \cdot (2y) = 12xy$ - $b^2 = (2y)^2 = 4y^2$ $$ (3x+2y)^2 = 9x^2 + 12xy + 4y^2 $$ | $9x^2+12xy+4y^2$ |
| 17 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(5m-n)^2$ | Wzór: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, gdzie $a=5m$, $b=n$. $$ (5m-n)^2 = (5m)^2 - 2 \cdot 5m \cdot n + n^2 = 25m^2 - 10mn + n^2 $$ | $25m^2-10mn+n^2$ |
| 18 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(x-\sqrt{7})(x+\sqrt{7})$ | Różnica kwadratów: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$. $$ (x-\sqrt{7})(x+\sqrt{7}) = x^2 - (\sqrt{7})^2 = x^2 - 7 $$ | $x^2-7$ |
| 19 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(8-\sqrt{10})(8+\sqrt{10})$ | Różnica kwadratów: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$. $$ (8-\sqrt{10})(8+\sqrt{10}) = 8^2 - (\sqrt{10})^2 = 64 - 10 = 54 $$ | $54$ |
| 20 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(4x-1)(4x+1)$ | Różnica kwadratów: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, dla $a=4x$, $b=1$. $$ (4x-1)(4x+1) = (4x)^2 - 1^2 = 16x^2 - 1 $$ | $16x^2-1$ |
| 21 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(5x-2)(5x+2)$ | Różnica kwadratów: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, dla $a=5x$, $b=2$. $$ (5x-2)(5x+2) = (5x)^2 - 2^2 = 25x^2 - 4 $$ | $25x^2-4$ |
| 22 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(x+1)^3$ | Wzór: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$, gdzie $a=x$, $b=1$. $$ (x+1)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 1 + 3 \cdot x \cdot 1^2 + 1^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1 $$ | $x^3+3x^2+3x+1$ |
| 23 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(x-4)^3$ | Wzór: $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$, gdzie $a=x$, $b=4$. $$ (x-4)^3 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 4 + 3 \cdot x \cdot 4^2 - 4^3 $$ $$ = x^3 - 12x^2 + 3 \cdot x \cdot 16 - 64 = x^3 - 12x^2 + 48x - 64 $$ | $x^3-12x^2+48x-64$ |
| 24 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(3x+2)^3$ | Wzór: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$, gdzie $a=3x$, $b=2$. Krok po kroku: - $a^3 = (3x)^3 = 27x^3$ - $3a^2b = 3 \cdot (3x)^2 \cdot 2 = 3 \cdot 9x^2 \cdot 2 = 54x^2$ - $3ab^2 = 3 \cdot (3x) \cdot 2^2 = 9x \cdot 4 = 36x$ - $b^3 = 2^3 = 8$ $$ (3x+2)^3 = 27x^3 + 54x^2 + 36x + 8 $$ | $27x^3+54x^2+36x+8$ |
| 25 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(2x-1)^3$ | Wzór: $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$, gdzie $a=2x$, $b=1$. - $a^3 = (2x)^3 = 8x^3$ - $3a^2b = 3 \cdot (2x)^2 \cdot 1 = 3 \cdot 4x^2 = 12x^2$ - $3ab^2 = 3 \cdot 2x \cdot 1^2 = 6x$ - $b^3 = 1^3 = 1$ $$ (2x-1)^3 = 8x^3 - 12x^2 + 6x - 1 $$ | $8x^3-12x^2+6x-1$ |
| 26 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(x-3)(x^2+3x+9)$ | Wzór na różnicę sześcianów: $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3 - b^3$. Dla $a=x$, $b=3$: - $a^2 + ab + b^2 = x^2 + 3x + 3^2 = x^2 + 3x + 9$ ✓ Zwijamy: $$ (x-3)(x^2+3x+9) = x^3 - 3^3 = x^3 - 27 $$ | $x^3-27$ |
