Podział trójkątów. Nierówność trójkąta. Odcinek łączący środki boków w trójkącie kartkówka LiczBit

7.6 Podział trójkątów. Nierówność trójkąta. Odcinek łączący środki boków w trójkącie

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1 (3 pkt)

Oblicz miary kątów trójkąta prostokątnego, w którym jeden z kątów ostrych jest o $42^\circ$ większy od drugiego.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

WSKAZÓWKI: 1) Przypomnij sobie, że suma miar wszystkich kątów wewnętrznych w dowolnym trójkącie zawsze wynosi $180^{\circ}$. 2) Ponieważ mowa o trójkącie prostokątnym, jeden z jego kątów ma miarę dokładnie $90^{\circ}$. Oznacza to, że suma dwóch pozostałych kątów (kątów ostrych) musi wynosić $180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$. 3) Możesz ułożyć proste równanie z jedną niewiadomą. Przyjmij, że miara mniejszego kąta ostrego to $x$. Wtedy miara drugiego kąta ostrego, który jest o $42^{\circ}$ większy, będzie wynosić $x + 42^{\circ}$. 4) Suma tych dwóch wyrażeń musi być równa $90^{\circ}$. Rozwiązując to równanie, dowiesz się, ile wynosi pierwszy z kątów. ROZWIĄZANIE: a) Wprowadzenie oznaczeń i ułożenie równania. W trójkącie prostokątnym mamy trzy kąty. Jeden z nich to kąt prosty, więc jego miara wynosi $90^{\circ}$. Pozostałe dwa to kąty ostre. Oznaczmy miarę mniejszego kąta ostrego jako $x$. Z treści zadania wiemy, że drugi kąt ostry jest o $42^{\circ}$ większy od pierwszego, więc jego miara to $x + 42^{\circ}$. Suma wszystkich kątów w trójkącie wynosi $180^{\circ}$. Zapisujemy równanie:$$x + \left( x + 42^{\circ} \right) + 90^{\circ} = 180^{\circ}$$b) Uproszczenie lewej strony równania. Najpierw opuszczamy nawiasy. Ponieważ przed nawiasem nie ma znaku minus, po prostu go pomijamy:$$x + x + 42^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}$$Teraz dodajemy do siebie niewiadome $x$ (mamy $1x$ oraz $1x$, co daje razem $2x$) oraz znane nam wartości liczbowe po lewej stronie ($42^{\circ} + 90^{\circ} = 132^{\circ}$):$$2x + 132^{\circ} = 180^{\circ}$$c) Przenoszenie wyrazów i obliczanie niewiadomej $x$. Przenosimy liczbę $132^{\circ}$ na prawą stronę równania. Pamiętamy, że przy przenoszeniu na drugą stronę musimy zmienić znak na przeciwny:$$2x = 180^{\circ} - 132^{\circ}$$Wykonujemy odejmowanie po prawej stronie:$$2x = 48^{\circ}$$Aby otrzymać wartość samego $x$, musimy podzielić obie strony równania przez liczbę $2$, która stoi przy niewiadomej:$$x = \frac{48^{\circ}}{2}$$$$x = 24^{\circ}$$Zatem mniejszy kąt ostry ma miarę $24^{\circ}$. d) Obliczenie miary drugiego kąta ostrego. Skoro wyznaczyliśmy już $x$, możemy obliczyć miarę drugiego kąta, korzystając z wcześniej zapisanego wyrażenia $x + 42^{\circ}$. Podstawiamy w miejsce $x$ liczbę $24^{\circ}$:$$24^{\circ} + 42^{\circ} = 66^{\circ}$$Drugi kąt ostry ma miarę $66^{\circ}$. e) Podsumowanie wyników i sprawdzenie. Wszystkie trzy kąty trójkąta to: 1. Kąt prosty: $90^{\circ}$. 2. Pierwszy kąt ostry: $24^{\circ}$. 3. Drugi kąt ostry: $66^{\circ}$. Sprawdzamy sumę:$$90^{\circ} + 24^{\circ} + 66^{\circ} = 180^{\circ}$$Sprawdzamy różnicę między kątami ostrymi:$$66^{\circ} - 24^{\circ} = 42^{\circ}$$Oba warunki zadania są spełnione.

