Określenie sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa w trójkącie prostokątnym kartkówka LiczBit

8.1 Określenie sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa w trójkącie prostokątnym

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1 (3 pkt)

W trójkącie prostokątnym przyprostokątna przeciwległa kątowi $\alpha$ ma długość $a$, druga przyprostokątna ma długość $b$, a przeciwprostokątna $c$. Wiadomo, że $\sin \alpha = \dfrac{1}{2}$. Oblicz wartość wyrażenia $\dfrac{b^2 + c^2}{2ac}$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

WSKAZÓWKI: 1) Skorzystaj z definicji funkcji sinus w trójkącie prostokątnym. Sinus kąta ostrego $\alpha$ to stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta do długości przeciwprostokątnej:$$\sin \alpha = \frac{a}{c}$$2) Na podstawie podanej wartości $\sin \alpha = \frac{1}{2}$ wyznacz zależność między bokiem $a$ oraz bokiem $c$. 3) Wykorzystaj twierdzenie Pitagorasa, aby powiązać ze sobą wszystkie trzy boki trójkąta:$$a^{2} + b^{2} = c^{2}$$Przekształć ten wzór tak, aby wyznaczyć wartość $b^{2}$ za pomocą zmiennej $a$. 4) Podstaw otrzymane zależności do wyrażenia $\frac{b^{2} + c^{2}}{2ac}$ i wykonaj niezbędne skrócenia, aby otrzymać ostateczny wynik liczbowy. ROZWIĄZANIE: a) Wyznaczenie zależności między przyprostokątną $a$ a przeciwprostokątną $c$. Z treści zadania wiemy, że $\sin \alpha = \frac{1}{2}$. Z definicji funkcji trygonometrycznej dla kąta ostrego w trójkącie prostokątnym wiemy, że sinus to stosunek przyprostokątnej $a$ (leżącej naprzeciw kąta) do przeciwprostokątnej $c$. Zapisujemy to równanie:$$\frac{a}{c} = \frac{1}{2}$$Aby wyznaczyć $c$ w zależności od $a$, mnożymy obie strony równania przez niewiadomą $c$:$$a = \frac{1}{2} \cdot c$$Teraz, aby pozbyć się ułamka $\frac{1}{2}$ po prawej stronie, mnożymy obie strony równania przez liczbę $2$:$$c = 2a$$Oznacza to, że w tym trójkącie przeciwprostokątna jest dokładnie dwa razy dłuższa od przyprostokątnej $a$. b) Wyznaczenie boku $b$ przy użyciu twierdzenia Pitagorasa. Znamy długości lub zależności dla dwóch boków ($a$ oraz $c = 2a$). Aby obliczyć $b^{2}$, korzystamy z twierdzenia Pitagorasa:$$a^{2} + b^{2} = c^{2}$$Chcemy wyznaczyć $b^{2}$, więc musimy przenieść $a^{2}$ na prawą stronę równania. Pamiętamy, że przy przenoszeniu na drugą stronę zmieniamy znak na przeciwny (z plusa na minus):$$b^{2} = c^{2} - a^{2}$$Teraz w miejsce $c$ podstawiamy wcześniej wyliczoną zależność $2a$. Ważne jest, aby całe wyrażenie $2a$ wziąć w nawias przed podniesieniem do kwadratu:$$b^{2} = \left(2a\right)^{2} - a^{2}$$Podnosimy wyrażenie w nawiasie do kwadratu, co oznacza podniesienie do kwadratu zarówno liczby $2$, jak i zmiennej $a$:$$b^{2} = 4a^{2} - a^{2}$$Wykonujemy odejmowanie wyrazów podobnych. Mamy cztery $a^{2}$ i odejmujemy jedno $a^{2}$, co daje nam trzy $a^{2}$:$$b^{2} = 3a^{2}$$c) Obliczanie wartości wyrażenia $\frac{b^{2} + c^{2}}{2ac}$. Mamy już wszystkie potrzebne elementy: $b^{2} = 3a^{2}$ oraz $c = 2a$. Podstawiamy je do wzoru:$$\frac{3a^{2} + \left(2a\right)^{2}}{2 \cdot a \cdot \left(2a\right)}$$Najpierw wykonujemy potęgowanie w liczniku oraz mnożenie w mianowniku:$$\frac{3a^{2} + 4a^{2}}{4a^{2}}$$Teraz dodajemy do siebie wyrazy podobne w liczniku:$$\frac{7a^{2}}{4a^{2}}$$Zauważamy, że zarówno w liczniku, jak i w mianowniku występuje czynnik $a^{2}$. Możemy go skrócić (podzielić licznik i mianownik przez $a^{2}$):$$\frac{7}{4}$$Aby otrzymać postać dziesiętną, wykonujemy dzielenie liczby $7$ przez $4$:$$1,75$$Wartość szukanego wyrażenia wynosi $1,75$.

