Podobieństwo trójkątów kartkówka LiczBit

7.10 Podobieństwo trójkątów

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1 (3 pkt)

Dany jest trapez $ABCD$ o podstawach $AB$ i $CD$, gdzie $AB \parallel CD$. Przekatne $AC$ i $BD$ przecinaja sie w punkcie $S$. Wykaz, ze trojkat $ABS$ jest podobny do trojkata $CDS$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

WSKAZÓWKI: 1) Przypomnij sobie własności kątów utworzonych przez dwie proste równoległe przecięte trzecią prostą (prostą sieczną). Zwróć szczególną uwagę na kąty naprzemianległe wewnętrzne. 2) Zauważ, że wierzchołek $S$ jest punktem przecięcia dwóch prostych (przekątnych $AC$ i $BD$). Kąty leżące naprzeciwko siebie przy takim przecięciu nazywamy kątami wierzchołkowymi. Jaką mają one własność? 3) Wykorzystaj jedną z cech podobieństwa trójkątów. Najwygodniejszą w tym przypadku będzie cecha kąt-kąt-kąt (KKK). Jeśli wykażesz, że dwa kąty jednego trójkąta są równe dwóm kątom drugiego trójkąta, to trójkąty te są podobne. 4) Pamiętaj, że w trapezach podstawy $AB$ i $CD$ są z definicji równoległe, co jest kluczowe dla znalezienia odpowiednich par kątów. ROZWIĄZANIE: a) Analiza kątów naprzemianległych przy podstawie $AB$ i $CD$. Rozważamy proste równoległe, w których zawierają się podstawy trapezu, czyli $AB \parallel CD$. Przekątna $AC$ przecina te dwie równoległe proste, pełniąc rolę siecznej. Zgodnie z twierdzeniem o kątach naprzemianległych wewnętrznych, kąty utworzone przez sieczną i proste równoległe są równe. W naszym przypadku kąt przy wierzchołku $A$ w trójkącie $ABS$ (czyli $\angle BAS$) oraz kąt przy wierzchołku $C$ w trójkącie $CDS$ (czyli $\angle DCS$) są kątami naprzemianległymi wewnętrznymi. Zapisujemy więc pierwszą równość:$$\angle BAS = \angle DCS$$b) Analiza kątów naprzemianległych przy drugiej przekątnej. Sytuacja powtarza się dla drugiej przekątnej $BD$. Ponownie mamy dwie proste równoległe $AB$ oraz $CD$, które tym razem są przecięte sieczną $BD$. Kąty leżące po przeciwnych stronach siecznej między prostymi równoległymi są równe. Są to kąt przy wierzchołku $B$ w trójkącie $ABS$ (czyli $\angle ABS$) oraz kąt przy wierzchołku $D$ w trójkącie $CDS$ (czyli $\angle CDS$). Stąd otrzymujemy kolejną parę równych kątów:$$\angle ABS = \angle CDS$$c) Analiza kątów przy punkcie przecięcia przekątnych. Przekątne $AC$ i $BD$ przecinają się w punkcie $S$. Proste te tworzą przy punkcie $S$ dwie pary kątów wierzchołkowych. Wiemy z geometrii, że kąty wierzchołkowe mają zawsze taką samą miarę. Interesują nas kąty leżące wewnątrz rozważanych trójkątów. Są to kąt $\angle ASB$ należący do trójkąta $ABS$ oraz kąt $\angle CSD$ należący do trójkąta $CDS$. Zapisujemy ich równość:$$\angle ASB = \angle CSD$$d) Wyciągnięcie wniosku na podstawie cechy podobieństwa. Podsumujmy zebrane informacje o kątach w trójkątach $ABS$ i $CDS$: 1) $\angle BAS = \angle DCS$ 2) $\angle ABS = \angle CDS$ 3) $\angle ASB = \angle CSD$ Zauważamy, że wszystkie trzy kąty trójkąta $ABS$ mają takie same miary jak odpowiadające im kąty trójkąta $CDS$. Na mocy cechy podobieństwa trójkątów kąt-kąt-kąt (KKK) możemy stwierdzić, że trójkąty te są do siebie podobne. Zapisujemy to symbolicznie:$$\triangle ABS \sim \triangle CDS$$Co należało wykazać.