| 27 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(x+2)(x^2-2x+4)$ | Wzór na sumę sześcianów: $(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3 + b^3$. Dla $a=x$, $b=2$: - $a^2 - ab + b^2 = x^2 - 2x + 2^2 = x^2 - 2x + 4$ ✓ Zwijamy: $$ (x+2)(x^2-2x+4) = x^3 + 2^3 = x^3 + 8 $$ | $x^3+8$ |
| 28 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(3x-y)(9x^2+3xy+y^2)$ | Różnica sześcianów: $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3 - b^3$, gdzie $a=3x$, $b=y$. Zwijamy: $$ (3x-y)(9x^2+3xy+y^2) = (3x)^3 - y^3 = 27x^3 - y^3 $$ | $27x^3-y^3$ |
| 29 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(a+4b)(a^2-4ab+16b^2)$ | Suma sześcianów: $(x+y)(x^2-xy+y^2) = x^3 + y^3$, gdzie $x=a$, $y=4b$. Zwijamy: $$ (a+4b)(a^2-4ab+16b^2) = a^3 + (4b)^3 = a^3 + 64b^3 $$ | $a^3+64b^3$ |
| 30 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(y^3-2)(y^6+2y^3+4)$ | Różnica sześcianów: $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3 - b^3$, gdzie $a=y^3$, $b=2$. Zwijamy: $$ (y^3-2)(y^6+2y^3+4) = (y^3)^3 - 2^3 = y^{3 \cdot 3} - 8 = y^9 - 8 $$ | $y^9-8$ |
| Nr | Treść Zadania | Rozwiązanie | Odpowiedź |
|---|---|---|---|
| 1 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(x+2)^2$ | Wskazówki: • Zastosuj wzór na kwadrat sumy: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. • Przyjmij $a = x$, $b = 2$. Rozwiązanie krok po kroku: 1. Zastosowanie wzoru: Podstawiamy odpowiednie wartości: $$\begin{aligned} (x+2)^2 &= x^2 + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 \\[6pt] &= x^2 + 4x + 4 \end{aligned}$$ 2. Podsumowanie: Wyrażenie doprowadzone do postaci uporządkowanej: $$x^2 + 4x + 4$$ | $x^2 + 4x + 4$ |
| 2 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(x-5)^2$ | Wskazówki: • Zastosuj tożsamość $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. • Podwojony iloczyn to $-2 \cdot x \cdot 5 = -10x$. Rozwiązanie krok po kroku: 1. Rozwinięcie potęgi: Podstawiamy $a = x$ oraz $b = 5$: $$\begin{aligned} (x-5)^2 &= x^2 - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 \\[6pt] &= x^2 - 10x + 25 \end{aligned}$$ 2. Podsumowanie: Ostateczny wynik wynosi: $$x^2 - 10x + 25$$ | $x^2 - 10x + 25$ |
| 3 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(x+8)^2$ | Wskazówki: • Zastosuj wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy. • Składnik wolny to $8^2 = 64$. Rozwiązanie krok po kroku: 1. Podstawienie do wzoru: Dla $a = x$ oraz $b = 8$: $$\begin{aligned} (x+8)^2 &= x^2 + 2 \cdot x \cdot 8 + 8^2 \\[6pt] &= x^2 + 16x + 64 \end{aligned}$$ 2. Podsumowanie: Trójmian kwadratowy po rozwinięciu: $$x^2 + 16x + 64$$ | $x^2 + 16x + 64$ |
| 4 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(x-6)^2$ | Wskazówki: • Wzór: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. • Środkowy składnik ze znakiem minus wynosi $-12x$. Rozwiązanie krok po kroku: 1. Rozwinięcie wyrażenia: Podstawiamy $a = x$, $b = 6$: $$\begin{aligned} (x-6)^2 &= x^2 - 2 \cdot x \cdot 6 + 6^2 \\[6pt] &= x^2 - 12x + 36 \end{aligned}$$ 2. Podsumowanie: Uporządkowana postać wielomianu: $$x^2 - 12x + 36$$ | $x^2 - 12x + 36$ |