Zadanie 2 (3 pkt)

W równoległoboku $ABCD$ dwusieczna $DE$ kąta rozwartego $ADC$ przecina bok $BC$ w punkcie $E$. Kąty przyległe utworzone przez tę dwusieczną i prostą $BC$ pozostają w stosunku $1 : 2$. Oblicz miary kątów tego równoległoboku.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

WSKAZÓWKI: 1) Przypomnij sobie, że suma kątów przyległych wynosi zawsze $180^{\circ}$. Wykorzystaj podany stosunek $1 : 2$, aby obliczyć miary kątów utworzonych w punkcie $E$. 2) Zauważ, że w równoległoboku przeciwległe boki są równoległe ($AD \parallel BC$). Prosta $DE$ przecina te dwie proste równoległe, co tworzy pary kątów o szczególnych własnościach, takich jak kąty naprzemianległe. 3) Kąty naprzemianległe wewnętrzne utworzone przez prostą przecinającą dwie proste równoległe mają równe miary. Znajdź parę takich kątów w tym zadaniu. 4) Pamiętaj, że dwusieczna kąta dzieli go na dwa kąty o równej mierze. Jeśli znasz miarę połowy kąta $\angle ADC$ (czyli kąta $\angle ADE$), możesz łatwo obliczyć miarę całego kąta rozwartego. 5) W równoległoboku suma kątów sąsiednich (leżących przy tym samym boku) wynosi $180^{\circ}$, a kąty przeciwległe są sobie równe. ROZWIĄZANIE: 1) Obliczanie miar kątów przyległych w punkcie $E$. Kąty przyległe utworzone przez dwusieczną $DE$ i prostą zawierającą bok $BC$ oznaczmy jako $\gamma$ oraz $2\gamma$, zgodnie z podanym stosunkiem $1 : 2$. Suma miar kątów przyległych wynosi zawsze $180^{\circ}$. Tworzymy równanie:$$\gamma + 2\gamma = 180^{\circ}$$Dodajemy niewiadome po lewej stronie:$$3\gamma = 180^{\circ}$$Dzielimy obie strony równania przez liczbę $3$, aby wyznaczyć wartość $\gamma$:$$\gamma = \frac{180^{\circ}}{3}$$$$\gamma = 60^{\circ}$$Drugi kąt ma miarę:$$2 \cdot 60^{\circ} = 120^{\circ}$$W punkcie $E$ powstały kąty o miarach $60^{\circ}$ oraz $120^{\circ}$. Jeden z nich to kąt $\angle CED$. 