Zadanie 2 (3 pkt)

W trójkącie prostokątnym naprzeciw kąta ostrego $\alpha$ leży przyprostokątna długości $a$. Oblicz długość pozostałych boków trójkąta. a) $a = 3 \text{ cm}, \text{tg } \alpha = \dfrac{3}{4}$ b) $a = 5 \text{ cm}, \text{ctg } \alpha = 2,4$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

WSKAZÓWKI: 1) W trójkącie prostokątnym stosunki między bokami a kątami ostrymi opisujemy za pomocą funkcji trygonometrycznych. Tangens kąta $\alpha$ (oznaczany jako $tg \alpha$) definiujemy jako stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta do długości przyprostokątnej leżącej przy tym kącie:$$tg \alpha = \frac{a}{b}$$2) Kotangens kąta $\alpha$ (oznaczany jako $ctg \alpha$) to stosunek przyprostokątnej leżącej przy tym kącie do przyprostokątnej leżącej naprzeciw niego:$$ctg \alpha = \frac{b}{a}$$3) Aby wyznaczyć długość przeciwprostokątnej $c$, gdy znasz już długości obu przyprostokątnych $a$ oraz $b$, skorzystaj z twierdzenia Pitagorasa:$$a^{2} + b^{2} = c^{2}$$4) Pamiętaj, że $2,4$ można zapisać w postaci ułamka zwykłego jako $\frac{24}{10}$, co po skróceniu daje $\frac{12}{5}$. Ułatwia to często obliczenia i pozwala uniknąć błędów przy mnożeniu pisemnym. ROZWIĄZANIE: a) Obliczanie długości boków dla $a = 3$ $cm$ i $tg \alpha = \frac{3}{4}$. Z treści zadania wiemy, że przyprostokątna $a = 3$ $cm$ leży naprzeciw kąta $\alpha$. Szukaną przyprostokątną przyległą do kąta $\alpha$ oznaczmy jako $b$. Korzystamy z definicji tangensa:$$tg \alpha = \frac{a}{b}$$Podstawiamy dane z zadania do wzoru:$$\frac{3}{4} = \frac{3}{b}$$Widzimy, że liczniki obu ułamków są równe i wynoszą $3$. Aby ułamki były sobie równe, ich mianowniki również muszą być takie same. Zatem:$$b = 4$$Druga przyprostokątna ma długość $4$ $cm$. Teraz obliczamy długość przeciwprostokątnej $c$, korzystając z twierdzenia Pitagorasa:$$a^{2} + b^{2} = c^{2}$$Podstawiamy wyznaczone wartości $a = 3$ oraz $b = 4$:$$3^{2} + 4^{2} = c^{2}$$Wykonujemy potęgowanie obu liczb:$$9 + 16 = c^{2}$$Dodajemy liczby do siebie:$$25 = c^{2}$$Aby wyznaczyć $c$, wyciągamy pierwiastek kwadratowy z obu stron równania. Ponieważ długość boku musi być liczbą dodatnią, otrzymujemy:$$c = \sqrt{25}$$$$c = 5$$Pozostałe boki trójkąta mają długości $4$ $cm$ oraz $5$ $cm$. b) Obliczanie długości boków dla $a = 5$ $cm$ i $ctg \alpha = 2,4$. Przyjmijmy, że druga przyprostokątna to $b$. Korzystamy z definicji kotangensa kąta ostrego w trójkącie prostokątnym:$$ctg \alpha = \frac{b}{a}$$Podstawiamy dane $a = 5$ oraz $ctg \alpha = 2,4$:$$2,4 = \frac{b}{5}$$Aby wyznaczyć wartość $b$, musimy pomnożyć obie strony równania przez liczbę $5$:$$b = 2,4 \cdot 5$$Wykonujemy mnożenie. Możemy to zrobić pomocniczo: $2 \cdot 5 = 10$ oraz $0,4 \cdot 5 = 2$, więc $10 + 2 = 12$:$$b = 12$$Druga przyprostokątna ma długość $12$ $cm$. Teraz wyznaczamy przeciwprostokątną $c$ za pomocą twierdzenia Pitagorasa:$$a^{2} + b^{2} = c^{2}$$Podstawiamy $a = 5$ i $b = 12$:$$5^{2} + 12^{2} = c^{2}$$Obliczamy kwadraty liczb:$$25 + 144 = c^{2}$$Sumujemy wyniki:$$169 = c^{2}$$Wyciągamy pierwiastek kwadratowy, aby otrzymać długość przeciwprostokątnej:$$c = \sqrt{169}$$$$c = 13$$Pozostałe boki trójkąta mają długości $12$ $cm$ oraz $13$ $cm$.