| 5 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(7+x)^2$ | Wskazówki: • Zastosuj wzór $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ dla $a = 7$, $b = x$. Rozwiązanie krok po kroku: 1. Rozpisanie potęgi sumy: Podstawiamy wartości: $$\begin{aligned} (7+x)^2 &= 7^2 + 2 \cdot 7 \cdot x + x^2 \\[6pt] &= 49 + 14x + x^2 \end{aligned}$$ 2. Uporządkowanie zapisu: Ustawiamy składniki według malejących potęg zmiennej: $$x^2 + 14x + 49$$ | $x^2 + 14x + 49$ |
| 6 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(11-x)^2$ | Wskazówki: • Wzór kwadratu różnicy: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. • Oblicz $11^2 = 121$. Rozwiązanie krok po kroku: 1. Rozwinięcie wzoru: Podstawiamy $a = 11$, $b = x$: $$\begin{aligned} (11-x)^2 &= 11^2 - 2 \cdot 11 \cdot x + x^2 \\[6pt] &= 121 - 22x + x^2 \end{aligned}$$ 2. Uporządkowanie wyrazów: Zapisujemy jednomiany w kolejności malejących potęg: $$x^2 - 22x + 121$$ | $x^2 - 22x + 121$ |
| 7 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(x-2)(x+2)$ | Wskazówki: • Stosujemy tożsamość różnicy kwadratów: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$. Rozwiązanie krok po kroku: 1. Zastosowanie tożsamości algebraicznej: Dla $a = x$, $b = 2$: $$\begin{aligned} (x-2)(x+2) &= x^2 - 2^2 \\[6pt] &= x^2 - 4 \end{aligned}$$ 2. Podsumowanie: Otrzymujemy uproszczoną postać: $$x^2 - 4$$ | $x^2 - 4$ |
| 8 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(12-x)(12+x)$ | Wskazówki: • Iloczyn różnicy i sumy tych samych wyrazów daje różnicę kwadratów. • Oblicz $12^2 = 144$. Rozwiązanie krok po kroku: 1. Zastosowanie wzoru na różnicę kwadratów: Podstawiamy $a = 12$ oraz $b = x$: $$\begin{aligned} (12-x)(12+x) &= 12^2 - x^2 \\[6pt] &= 144 - x^2 \end{aligned}$$ 2. Podsumowanie: Wynik końcowy to: $$144 - x^2$$ | $144 - x^2$ |
| 9 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(4x+1)^2$ | Wskazówki: • Pamiętaj: podnosimy cały jednomian $(4x)^2 = 16x^2$. Rozwiązanie krok po kroku: 1. Rozwinięcie potęgi sumy: Podstawiamy $a = 4x$ i $b = 1$: $$\begin{aligned} (4x+1)^2 &= (4x)^2 + 2 \cdot (4x) \cdot 1 + 1^2 \\[6pt] &= 16x^2 + 8x + 1 \end{aligned}$$ 2. Podsumowanie: Końcowa postać trójmianu: $$16x^2 + 8x + 1$$ | $16x^2 + 8x + 1$ |
| 10 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(2x-5)^2$ | Wskazówki: • Wzór: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. • Oblicz $(2x)^2 = 4x^2$ oraz $-2 \cdot 2x \cdot 5 = -20x$. Rozwiązanie krok po kroku: 1. Rozpisanie kwadratu różnicy: Podstawiamy $a = 2x$ i $b = 5$: $$\begin{aligned} (2x-5)^2 &= (2x)^2 - 2 \cdot (2x) \cdot 5 + 5^2 \\[6pt] &= 4x^2 - 20x + 25 \end{aligned}$$ 2. Podsumowanie: Rozwinięte wyrażenie algebraiczne: $$4x^2 - 20x + 25$$ | $4x^2 - 20x + 25$ |
| 11 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(x+\sqrt{2})^2$ | Wzór: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, gdzie $a=x$, $b=\sqrt{2}$. $$ (x+\sqrt{2})^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = x^2 + 2\sqrt{2}x + 2 $$ | $x^2+2\sqrt{2}x+2$ |