Zadanie 2 (3 pkt)

Dwa trójkąty $ABC$ i $DEF$ są podobne. Kąty $\angle A$ i $\angle D$ są równe, a kąty $\angle B$ i $\angle E$ są równe. Długości boków trójkąta $ABC$ to $AB = 6, BC = 8, AC = 10$. Długość boku $DE = 9$. Oblicz długości pozostałych boków trójkąta $DEF$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

WSKAZÓWKI: 1) Dwa trójkąty są podobne, jeśli ich odpowiednie kąty są równe, a odpowiadające sobie boki są proporcjonalne. Z treści zadania wiemy, że kąt $\angle A$ odpowiada kątowi $\angle D$, a kąt $\angle B$ odpowiada kątowi $\angle E$. Oznacza to, że boki leżące między tymi kątami są sobie odpowiadające: bok $AB$ odpowiada bokowi $DE$. 2) Aby obliczyć brakujące boki, musisz najpierw wyznaczyć skalę podobieństwa $k$. Skala ta mówi nam, ile razy boki drugiego trójkąta są większe lub mniejsze od boków pierwszego trójkąta. Obliczysz ją korzystając ze wzoru:$$k = \frac{DE}{AB}$$3) Gdy znasz już skalę podobieństwa $k$, możesz obliczyć pozostałe boki trójkąta $DEF$, korzystając z zależności: - Bok $EF$ odpowiada bokowi $BC$, zatem $EF = BC \cdot k$. - Bok $DF$ odpowiada bokowi $AC$, zatem $DF = AC \cdot k$. ROZWIĄZANIE: a) Wyznaczenie skali podobieństwa $k$. Z treści zadania wiemy, że trójkąty $ABC$ i $DEF$ są podobne. Kąty $\angle A$ i $\angle B$ w pierwszym trójkącie odpowiadają kątom $\angle D$ i $\angle E$ w drugim trójkącie. Oznacza to, że bok $DE$ o długości $9$ odpowiada bokowi $AB$ o długości $6$. Skalę podobieństwa $k$ obliczamy dzieląc długość boku trójkąta $DEF$ przez długość odpowiadającego mu boku trójkąta $ABC$:$$k = \frac{9}{6}$$Zauważamy, że obie liczby w ułamku są podzielne przez $3$. Wykonujemy skracanie ułamka:$$k = \frac{3}{2}$$Możemy również zapisać tę skalę w postaci ułamka dziesiętnego, wykonując dzielenie liczby $3$ przez $2$:$$k = 1,5$$b) Obliczanie długości boku $EF$. Bok $EF$ w trójkącie $DEF$ odpowiada bokowi $BC$ w trójkącie $ABC$. Z treści zadania wiemy, że długość boku $BC$ wynosi $8$. Aby otrzymać długość boku $EF$, musimy pomnożyć długość boku $BC$ przez wyznaczoną wcześniej skalę podobieństwa $k$:$$EF = BC \cdot k$$Podstawiamy znane wartości: $BC = 8$ oraz $k = 1,5$:$$EF = 8 \cdot 1,5$$Wykonujemy mnożenie. Możemy to zapisać jako $8 \cdot \frac{3}{2}$:$$EF = \frac{8 \cdot 3}{2}$$$$EF = \frac{24}{2}$$$$EF = 12$$Długość boku $EF$ wynosi $12$. c) Obliczanie długości boku $DF$. Bok $DF$ w trójkącie $DEF$ odpowiada bokowi $AC$ w trójkącie $ABC$. Długość boku $AC$ wynosi $10$. Podobnie jak w poprzednim kroku, mnożymy tę długość przez skalę podobieństwa $k$:$$DF = AC \cdot k$$Podstawiamy dane: $AC = 10$ oraz $k = 1,5$:$$DF = 10 \cdot 1,5$$Mnożenie liczby przez $10$ polega na przesunięciu przecinka o jedno miejsce w prawo:$$DF = 15$$Długość boku $DF$ wynosi $15$.

Zadanie 3 (3 pkt)

W trójkącie prostokątnym $ABC$ z kątem prostym przy wierzchołku $C$, wysokość $CD$ opuszczona na przeciwprostokątną $AB$ dzieli ją na odcinki $AD = 9$ i $DB = 4$. Oblicz długość wysokości $CD$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 4 (3 pkt)

Obwód trójkąta $ABC$ jest równy $36$ cm. Trójkąt $A_{1}B_{1}C_{1}$ jest podobny do trójkąta $ABC$ w skali $k = \frac{4}{3}$. Oblicz obwód trójkąta $A_{1}B_{1}C_{1}$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