Zadanie 3 (3 pkt)

W pewnym prostokącie przekątna ma długość $d$ i tworzy z jednym z boków kąt $\alpha$. Oblicz obwód tego prostokąta. a) $d = 10 \text{ cm}, \cos \alpha = 0,8$ b) $d = 4\dfrac{1}{2} \text{ cm}, \sin \alpha = \dfrac{1}{3}$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

WSKAZÓWKI: 1) Przekątna prostokąta dzieli go na dwa przystające trójkąty prostokątne. Bok prostokąta leżący przy kącie $\alpha$ (przyprostokątna przyległa) oraz bok leżący naprzeciwko tego kąta (przyprostokątna przeciwległa) można wyznaczyć, korzystając z definicji funkcji sinus i cosinus w trójkącie prostokątnym:$$\cos(\alpha) = \frac{a}{d}$$$$\sin(\alpha) = \frac{b}{d}$$gdzie $d$ to długość przekątnej, a $a$ i $b$ to długości boków prostokąta. 2) Jeśli znasz tylko jedną z funkcji trygonometrycznych (sinus lub cosinus), drugą możesz obliczyć, korzystając z jedynki trygonometrycznej:$$\sin^{2}(\alpha) + \cos^{2}(\alpha) = 1$$3) Obwód prostokąta to suma wszystkich jego czterech boków. Ponieważ przeciwległe boki są równe, wzór na obwód to:$$Obw = 2 \cdot a + 2 \cdot b$$ROZWIĄZANIE: a) Obliczanie obwodu dla danych $d = 10$ cm oraz $\cos(\alpha) = 0,8$. 1) Wyznaczamy długość boku $a$. Z definicji cosinusa wiemy, że $\cos(\alpha) = \frac{a}{d}$. Przekształcamy wzór, aby obliczyć $a$:$$a = d \cdot \cos(\alpha)$$Podstawiamy dane: $d = 10$ oraz $\cos(\alpha) = 0,8$:$$a = 10 \cdot 0,8$$$$a = 8$$Długość boku $a$ wynosi $8$ cm. 2) Wyznaczamy wartość $\sin(\alpha)$, aby móc obliczyć drugi bok. Korzystamy z jedynki trygonometrycznej:$$\sin^{2}(\alpha) = 1 - \cos^{2}(\alpha)$$Podstawiamy wartość cosinusa:$$\sin^{2}(\alpha) = 1 - 0,8^{2}$$Obliczamy kwadrat liczby $0,8$:$$\sin^{2}(\alpha) = 1 - 0,64$$Odejmujemy:$$\sin^{2}(\alpha) = 0,36$$Wyciągamy pierwiastek kwadratowy. Ponieważ $\alpha$ jest kątem ostrym w prostokącie, sinus musi być dodatni:$$\sin(\alpha) = \sqrt{0,36} = 0,6$$3) Wyznaczamy długość boku $b$. Korzystamy ze wzoru $b = d \cdot \sin(\alpha)$:$$b = 10 \cdot 0,6$$$$b = 6$$Długość boku $b$ wynosi $6$ cm. 4) Obliczamy obwód prostokąta. Podstawiamy $a = 8$ oraz $b = 6$ do wzoru:$$Obw = 2 \cdot 8 + 2 \cdot 6$$Wykonujemy mnożenie:$$Obw = 16 + 12$$Dodajemy wyniki:$$Obw = 28$$Obwód tego prostokąta wynosi $28$ cm. b) Obliczanie obwodu dla danych $d = 4,5$ cm oraz $\sin(\alpha) = \frac{1}{3}$. 