| 12 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(6-\sqrt{5})^2$ | Wzór: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, gdzie $a=6$, $b=\sqrt{5}$. $$ (6-\sqrt{5})^2 = 6^2 - 2 \cdot 6 \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 36 - 12\sqrt{5} + 5 = 41 - 12\sqrt{5} $$ | $41-12\sqrt{5}$ |
| 13 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(2\sqrt{5}+3)^2$ | Wzór: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, gdzie $a=2\sqrt{5}$, $b=3$. Kwadrat $a$: $(2\sqrt{5})^2 = 4 \cdot 5 = 20$. $$ (2\sqrt{5}+3)^2 = 20 + 2 \cdot (2\sqrt{5}) \cdot 3 + 3^2 = 20 + 12\sqrt{5} + 9 = 29 + 12\sqrt{5} $$ | $29+12\sqrt{5}$ |
| 14 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(x^4+1)^2$ | Wzór: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, gdzie $a=x^4$, $b=1$. Potęgowanie: $(x^4)^2 = x^{4 \cdot 2} = x^8$. $$ (x^4+1)^2 = (x^4)^2 + 2 \cdot x^4 \cdot 1 + 1^2 = x^8 + 2x^4 + 1 $$ | $x^8+2x^4+1$ |
| 15 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(b^3-2)^2$ | Wzór: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, gdzie $a=b^3$, $b=2$. $$ (b^3-2)^2 = (b^3)^2 - 2 \cdot b^3 \cdot 2 + 2^2 = b^6 - 4b^3 + 4 $$ | $b^6-4b^3+4$ |
| 16 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(5x+y)^2$ | Wzór: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, gdzie $a=5x$, $b=y$. $$ (5x+y)^2 = (5x)^2 + 2 \cdot 5x \cdot y + y^2 = 25x^2 + 10xy + y^2 $$ | $25x^2+10xy+y^2$ |
| 17 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(3a-4b)^2$ | Wzór: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$, gdzie $x=3a$, $y=4b$. - $x^2 = (3a)^2 = 9a^2$ - $2xy = 2 \cdot 3a \cdot 4b = 24ab$ - $y^2 = (4b)^2 = 16b^2$ $$ (3a-4b)^2 = 9a^2 - 24ab + 16b^2 $$ | $9a^2-24ab+16b^2$ |
| 18 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(x-\sqrt{11})(x+\sqrt{11})$ | Różnica kwadratów: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$. $$ (x-\sqrt{11})(x+\sqrt{11}) = x^2 - (\sqrt{11})^2 = x^2 - 11 $$ | $x^2-11$ |
| 19 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(9-\sqrt{13})(9+\sqrt{13})$ | Różnica kwadratów: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$. $$ (9-\sqrt{13})(9+\sqrt{13}) = 9^2 - (\sqrt{13})^2 = 81 - 13 = 68 $$ | $68$ |
| 20 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(5x-3)(5x+3)$ | Różnica kwadratów: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, dla $a=5x$, $b=3$. $$ (5x-3)(5x+3) = (5x)^2 - 3^2 = 25x^2 - 9 $$ | $25x^2-9$ |
| 21 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(6x-1)(6x+1)$ | Różnica kwadratów: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, dla $a=6x$, $b=1$. $$ (6x-1)(6x+1) = (6x)^2 - 1^2 = 36x^2 - 1 $$ | $36x^2-1$ |
| 22 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(x+3)^3$ | Wzór: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$, gdzie $a=x$, $b=3$. $$ (x+3)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 3 + 3 \cdot x \cdot 3^2 + 3^3 $$ $$ = x^3 + 9x^2 + 27x + 27 $$ | $x^3+9x^2+27x+27$ |