2) Wykorzystanie własności prostych równoległych. Boki $AD$ i $BC$ równoległoboku $ABCD$ są do siebie równoległe ($AD \parallel BC$). Prosta $DE$ jest prostą przecinającą te dwa boki. Kąty $\angle ADE$ oraz $\angle CED$ są kątami naprzemianległymi wewnętrznymi. Z własności kątów naprzemianległych przy prostych równoległych wiemy, że mają one równe miary:$$\angle ADE = \angle CED$$3) Wyznaczenie miary kąta $\angle ADC$. Rozważamy dwa przypadki dla kąta $\angle CED$: Przypadek pierwszy: Przyjmijmy, że $\angle CED = 120^{\circ}$. Wtedy $\angle ADE = 120^{\circ}$. Ponieważ $DE$ jest dwusieczną kąta $\angle ADC$, to cały kąt musiałby mieć miarę $2 \cdot 120^{\circ} = 240^{\circ}$. Jest to niemożliwe, ponieważ suma wszystkich kątów w czworokącie wynosi $360^{\circ}$, a żaden kąt wewnętrzny równoległoboku nie może być większy niż $180^{\circ}$. Przypadek drugi: Przyjmijmy, że $\angle CED = 60^{\circ}$. Wtedy miara kąta $\angle ADE$ wynosi:$$\angle ADE = 60^{\circ}$$Ponieważ odcinek $DE$ jest dwusieczną kąta $\angle ADC$, to dzieli on ten kąt na dwie równe części. Zatem:$$\angle ADC = 2 \cdot \angle ADE$$Podstawiamy wyliczoną wartość:$$\angle ADC = 2 \cdot 60^{\circ}$$$$\angle ADC = 120^{\circ}$$Otrzymany wynik jest zgodny z treścią zadania, ponieważ $120^{\circ}$ to kąt rozwarty. 4) Obliczanie miar pozostałych kątów równoległoboku. W równoległoboku kąty przeciwległe są równe, zatem:$$\angle ABC = \angle ADC = 120^{\circ}$$Suma miar kątów leżących przy tym samym boku równoległoboku wynosi $180^{\circ}$. Obliczamy miarę kąta ostrego $\angle BCD$ (oznaczmy go jako $\alpha$):$$\alpha + 120^{\circ} = 180^{\circ}$$Aby wyznaczyć $\alpha$, przenosimy liczbę $120^{\circ}$ na prawą stronę równania, zmieniając jej znak na przeciwny:$$\alpha = 180^{\circ} - 120^{\circ}$$$$\alpha = 60^{\circ}$$Skoro kąt $\angle BCD = 60^{\circ}$, to kąt leżący naprzeciwko niego również ma taką samą miarę:$$\angle DAB = 60^{\circ}$$Kąty równoległoboku mają miary $60^{\circ}, 120^{\circ}, 60^{\circ}, 120^{\circ}$.