1) Wyznaczamy długość boku $b$. Korzystamy z definicji sinusa: $\sin(\alpha) = \frac{b}{d}$, co daje $b = d \cdot \sin(\alpha)$. Podstawiamy dane: $d = 4,5$ (co zapiszemy jako ułamek $\frac{9}{2}$) oraz $\sin(\alpha) = \frac{1}{3}$:$$b = \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{3}$$Skracamy liczbę $9$ w liczniku oraz $3$ w mianowniku przez $3$:$$b = \frac{3}{2} = 1,5$$Długość boku $b$ wynosi $1,5$ cm. 2) Wyznaczamy wartość $\cos(\alpha)$ za pomocą jedynki trygonometrycznej:$$\cos^{2}(\alpha) = 1 - \sin^{2}(\alpha)$$Podstawiamy wartość sinusa:$$\cos^{2}(\alpha) = 1 - \left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$Podnosimy ułamek do kwadratu:$$\cos^{2}(\alpha) = 1 - \frac{1}{9}$$Sprowadzamy do wspólnego mianownika:$$\cos^{2}(\alpha) = \frac{9}{9} - \frac{1}{9}$$$$\cos^{2}(\alpha) = \frac{8}{9}$$Wyciągamy pierwiastek kwadratowy:$$\cos(\alpha) = \sqrt{\frac{8}{9}}$$Wyciągamy pierwiastek z mianownika oraz upraszczamy licznik ($\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$):$$\cos(\alpha) = \frac{2\sqrt{2}}{3}$$3) Wyznaczamy długość boku $a$. Korzystamy ze wzoru $a = d \cdot \cos(\alpha)$. Podstawiamy $d = \frac{9}{2}$:$$a = \frac{9}{2} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3}$$Skracamy dwójki w liczniku i mianowniku oraz dzielimy $9$ przez $3$:$$a = 3\sqrt{2}$$4) Obliczamy obwód prostokąta. Podstawiamy $a = 3\sqrt{2}$ oraz $b = 1,5$:$$Obw = 2 \cdot 3\sqrt{2} + 2 \cdot 1,5$$Mnożymy:$$Obw = 6\sqrt{2} + 3$$Obwód prostokąta wynosi $(6\sqrt{2} + 3)$ cm.

Zadanie 4 (3 pkt)

W równoległoboku wysokości mają długości $6$ cm i $9$ cm, a kąt rozwarty ma miarę $125^{\circ}$. Oblicz obwód tej figury, przyjmując przybliżenie wyniku do pierwszego miejsca po przecinku.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