| 23 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(x-1)^3$ | Wzór: $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$, gdzie $a=x$, $b=1$. $$ (x-1)^3 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 1 + 3 \cdot x \cdot 1^2 - 1^3 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1 $$ | $x^3-3x^2+3x-1$ |
| 24 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(4x+1)^3$ | Wzór: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$, gdzie $a=4x$, $b=1$. - $a^3 = (4x)^3 = 64x^3$ - $3a^2b = 3 \cdot (4x)^2 \cdot 1 = 3 \cdot 16x^2 = 48x^2$ - $3ab^2 = 3 \cdot 4x \cdot 1^2 = 12x$ - $b^3 = 1^3 = 1$ $$ (4x+1)^3 = 64x^3 + 48x^2 + 12x + 1 $$ | $64x^3+48x^2+12x+1$ |
| 25 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(3x-2)^3$ | Wzór: $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$, gdzie $a=3x$, $b=2$. - $a^3 = (3x)^3 = 27x^3$ - $3a^2b = 3 \cdot (3x)^2 \cdot 2 = 3 \cdot 9x^2 \cdot 2 = 54x^2$ - $3ab^2 = 3 \cdot 3x \cdot 2^2 = 9x \cdot 4 = 36x$ - $b^3 = 2^3 = 8$ $$ (3x-2)^3 = 27x^3 - 54x^2 + 36x - 8 $$ | $27x^3-54x^2+36x-8$ |
| 26 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(x-4)(x^2+4x+16)$ | Różnica sześcianów: $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3 - b^3$. Dla $a=x$, $b=4$: $$ (x-4)(x^2+4x+16) = x^3 - 4^3 = x^3 - 64 $$ | $x^3-64$ |
| 27 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(x+1)(x^2-x+1)$ | Suma sześcianów: $(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3 + b^3$. Dla $a=x$, $b=1$: $$ (x+1)(x^2-x+1) = x^3 + 1^3 = x^3 + 1 $$ | $x^3+1$ |
| 28 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(a-3b)(a^2+3ab+9b^2)$ | Różnica sześcianów: $(x-y)(x^2+xy+y^2) = x^3 - y^3$. Dla $x=a$, $y=3b$: $$ (a-3b)(a^2+3ab+9b^2) = a^3 - (3b)^3 = a^3 - 27b^3 $$ | $a^3-27b^3$ |
| 29 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(2m+n)(4m^2-2mn+n^2)$ | Suma sześcianów: $(x+y)(x^2-xy+y^2) = x^3 + y^3$. Dla $x=2m$, $y=n$: $$ (2m+n)(4m^2-2mn+n^2) = (2m)^3 + n^3 = 8m^3 + n^3 $$ | $8m^3+n^3$ |
| 30 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(z^2-3)(z^4+3z^2+9)$ | Różnica sześcianów: $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3 - b^3$. Dla $a=z^2$, $b=3$: $$ (z^2-3)(z^4+3z^2+9) = (z^2)^3 - 3^3 = z^6 - 27 $$ | $z^6-27$ |
| Nr | Treść Zadania | Rozwiązanie | Odpowiedź |
|---|---|---|---|
| 1 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(x+5)^2$ | Wskazówki: • Zastosuj wzór $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ dla $a = x$, $b = 5$. Rozwiązanie krok po kroku: 1. Rozwinięcie kwadratu sumy: Podstawiamy wyrazy do tożsamości: $$\begin{aligned} (x+5)^2 &= x^2 + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 \\[6pt] &= x^2 + 10x + 25 \end{aligned}$$ 2. Podsumowanie: Otrzymany trójmian kwadratowy: $$x^2 + 10x + 25$$ | $x^2 + 10x + 25$ |
| 2 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(x-3)^2$ | Wskazówki: • Wzór kwadratu różnicy: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. • Podwojony iloczyn ze znakiem minus to $-2 \cdot x \cdot 3 = -6x$. Rozwiązanie krok po kroku: 1. Rozwinięcie wyrażenia: Dla $a = x$, $b = 3$: $$\begin{aligned} (x-3)^2 &= x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 \\[6pt] &= x^2 - 6x + 9 \end{aligned}$$ 2. Podsumowanie: Końcowa postać wielomianu: $$x^2 - 6x + 9$$ | $x^2 - 6x + 9$ |