Zadanie 3 (3 pkt)

Dany jest trójkąt równoramienny $ABC$ o podstawie $AC$. Ramię $AB$ tego trójkąta przedłużono o odcinek $BD$. Połączono punkty $C$ i $D$. Oblicz długość podstawy $AC$, wiedząc, że obwód trójkąta $CBD$ jest równy $20 \text{ cm}$, a obwód trójkąta $ADC$ wynosi $32 \text{ cm}$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

WSKAZÓWKI: 1) Zidentyfikuj równe boki w trójkącie równoramiennym. Skoro podstawa to $AC$, ramiona $AB$ oraz $BC$ muszą mieć taką samą długość. Wprowadź oznaczenie $x = AB = BC$. 2) Zauważ, że punkt $D$ powstał przez przedłużenie boku $AB$. Oznacza to, że punkty $A$, $B$ oraz $D$ leżą na jednej prostej. Cały odcinek $AD$ jest sumą dwóch części: ramienia $AB$ oraz przedłużenia $BD$. Wprowadź oznaczenie $y = BD$, co pozwoli zapisać $AD$ jako $x + y$. 3) Zapisz wzory na obwody obu trójkątów wymienionych w zadaniu, używając wprowadzonych oznaczeń oraz dodatkowych zmiennych dla boku $CD$ (oznacz go jako $z$) i szukanej podstawy $AC$ (oznacz ją jako $b$). 4) Porównaj oba równania. Zauważysz, że suma trzech boków mniejszego trójkąta zawiera się w sumie boków większego trójkąta. Pozwoli to na łatwe wyznaczenie szukanej długości $b$ poprzez odejmowanie. ROZWIĄZANIE: 1) Analiza własności trójkąta równoramiennego $ABC$. Przyjmijmy oznaczenie długości ramion trójkąta jako $x$. Ponieważ $ABC$ jest trójkątem równoramiennym o podstawie $AC$, zachodzi równość:$$AB = BC = x$$Długość szukanej podstawy $AC$ oznaczmy jako $b$:$$AC = b$$2) Opis odcinków powstałych po przedłużeniu boku. Ramię $AB$ przedłużono o odcinek $BD$. Oznaczmy długość tego przedłużenia jako $y$:$$BD = y$$Długość boku $AD$ w trójkącie $ADC$ jest sumą odcinków $AB$ oraz $BD$. Możemy to zapisać równaniem:$$AD = AB + BD$$Podstawiając nasze oznaczenia $x$ oraz $y$, otrzymujemy:$$AD = x + y$$Długość trzeciego boku trójkątów, czyli odcinka $CD$, oznaczmy jako $z$:$$CD = z$$3) Zapisanie obwodu trójkąta $CBD$. Obwód trójkąta $CBD$ składa się z boków $BC$, $BD$ oraz $CD$. Z treści zadania wiemy, że wynosi on $20$ $cm$. Podstawiamy nasze oznaczenia:$$BC + BD + CD = 20$$$$x + y + z = 20$$4) Zapisanie obwodu trójkąta $ADC$. Obwód trójkąta $ADC$ składa się z boków $AD$, $DC$ oraz $AC$. Z treści zadania wiemy, że wynosi on $32$ $cm$. Podstawiamy nasze oznaczenia, pamiętając, że $AD = x + y$:$$AD + DC + AC = 32$$$$\left(x + y\right) + z + b = 32$$5) Przekształcenie i rozwiązanie układu równań. Zdejmijmy nawiasy w drugim równaniu:$$x + y + z + b = 32$$Zauważmy, że pierwsze trzy składniki tego sumowania, czyli $x + y + z$, stanowią dokładnie obwód trójkąta $CBD$, który wyliczyliśmy wcześniej jako $20$. Podstawiamy zatem liczbę $20$ w miejsce tej sumy:$$20 + b = 32$$Aby obliczyć $b$, musimy przenieść liczbę $20$ na prawą stronę równania, zmieniając jej znak na przeciwny:$$b = 32 - 20$$Wykonujemy odejmowanie:$$b = 12$$6) Sformułowanie odpowiedzi. Wyliczona wartość $b$ odpowiada długości podstawy $AC$. Zatem długość podstawy wynosi $12$ $cm$.

Zadanie 4 (3 pkt)

Dwa boki trójkąta różnobocznego mają długości $5$ i $8$. Trzeci bok leży naprzeciw najmniejszego kąta w tym trójkącie. Wyznacz długość trzeciego boku, wiedząc, że jest ona liczbą naturalną.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