WSKAZÓWKI: a) Wykorzystaj definicję podobieństwa figur. Jeżeli figura $F_{1}$ jest podobna do figury $F$ w skali $k$, to stosunek odpowiadających sobie odcinków (np. boków, wysokości czy obwodów) jest równy tej skali. b) Zastosuj wzór na stosunek obwodów trójkątów podobnych:$$\frac{L_{A_{1}B_{1}C_{1}}}{L_{ABC}} = k$$gdzie $L_{A_{1}B_{1}C_{1}}$ to obwód trójkąta $A_{1}B_{1}C_{1}$, $L_{ABC}$ to obwód trójkąta $ABC$, a $k$ to skala podobieństwa. c) Pamiętaj, że skala $k = \frac{4}{3}$ jest większa od $1$, co oznacza, że trójkąt $A_{1}B_{1}C_{1}$ jest powiększeniem trójkąta $ABC$. Jego obwód musi być zatem większy niż $36$ cm. ROZWIĄZANIE: a) Wypisanie danych i ustalenie zależności. Z treści zadania wiemy, że obwód trójkąta $ABC$ wynosi:$$L_{ABC} = 36$$Skala podobieństwa trójkąta $A_{1}B_{1}C_{1}$ względem trójkąta $ABC$ wynosi:$$k = \frac{4}{3}$$Przyjmijmy oznaczenie obwodu szukanego trójkąta jako $L_{A_{1}B_{1}C_{1}}$. b) Zastosowanie wzoru na obwód figury podobnej. Obwód trójkąta podobnego jest równy iloczynowi skali podobieństwa i obwodu trójkąta wyjściowego. Zależność tę zapisujemy równaniem:$$L_{A_{1}B_{1}C_{1}} = k \cdot L_{ABC}$$Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:$$L_{A_{1}B_{1}C_{1}} = \frac{4}{3} \cdot 36$$c) Wykonanie obliczeń krok po kroku. Aby obliczyć wartość wyrażenia, najpierw mnożymy liczbę $36$ przez licznik ułamka, czyli przez $4$:$$L_{A_{1}B_{1}C_{1}} = \frac{4 \cdot 36}{3}$$Wykonujemy mnożenie w liczniku:$$4 \cdot 36 = 144$$Podstawiamy wynik do ułamka:$$L_{A_{1}B_{1}C_{1}} = \frac{144}{3}$$Teraz wykonujemy dzielenie liczby $144$ przez $3$:$$144 : 3 = 48$$Alternatywnie możemy najpierw skrócić liczbę $36$ z mianownikiem $3$. Wiemy, że $36$ podzielone przez $3$ daje $12$:$$L_{A_{1}B_{1}C_{1}} = 4 \cdot \left(\frac{36}{3}\right)$$$$L_{A_{1}B_{1}C_{1}} = 4 \cdot 12$$$$L_{A_{1}B_{1}C_{1}} = 48$$d) Sformułowanie odpowiedzi. Obwód trójkąta $A_{1}B_{1}C_{1}$ wynosi $48$ cm.

Zadanie 5 (3 pkt)

Na bokach $AC$ i $BC$ trójkąta $ABC$ wybrano odpowiednio punkty $D$ i $E$ tak, że $AD = \frac{1}{3} AC$ i $BE = \frac{1}{3} BC$. Wykaż, że trójkąt $DEC$ jest podobny do trójkąta $ABC$ i podaj skalę podobieństwa.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