| 3 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(x+9)^2$ | Wskazówki: • Zastosuj wzór na kwadrat sumy. • Pamiętaj, że $9^2 = 81$. Rozwiązanie krok po kroku: 1. Zastosowanie tożsamości skróconego mnożenia: Podstawiamy $a = x$ i $b = 9$: $$\begin{aligned} (x+9)^2 &= x^2 + 2 \cdot x \cdot 9 + 9^2 \\[6pt] &= x^2 + 18x + 81 \end{aligned}$$ 2. Podsumowanie: Wynik w postaci uporządkowanej: $$x^2 + 18x + 81$$ | $x^2 + 18x + 81$ |
| 4 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(x-7)^2$ | Wskazówki: • Zastosuj wzór $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ dla $a = x$, $b = 7$. Rozwiązanie krok po kroku: 1. Rozpisanie potęgi różnicy: Podstawiamy wartości: $$\begin{aligned} (x-7)^2 &= x^2 - 2 \cdot x \cdot 7 + 7^2 \\[6pt] &= x^2 - 14x + 49 \end{aligned}$$ 2. Podsumowanie: Otrzymujemy uproszczoną postać: $$x^2 - 14x + 49$$ | $x^2 - 14x + 49$ |
| 5 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(9+x)^2$ | Wskazówki: • Wyrażenie jest tożsame z $(x+9)^2$. Rozwiązanie krok po kroku: 1. Rozwinięcie kwadratu sumy: Podstawiamy $a = 9$ oraz $b = x$: $$\begin{aligned} (9+x)^2 &= 9^2 + 2 \cdot 9 \cdot x + x^2 \\[6pt] &= 81 + 18x + x^2 \end{aligned}$$ 2. Uporządkowanie wyrazów: Zapisujemy jednomiany w porządku malejącym potęg: $$x^2 + 18x + 81$$ | $x^2 + 18x + 81$ |
| 6 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(12-x)^2$ | Wskazówki: • Zastosuj wzór $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. • Oblicz $12^2 = 144$. Rozwiązanie krok po kroku: 1. Rozwinięcie potęgi: Dla $a = 12$ i $b = x$: $$\begin{aligned} (12-x)^2 &= 12^2 - 2 \cdot 12 \cdot x + x^2 \\[6pt] &= 144 - 24x + x^2 \end{aligned}$$ 2. Uporządkowanie trójmianu: Zapisujemy w standardowym porządku: $$x^2 - 24x + 144$$ | $x^2 - 24x + 144$ |
| 7 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(x-1)(x+1)$ | Wskazówki: • Wzór na różnicę kwadratów: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$. Rozwiązanie krok po kroku: 1. Zastosowanie wzoru: Podstawiamy $a = x$, $b = 1$: $$\begin{aligned} (x-1)(x+1) &= x^2 - 1^2 \\[6pt] &= x^2 - 1 \end{aligned}$$ 2. Podsumowanie: Końcowy wynik wynosi: $$x^2 - 1$$ | $x^2 - 1$ |
| 8 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(10-x)(10+x)$ | Wskazówki: • Różnica kwadratów: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ dla $a = 10$, $b = x$. Rozwiązanie krok po kroku: 1. Zastosowanie tożsamości: Podstawiamy odpowiednie składniki: $$\begin{aligned} (10-x)(10+x) &= 10^2 - x^2 \\[6pt] &= 100 - x^2 \end{aligned}$$ 2. Podsumowanie: Ostateczny wynik działania: $$100 - x^2$$ | $100 - x^2$ |
| 9 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(5x+2)^2$ | Wskazówki: • Pamiętaj: $(5x)^2 = 25x^2$. • Iloczyn podwojony to $2 \cdot 5x \cdot 2 = 20x$. Rozwiązanie krok po kroku: 1. Rozwinięcie potęgi sumy: Podstawiamy $a = 5x$ i $b = 2$: $$\begin{aligned} (5x+2)^2 &= (5x)^2 + 2 \cdot (5x) \cdot 2 + 2^2 \\[6pt] &= 25x^2 + 20x + 4 \end{aligned}$$ 2. Podsumowanie: Postać uproszczona trójmianu: $$25x^2 + 20x + 4$$ | $25x^2 + 20x + 4$ |