WSKAZÓWKI: 1) Skorzystaj z twierdzenia o zależności między bokami a kątami w trójkącie. Mówi ono, że naprzeciwko najmniejszego kąta leży zawsze najkrótszy bok trójkąta. Oznacza to, że trzeci bok $c$ musi być mniejszy od pozostałych dwóch boków ($5$ oraz $8$). 2) Zastosuj nierówność trójkąta. Aby z trzech odcinków można było zbudować trójkąt, suma długości dwóch dowolnych boków musi być większa od długości trzeciego boku. Zapisz trzy nierówności dla boków $5, 8$ oraz $c$. 3) Pamiętaj, że trójkąt jest różnoboczny. To oznacza, że długość trzeciego boku nie może być równa $5$ ani $8$. 4) Z otrzymanego przedziału liczbowego wybierz tylko te liczby, które są liczbami naturalnymi (dodatnimi liczbami całkowitymi). ROZWIĄZANIE: 1) Wykorzystanie informacji o najmniejszym kącie. Przyjmijmy oznaczenia boków trójkąta jako $a = 5$, $b = 8$ oraz $c$. W treści zadania podano, że bok $c$ leży naprzeciwko najmniejszego kąta. Z własności trójkąta wiemy, że najkrótszy bok leży naprzeciwko kąta o najmniejszej mierze. Zatem bok $c$ musi spełniać dwa warunki:$$c < 5$$oraz$$c < 8$$Skoro $c$ musi być mniejsze od obu tych liczb, to najważniejszym ograniczeniem górnym jest $c < 5$. 2) Zastosowanie nierówności trójkąta. Każdy trójkąt musi spełniać warunek, że suma dwóch krótszych boków jest większa od boku najdłuższego. Rozważmy wszystkie możliwe konfiguracje dla boków $5, 8, c$: - Suma boków $5$ i $8$ musi być większa od $c$:$$5 + 8 > c$$$$13 > c$$Ten warunek jest już zawarty w naszym poprzednim ustaleniu, że $c < 5$. - Suma boków $5$ i $c$ musi być większa od $8$:$$5 + c > 8$$Aby wyznaczyć ograniczenie dla $c$, musimy odjąć liczbę $5$ od obu stron nierówności:$$c > 8 - 5$$$$c > 3$$- Suma boków $8$ i $c$ musi być większa od $5$:$$8 + c > 5$$$$c > 5 - 8$$$$c > -3$$Ten warunek jest zawsze spełniony, ponieważ długość boku musi być liczbą dodatnią. 3) Wyznaczenie przedziału dla boku $c$. Łączymy wszystkie uzyskane warunki: - Z nierówności trójkąta wiemy, że $c > 3$. - Z własności najmniejszego kąta wiemy, że $c < 5$. Zapisujemy to jako podwójną nierówność:$$3 < c < 5$$Oznacza to, że długość boku $c$ musi należeć do przedziału otwartego $\left( 3; 5 \right)$. 4) Uwzględnienie warunku o liczbie naturalnej i trójkącie różnobocznym. W treści zadania zaznaczono, że długość trzeciego boku jest liczbą naturalną. Szukamy więc liczb naturalnych znajdujących się w przedziale $\left( 3; 5 \right)$. Jedyną taką liczbą jest $4$. Sprawdzamy jeszcze, czy dla $c = 4$ trójkąt jest różnoboczny. Boki trójkąta miałyby wtedy długości $4, 5, 8$. Wszystkie te liczby są od siebie różne ($4 \neq 5$, $4 \neq 8$, $5 \neq 8$), więc warunek trójkąta różnobocznego jest spełniony. Długość trzeciego boku wynosi $4$.

Zadanie 5 (3 pkt)

Boki trójkąta $ABC$ mają długości odpowiednio: $8\text{ cm}$, $10\text{ cm}$ oraz $12\text{ cm}$. Wyznacz obwód trójkąta, którego wierzchołkami są środki boków trójkąta $ABC$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