WSKAZÓWKI: 1) Zacznij od wyznaczenia długości odcinków $ CD $ oraz $ CE $. Pamiętaj, że punkt $ D $ leży na boku $ AC $, więc długość całego boku to suma $ AD $ i $ CD $. Podobnie jest w przypadku boku $ BC $. 2) Zauważ, że trójkąt $ ABC $ oraz mniejszy trójkąt $ DEC $ mają jeden wspólny kąt. Znajduje się on przy wierzchołku $ C $. 3) Wykorzystaj cechę podobieństwa trójkątów bok-kąt-bok (BKB). Musisz sprawdzić, czy stosunek boku $ CD $ do $ AC $ jest taki sam, jak stosunek boku $ CE $ do $ BC $, przy zachowaniu tego samego kąta między nimi. 4) Skala podobieństwa $ k $ to wartość stałego stosunku odpowiadających sobie boków w tych trójkątach. ROZWIĄZANIE: a) Wyznaczenie długości odcinka $ CD $. Z treści zadania wiemy, że punkt $ D $ znajduje się na boku $ AC $. Oznacza to, że cały odcinek $ AC $ jest sumą dwóch krótszych fragmentów:$$AC = AD + CD$$W zadaniu podano, że $ AD = \frac{1}{3} AC $. Podstawiamy to wyrażenie do naszego równania:$$AC = \frac{1}{3} AC + CD$$Aby wyznaczyć długość odcinka $ CD $, musimy przenieść wyrażenie $ \frac{1}{3} AC $ na lewą stronę równania. Pamiętamy o zmianie znaku na przeciwny:$$CD = AC - \frac{1}{3} AC$$Traktujemy $ AC $ jako jedną całą jednostkę ($ \frac{3}{3} $). Odejmujemy ułamki:$$CD = \left( 1 - \frac{1}{3} \right) AC$$$$CD = \frac{2}{3} AC$$b) Wyznaczenie długości odcinka $ CE $. Punkt $ E $ leży na boku $ BC $, więc analogicznie jak w poprzednim kroku zapisujemy sumę odcinków:$$BC = BE + CE$$Podstawiamy informację z treści zadania, że $ BE = \frac{1}{3} BC $:$$BC = \frac{1}{3} BC + CE$$Przenosimy $ \frac{1}{3} BC $ na lewą stronę ze zmianą znaku:$$CE = BC - \frac{1}{3} BC$$Wykonujemy odejmowanie:$$CE = \frac{2}{3} BC$$c) Wykazanie podobieństwa trójkątów $ DEC $ i $ ABC $. Rozważamy trójkąty $ DEC $ (mniejszy) z trójkątem $ ABC $ (większy). 1) Oba trójkąty posiadają wspólny kąt przy wierzchołku $ C $. Oznaczmy jego miarę jako $ \gamma $. 2) Sprawdzamy stosunki długości boków tworzących ten kąt w obu trójkątach. Dla pierwszej pary boków ($ CD $ oraz $ AC $) mamy:$$\frac{CD}{AC} = \frac{\frac{2}{3} AC}{AC}$$Skracamy ułamek przez wartość $ AC $:$$\frac{CD}{AC} = \frac{2}{3}$$Dla drugiej pary boków ($ CE $ oraz $ BC $) mamy:$$\frac{CE}{BC} = \frac{\frac{2}{3} BC}{BC}$$Skracamy ułamek przez wartość $ BC $:$$\frac{CE}{BC} = \frac{2}{3}$$Stosunki odpowiednich boków są równe:$$\frac{CD}{AC} = \frac{CE}{BC} = \frac{2}{3}$$Ponieważ oba trójkąty mają wspólny kąt zawarty między bokami, których długości są proporcjonalne, to na mocy cechy podobieństwa bok-kąt-bok (BKB) trójkąt $ DEC $ jest podobny do trójkąta $ ABC $. d) Podanie skali podobieństwa. Skala podobieństwa $ k $ trójkąta $ DEC $ do trójkąta $ ABC $ jest równa wyliczonemu wcześniej stosunkowi odpowiadających sobie boków:$$k = \frac{CD}{AC} = \frac{2}{3}$$Zatem skala podobieństwa wynosi $ \frac{2}{3} $.

Grupa B

Zadanie 1 (3 pkt)

W trapezie $ABCD$ o podstawach $AB$ i $CD$ ($AB \parallel CD$) przekatne przecinaja sie w punkcie $S$. Dlugosc podstawy $|AB| = 15$ cm, a podstawy $|CD| = 5$ cm. Wiedzac, ze odcinek $|AS| = 9$ cm, oblicz dlugosc odcinka $|CS|$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 2 (3 pkt)

Dwa trójkąty $ABC$ i $DEF$ są podobne. Kąty $\angle A$ i $\angle D$ są równe, a kąty $\angle B$ i $\angle E$ są równe. Długości boków trójkąta $ABC$ wynoszą $AB = 4, BC = 5, AC = 6$. Wiadomo, że bok $DE = 8$. Oblicz długości boków $EF$ i $DF$ trójkąta $DEF$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 3 (3 pkt)

W trójkącie prostokątnym $ABC$ z kątem prostym przy wierzchołku $C$ poprowadzono wysokość $CD$ na przeciwprostokątną $AB$. Wysokość ta podzieliła przeciwprostokątną na dwa odcinki o długościach $AD = 2$ i $DB = 8$. Oblicz długość wysokości $CD$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 4 (3 pkt)

Obwód trójkąta $ABC$ jest równy $25$ cm. Trójkąt $A_{1}B_{1}C_{1}$ jest podobny do trójkąta $ABC$ w skali $k = \frac{3}{5}$. Oblicz obwód trójkąta $A_{1}B_{1}C_{1}$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 5 (3 pkt)

Na bokach $AC$ i $BC$ trójkąta $ABC$ wybrano odpowiednio punkty $D$ i $E$ tak, że $AD = \frac{1}{4} AC$ i $BE = \frac{1}{4} BC$. Wykaż, że trójkąt $DEC$ jest podobny do trójkąta $ABC$ i podaj skalę podobieństwa.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

7.10 Podobieństwo trójkątów

Grupa A

Zadanie 1 (3 pkt)

Zadanie 2 (3 pkt)

Zadanie 3 (3 pkt)

Zadanie 4 (3 pkt)

Zadanie 5 (3 pkt)

Grupa B

Zadanie 1 (3 pkt)

Zadanie 2 (3 pkt)

Zadanie 3 (3 pkt)

Zadanie 4 (3 pkt)

Zadanie 5 (3 pkt)

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Witaj na Liczbit 👋