WSKAZÓWKI: 1) Suma miar kątów sąsiednich (leżących przy tym samym boku) w równoległoboku wynosi $180^{\circ}$. Jeśli kąt rozwarty ma miarę $125^{\circ}$, oblicz miarę kąta ostrego $\alpha$ odejmując daną wartość od $180^{\circ}$. 2) Wysokości równoległoboku wraz z jego bokami tworzą trójkąty prostokątne. Wykorzystaj funkcję trygonometryczną sinus dla kąta ostrego $\alpha$, aby powiązać wysokość $h$ z długością boku $c$, który w tym trójkącie jest przeciwprostokątną:$$\sin(\alpha) = \frac{h}{c}$$3) Przekształć powyższy wzór, aby wyznaczyć długości obu sąsiednich boków $a$ oraz $b$. Pamiętaj, że wysokość opuszczona na jeden bok pozwala wyznaczyć długość drugiego boku (sąsiedniego). Przyjmij przybliżoną wartość $\sin(55^{\circ}) \approx 0,81915$. 4) Obwód równoległoboku obliczysz sumując długości wszystkich boków lub korzystając ze wzoru:$$Obw = 2 \cdot \left( a + b \right)$$ROZWIĄZANIE: a) Obliczenie miary kąta ostrego $\alpha$. W każdym równoległoboku suma miar kątów leżących przy tym samym boku wynosi zawsze $180^{\circ}$. Jeśli kąt rozwarty $\beta$ wynosi $125^{\circ}$, to kąt ostry $\alpha$ wyznaczamy z równania:$$\alpha + 125^{\circ} = 180^{\circ}$$Przenosimy $125^{\circ}$ na prawą stronę ze zmianą znaku:$$\alpha = 180^{\circ} - 125^{\circ}$$$$\alpha = 55^{\circ}$$b) Obliczenie długości boków równoległoboku. Oznaczmy boki równoległoboku jako $a$ i $b$. Wysokość $h_{1} = 6$ $cm$ jest opuszczona na bok $a$, zatem tworzy trójkąt prostokątny z bokiem $b$ jako przeciwprostokątną. Wysokość $h_{2} = 9$ $cm$ jest opuszczona na bok $b$, tworząc trójkąt z bokiem $a$ jako przeciwprostokątną. Korzystamy z definicji sinusa dla kąta $55^{\circ}$:$$\sin(55^{\circ}) = \frac{6}{b}$$$$\sin(55^{\circ}) = \frac{9}{a}$$Wyznaczamy bok $b$ mnożąc obie strony przez $b$ i dzieląc przez sinus:$$b = \frac{6}{\sin(55^{\circ})}$$Podstawiamy przybliżoną wartość $\sin(55^{\circ}) \approx 0,81915$:$$b = \frac{6}{0,81915}$$Wykonujemy dzielenie:$$b \approx 7,3247 \text{ cm}$$Teraz wyznaczamy bok $a$ w podobny sposób:$$a = \frac{9}{\sin(55^{\circ})}$$$$a = \frac{9}{0,81915}$$Wykonujemy dzielenie:$$a \approx 10,9870 \text{ cm}$$c) Obliczenie obwodu figury. Mając długości obu sąsiednich boków, podstawiamy je do wzoru na obwód:$$Obw = 2 \cdot \left( a + b \right)$$$$Obw = 2 \cdot \left( 10,9870 + 7,3247 \right)$$Najpierw sumujemy wartości w nawiasie:$$Obw = 2 \cdot 18,3117$$Mnożymy wynik przez dwa:$$Obw = 36,6234$$Zgodnie z treścią zadania, przybliżamy wynik do pierwszego miejsca po przecinku. Ponieważ na drugim miejscu po przecinku znajduje się cyfra $2$ (mniejsza od $5$), zaokrąglamy w dół:$$Obw \approx 36,6 \text{ cm}$$

Zadanie 5 (3 pkt)

Obserwator znajduje się na latarni morskiej na wysokości $30$ m nad poziomem morza. Zauważył on kuter rybacki pod kątem depresji wynoszącym $15^\circ$. Oblicz odległość kutra od podstawy latarni.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