| 10 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(2x-4)^2$ | Wskazówki: • Wzór: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. • Oblicz $(2x)^2 = 4x^2$, $-2 \cdot 2x \cdot 4 = -16x$ oraz $4^2 = 16$. Rozwiązanie krok po kroku: 1. Rozpisanie kwadratu różnicy: Podstawiamy $a = 2x$ i $b = 4$: $$\begin{aligned} (2x-4)^2 &= (2x)^2 - 2 \cdot (2x) \cdot 4 + 4^2 \\[6pt] &= 4x^2 - 16x + 16 \end{aligned}$$ 2. Podsumowanie: Rozwinięte wyrażenie: $$4x^2 - 16x + 16$$ | $4x^2 - 16x + 16$ |
| 11 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(x+\sqrt{7})^2$ | Wzór: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, gdzie $a=x$, $b=\sqrt{7}$. $$ (x+\sqrt{7})^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \sqrt{7} + (\sqrt{7})^2 = x^2 + 2\sqrt{7}x + 7 $$ | $x^2+2\sqrt{7}x+7$ |
| 12 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(7-\sqrt{6})^2$ | Wzór: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, gdzie $a=7$, $b=\sqrt{6}$. $$ (7-\sqrt{6})^2 = 7^2 - 2 \cdot 7 \cdot \sqrt{6} + (\sqrt{6})^2 = 49 - 14\sqrt{6} + 6 = 55 - 14\sqrt{6} $$ | $55-14\sqrt{6}$ |
| 13 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(4\sqrt{2}-1)^2$ | Wzór: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, gdzie $a=4\sqrt{2}$, $b=1$. Kwadrat $a$: $(4\sqrt{2})^2 = 16 \cdot 2 = 32$. $$ (4\sqrt{2}-1)^2 = 32 - 2 \cdot (4\sqrt{2}) \cdot 1 + 1^2 = 32 - 8\sqrt{2} + 1 = 33 - 8\sqrt{2} $$ | $33-8\sqrt{2}$ |
| 14 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(x^5+1)^2$ | Wzór: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, gdzie $a=x^5$, $b=1$. Potęga: $(x^5)^2 = x^{5 \cdot 2} = x^{10}$. $$ (x^5+1)^2 = (x^5)^2 + 2 \cdot x^5 \cdot 1 + 1^2 = x^{10} + 2x^5 + 1 $$ | $x^{10}+2x^5+1$ |
| 15 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(c^2-6)^2$ | Wzór: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, gdzie $a=c^2$, $b=6$. $$ (c^2-6)^2 = (c^2)^2 - 2 \cdot c^2 \cdot 6 + 6^2 = c^4 - 12c^2 + 36 $$ | $c^4-12c^2+36$ |
| 16 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(x+4y)^2$ | Wzór: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, gdzie $a=x$, $b=4y$. $$ (x+4y)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 4y + (4y)^2 = x^2 + 8xy + 16y^2 $$ | $x^2+8xy+16y^2$ |
| 17 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(2m-3n)^2$ | Wzór: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, gdzie $a=2m$, $b=3n$. - $a^2 = (2m)^2 = 4m^2$ - $2ab = 2 \cdot 2m \cdot 3n = 12mn$ - $b^2 = (3n)^2 = 9n^2$ $$ (2m-3n)^2 = 4m^2 - 12mn + 9n^2 $$ | $4m^2-12mn+9n^2$ |
| 18 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(x-\sqrt{14})(x+\sqrt{14})$ | Różnica kwadratów: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$. $$ (x-\sqrt{14})(x+\sqrt{14}) = x^2 - (\sqrt{14})^2 = x^2 - 14 $$ | $x^2-14$ |
| 19 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(10-\sqrt{17})(10+\sqrt{17})$ | Różnica kwadratów: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$. $$ (10-\sqrt{17})(10+\sqrt{17}) = 10^2 - (\sqrt{17})^2 = 100 - 17 = 83 $$ | $83$ |