WSKAZÓWKI: 1) Skorzystaj z twierdzenia o odcinku łączącym środki dwóch boków trójkąta. Twierdzenie to mówi, że odcinek łączący środki dwóch boków dowolnego trójkąta jest równoległy do trzeciego boku, a jego długość jest równa dokładnie połowie długości tego boku. 2) Ponieważ wierzchołkami nowego trójkąta są środki wszystkich trzech boków trójkąta $ABC$, każdy z jego boków będzie połową odpowiedniego boku oryginalnego trójkąta. 3) Oblicz długość każdego z trzech nowych boków, dzieląc dane długości ($8$ $cm$, $10$ $cm$, $12$ $cm$) przez $2$. 4) Obwód trójkąta to suma długości wszystkich jego boków. Aby go wyznaczyć, dodaj do siebie trzy obliczone wcześniej długości. ROZWIĄZANIE: a) Wyznaczenie długości boków nowego trójkąta. Przyjmijmy, że boki oryginalnego trójkąta $ABC$ mają długości $a = 8$ $cm$, $b = 10$ $cm$ oraz $c = 12$ $cm$. Nowy trójkąt, którego wierzchołkami są środki boków trójkąta $ABC$, posiada boki będące odcinkami łączącymi te środki. Zgodnie z twierdzeniem o odcinkach łączących środki boków, długość każdego takiego odcinka jest równa połowie boku, do którego jest on równoległy. Obliczamy długość pierwszego boku nowego trójkąta, który oznaczamy jako $a'$. Jest on równoległy do boku $a = 8$ $cm$:$$a' = \frac{1}{2} \cdot 8$$Mnożenie liczby przez ułamek $\frac{1}{2}$ jest równoważne dzieleniu tej liczby przez $2$. Wykonujemy dzielenie $8$ przez $2$:$$a' = 4$$Pierwszy bok nowego trójkąta ma długość $4$ $cm$. Obliczamy długość drugiego boku nowego trójkąta, który oznaczamy jako $b'$. Jest on równoległy do boku $b = 10$ $cm$:$$b' = \frac{1}{2} \cdot 10$$Dzielimy liczbę $10$ przez $2$:$$b' = 5$$Drugi bok nowego trójkąta ma długość $5$ $cm$. Obliczamy długość trzeciego boku nowego trójkąta, który oznaczamy jako $c'$. Jest on równoległy do boku $c = 12$ $cm$:$$c' = \frac{1}{2} \cdot 12$$Dzielimy liczbę $12$ przez $2$:$$c' = 6$$Trzeci bok nowego trójkąta ma długość $6$ $cm$. b) Obliczanie obwodu nowego trójkąta. Obwód trójkąta, który oznaczamy symbolem $Obw$, otrzymamy poprzez zsumowanie długości wszystkich jego trzech boków: $a'$, $b'$ oraz $c'$. Podstawiamy wyliczone wcześniej wartości:$$Obw = 4 + 5 + 6$$Najpierw wykonujemy dodawanie dwóch pierwszych składników:$$Obw = 9 + 6$$Następnie dodajemy ostatnią liczbę:$$Obw = 15$$Obwód trójkąta, którego wierzchołkami są środki boków trójkąta $ABC$, wynosi $15$ $cm$.

Grupa B

Zadanie 1 (3 pkt)

Oblicz miary kątów trójkąta prostokątnego, w którym jeden z kątów ostrych jest o $18^\circ$ większy od drugiego.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 2 (3 pkt)

W równoległoboku $ABCD$ narysowano dwusieczną $DE$ kąta rozwartego $ADC$. Dwusieczna ta przecina prostą zawierającą bok $BC$ w punkcie $E$. Miary kątów przyległych przy wierzchołku $E$ pozostają w stosunku $4 : 5$. Oblicz miary kątów wewnętrznych tego równoległoboku.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 3 (3 pkt)

Oblicz długość boku $AC$ w trójkącie równoramiennym $ABC$ (gdzie $AC$ jest podstawą), jeśli po przedłużeniu ramienia $AB$ o odcinek $BD$ otrzymano trójkąty o następujących obwodach: obwód $\triangle CBD = 22 \text{ cm}$, obwód $\triangle ADC = 35 \text{ cm}$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 4 (3 pkt)

Dwa boki trójkąta różnobocznego mają długości $4$ i $6$. Trzeci bok leży naprzeciw najmniejszego kąta w tym trójkącie. Wyznacz długość trzeciego boku, wiedząc, że jest ona liczbą naturalną.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 5 (3 pkt)

W trójkącie o bokach długości $14\text{ cm}$, $16\text{ cm}$ i $20\text{ cm}$ połączono środki boków, tworząc mniejszy trójkąt. Jaki jest obwód nowo powstałej figury?

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

7.6 Podział trójkątów. Nierówność trójkąta. Odcinek łączący środki boków w trójkącie

Grupa A

Zadanie 1 (3 pkt)

Zadanie 2 (3 pkt)

Zadanie 3 (3 pkt)

Zadanie 4 (3 pkt)

Zadanie 5 (3 pkt)

Grupa B

Zadanie 1 (3 pkt)

Zadanie 2 (3 pkt)

Zadanie 3 (3 pkt)

Zadanie 4 (3 pkt)

Zadanie 5 (3 pkt)

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Witaj na Liczbit 👋