WSKAZÓWKI: 1) Zadanie to można przedstawić graficznie jako trójkąt prostokątny. Wysokość latarni, która wynosi $30$ metrów, stanowi przyprostokątną pionową tego trójkąta. Odległość kutra od podstawy latarni, której szukamy, jest przyprostokątną poziomą. 2) Zauważ, że kąt depresji o mierze $15^{\circ}$ jest równy kątowi nachylenia linii wzroku do poziomu morza (kątowi elewacji) przy samym kutrze. Wynika to z faktu, że są to kąty naprzemianległe wewnętrzne utworzone przez dwie proste równoległe (poziom wzroku obserwatora i poziom morza) przecięte trzecią prostą. 3) Aby połączyć wysokość z odległością poziomą, skorzystaj z definicji tangensa kąta ostrego w trójkącie prostokątnym. Tangens to stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta do przyprostokątnej przyległej do tego kąta:$$\tan(\alpha) = \frac{przyprostokątna \text{ } naprzeciw}{przyprostokątna \text{ } przyległa}$$4) W zadaniu należy wykorzystać przybliżoną wartość tangensa dla kąta $15^{\circ}$. Z tablic trygonometrycznych odczytujemy, że wynosi ona około $0,2679$. ROZWIĄZANIE: 1) Wprowadzamy oznaczenia dla danych i szukanej wielkości. Przyjmijmy, że $H = 30$ $m$ to wysokość latarni morskiej. Niech $x$ oznacza szukaną odległość kutra od podstawy latarni. Kąt przy kutrze, oznaczony jako $\alpha$, ma miarę $15^{\circ}$. 2) Zapisujemy wzór na tangens kąta $\alpha$. W naszym trójkącie prostokątnym przyprostokątną leżącą naprzeciw kąta $\alpha$ jest wysokość latarni $H$, a przyprostokątną przyległą jest odległość $x$:$$\tan\left(15^{\circ}\right) = \frac{H}{x}$$3) Z tablic trygonometrycznych odczytujemy przybliżoną wartość funkcji tangens dla kąta $15^{\circ}$:$$\tan\left(15^{\circ}\right) \approx 0,2679$$4) Podstawiamy znane wartości do wzoru na tangens:$$0,2679 = \frac{30}{x}$$5) Chcemy wyznaczyć niewiadomą $x$, która znajduje się w mianowniku ułamka. Aby to zrobić, mnożymy obie strony równania przez $x$:$$0,2679 \cdot x = 30$$6) Teraz musimy odizolować niewiadomą $x$. W tym celu dzielimy obie strony równania przez liczbę $0,2679$:$$x = \frac{30}{0,2679}$$7) Wykonujemy dzielenie liczby $30$ przez przybliżoną wartość tangensa. Możemy to zrobić pisemnie lub za pomocą kalkulatora:$$x \approx 111,98208...$$8) Zaokrąglamy wynik do dwóch miejsc po przecinku:$$x \approx 111,98$$Odległość kutra od podstawy latarni wynosi około $111,98$ metrów.

Grupa B

Zadanie 1 (3 pkt)

W trójkącie prostokątnym przyprostokątna przeciwległa kątowi $\alpha$ ma długość $a$, druga przyprostokątna ma długość $b$, a przeciwprostokątna $c$. Wiadomo, że $\sin \alpha = \dfrac{3}{5}$. Oblicz wartość wyrażenia $\dfrac{b^2 + c^2}{5ac}$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 2 (3 pkt)

W trójkącie prostokątnym naprzeciw kąta ostrego $\alpha$ leży przyprostokątna długości $a$. Oblicz długość pozostałych boków trójkąta. a) $a = 6 \text{ cm}, \text{tg } \alpha = 0,75$ b) $a = 8 \text{ cm}, \text{ctg } \alpha = 1,875$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 3 (3 pkt)

W pewnym prostokącie przekątna ma długość $d$ i tworzy z jednym z boków kąt $\alpha$. Oblicz obwód tego prostokąta. a) $d = 15 \text{ cm}, \cos \alpha = \dfrac{4}{5}$ b) $d = 1\dfrac{2}{3} \text{ cm}, \sin \alpha = \dfrac{3}{5}$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 4 (3 pkt)

Oblicz obwód równoległoboku, którego wysokości wynoszą $3$ cm i $5$ cm, a kąt rozwarty ma miarę $135^{\circ}$. Wynik podaj z dokładnością do jednego miejsca po przecinku.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 5 (3 pkt)

Turysta stoi na szczycie wieży widokowej o wysokości $20$ m. Widzi on zaparkowany samochód pod kątem depresji równym $35^\circ$. W jakiej odległości od wieży zaparkowano samochód?

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

8.1 Określenie sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa w trójkącie prostokątnym

Grupa A

Zadanie 1 (3 pkt)

Zadanie 2 (3 pkt)

Zadanie 3 (3 pkt)

Zadanie 4 (3 pkt)

Zadanie 5 (3 pkt)

Grupa B

Zadanie 1 (3 pkt)

Zadanie 2 (3 pkt)

Zadanie 3 (3 pkt)

Zadanie 4 (3 pkt)

Zadanie 5 (3 pkt)

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Witaj na Liczbit 👋