| 20 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(6x-2)(6x+2)$ | Różnica kwadratów: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, dla $a=6x$, $b=2$. $$ (6x-2)(6x+2) = (6x)^2 - 2^2 = 36x^2 - 4 $$ | $36x^2-4$ |
| 21 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(7x-3)(7x+3)$ | Różnica kwadratów: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, dla $a=7x$, $b=3$. $$ (7x-3)(7x+3) = (7x)^2 - 3^2 = 49x^2 - 9 $$ | $49x^2-9$ |
| 22 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(x+4)^3$ | Wzór: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$, gdzie $a=x$, $b=4$. $$ (x+4)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 4 + 3 \cdot x \cdot 4^2 + 4^3 $$ $$ = x^3 + 12x^2 + 48x + 64 $$ | $x^3+12x^2+48x+64$ |
| 23 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(x-2)^3$ | Wzór: $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$, gdzie $a=x$, $b=2$. $$ (x-2)^3 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^2 - 2^3 $$ $$ = x^3 - 6x^2 + 12x - 8 $$ | $x^3-6x^2+12x-8$ |
| 24 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(2x+3)^3$ | Wzór: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$, gdzie $a=2x$, $b=3$. - $a^3 = (2x)^3 = 8x^3$ - $3a^2b = 3 \cdot (2x)^2 \cdot 3 = 3 \cdot 4x^2 \cdot 3 = 36x^2$ - $3ab^2 = 3 \cdot 2x \cdot 3^2 = 6x \cdot 9 = 54x$ - $b^3 = 3^3 = 27$ $$ (2x+3)^3 = 8x^3 + 36x^2 + 54x + 27 $$ | $8x^3+36x^2+54x+27$ |
| 25 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(4x-2)^3$ | Wzór: $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$, gdzie $a=4x$, $b=2$. - $a^3 = (4x)^3 = 64x^3$ - $3a^2b = 3 \cdot (4x)^2 \cdot 2 = 3 \cdot 16x^2 \cdot 2 = 96x^2$ - $3ab^2 = 3 \cdot 4x \cdot 2^2 = 12x \cdot 4 = 48x$ - $b^3 = 2^3 = 8$ $$ (4x-2)^3 = 64x^3 - 96x^2 + 48x - 8 $$ | $64x^3-96x^2+48x-8$ |
| 26 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(x-1)(x^2+x+1)$ | Różnica sześcianów: $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3 - b^3$. Dla $a=x$, $b=1$: $$ (x-1)(x^2+x+1) = x^3 - 1^3 = x^3 - 1 $$ | $x^3-1$ |
| 27 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(x+5)(x^2-5x+25)$ | Suma sześcianów: $(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3 + b^3$. Dla $a=x$, $b=5$: $$ (x+5)(x^2-5x+25) = x^3 + 5^3 = x^3 + 125 $$ | $x^3+125$ |
| 28 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(m-2n)(m^2+2mn+4n^2)$ | Różnica sześcianów: $(x-y)(x^2+xy+y^2) = x^3 - y^3$. Dla $x=m$, $y=2n$: $$ (m-2n)(m^2+2mn+4n^2) = m^3 - (2n)^3 = m^3 - 8n^3 $$ | $m^3-8n^3$ |
| 29 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(4a+b)(16a^2-4ab+b^2)$ | Suma sześcianów: $(x+y)(x^2-xy+y^2) = x^3 + y^3$. Dla $x=4a$, $y=b$: $$ (4a+b)(16a^2-4ab+b^2) = (4a)^3 + b^3 = 64a^3 + b^3 $$ | $64a^3+b^3$ |
| 30 | Oblicz (rozwiń wyrażenie): $(w^3-1)(w^6+w^3+1)$ | Różnica sześcianów: $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3 - b^3$. Dla $a=w^3$, $b=1$: $$ (w^3-1)(w^6+w^3+1) = (w^3)^3 - 1^3 = w^{3 \cdot 3} - 1 = w^9 - 1 $$ | $w^9-1$ |