Twierdzenie Talesa kartkówka LiczBit

7.5 Twierdzenie Talesa

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1 (3 pkt)

Dwie proste przecinają się w punkcie $A$. Na jednej z nich leżą punkty $X$ i $B$ tak, że $A, X, B$ są kolinearne. Na drugiej leżą punkty $Y$ i $C$ tak, że $A, Y, C$ są kolinearne. Odcinek $XY$ jest równoległy do odcinka $BC$. Wiedząc, że $AX = 3$, $XB = 6$ i $AY = 2$, oblicz długość odcinka $YC$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

WSKAZÓWKI: 1) Zauważ, że proste przecinają się w punkcie $A$, a odcinki $XY$ oraz $BC$ są do siebie równoległe. Taki układ geometryczny sugeruje możliwość zastosowania twierdzenia Talesa. 2) Twierdzenie Talesa mówi nam o proporcjonalności odcinków wyznaczonych na ramionach kąta (lub przecinających się prostych) przez proste równoległe. W tym przypadku stosunek długości odcinka $AX$ do $XB$ jest taki sam, jak stosunek długości odcinka $AY$ do $YC$. 3) Ułóż odpowiednie równanie, podstawiając dane z treści zadania: $AX = 3$, $XB = 6$ oraz $AY = 2$. Szukany odcinek $YC$ potraktuj jako niewiadomą. ROZWIĄZANIE: a) Analiza własności geometrycznych i wybór metody. W zadaniu mamy do czynienia z dwiema prostymi, które przecinają się w punkcie $A$. Na tych prostych leżą odpowiednio punkty $X, B$ oraz $Y, C$. Kluczową informacją jest równoległość odcinków $XY$ i $BC$, co zapisujemy jako $XY \parallel BC$. Dzięki tej własności możemy skorzystać z twierdzenia Talesa, które pozwala wyznaczyć długości brakujących odcinków za pomocą proporcji. b) Zapisanie proporcji wynikającej z twierdzenia Talesa. Zgodnie z twierdzeniem Talesa, stosunek długości odcinków na jednym ramieniu kąta jest równy stosunkowi odpowiadających im odcinków na drugim ramieniu kąta. Możemy zatem zapisać następujące równanie:$$\frac{AX}{XB} = \frac{AY}{YC}$$c) Podstawienie danych liczbowych. Z treści zadania wypisujemy znane nam wartości: $AX = 3$ $XB = 6$ $AY = 2$ Wstawiamy te liczby do wcześniej przygotowanej proporcji:$$\frac{3}{6} = \frac{2}{YC}$$d) Uproszczenie ułamka po lewej stronie równania. Zauważamy, że ułamek $\frac{3}{6}$ można skrócić, ponieważ zarówno licznik, jak i mianownik dzielą się przez $3$:$$3 : 3 = 1$$$$6 : 3 = 2$$Zatem ułamek $\frac{3}{6}$ jest równy $\frac{1}{2}$. Nasze równanie przyjmuje teraz prostszą postać:$$\frac{1}{2} = \frac{2}{YC}$$e) Wyznaczenie długości odcinka $YC$ metodą mnożenia na krzyż. Aby rozwiązać to równanie i wyznaczyć niewiadomą $YC$, stosujemy zasadę mnożenia licznika pierwszego ułamka przez mianownik drugiego oraz mianownika pierwszego ułamka przez licznik drugiego:$$1 \cdot YC = 2 \cdot 2$$Mnożenie dowolnej wartości przez $1$ nie zmienia tej wartości, więc lewa strona to po prostu $YC$. Wykonujemy mnożenie po prawej stronie:$$YC = 4$$f) Podanie wyniku końcowego. Obliczona długość odcinka $YC$ wynosi $4$.

Zadanie 2 (3 pkt)

W trójkącie $ABC$ odcinek $DE$ jest równoległy do boku $BC$. Punkt $D$ leży na boku $AB$, a punkt $E$ na boku $AC$. Dane są długości: $AD = 4, AB = 10$ oraz $AE = 6$. Oblicz długość odcinka $EC$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

WSKAZÓWKI: 1) Zidentyfikuj ramiona kąta oraz proste równoległe, które je przecinają. W tym zadaniu ramionami są boki kąta przy wierzchołku $A$, a prostymi równoległymi są odcinki $DE$ i $BC$. 2) Przypomnij sobie treść twierdzenia Talesa. Mówi ono, że jeżeli ramiona kąta przetniemy dwiema prostymi równoległymi, to odcinki wyznaczone przez te proste na jednym ramieniu kąta są proporcjonalne do odpowiednich odcinków na drugim ramieniu kąta. 3) Aby obliczyć długość odcinka $EC$ bezpośrednio z twierdzenia Talesa, będziesz potrzebować długości odcinka $DB$. Możesz ją wyznaczyć, odejmując długość odcinka $AD$ od całkowitej długości boku $AB$. ROZWIĄZANIE: a) Obliczanie długości odcinka $DB$. Z treści zadania wiemy, że punkt $D$ leży na boku $AB$. Oznacza to, że cały odcinek $AB$ składa się z sumy dwóch mniejszych odcinków: $AD$ oraz $DB$. Możemy to zapisać równaniem:$$AB = AD + DB$$Podstawiamy znane nam wartości, czyli $AB = 10$ oraz $AD = 4$:$$10 = 4 + DB$$Aby wyznaczyć $DB$, musimy przenieść liczbę $4$ na lewą stronę równania. Pamiętamy o zmianie znaku na przeciwny:$$10 - 4 = DB$$Wykonujemy odejmowanie:$$6 = DB$$Długość odcinka $DB$ wynosi $6$. b) Zastosowanie twierdzenia Talesa do ułożenia proporcji. Zgodnie z twierdzeniem Talesa, stosunek długości odcinka $AD$ do $DB$ (na jednym ramieniu kąta) jest taki sam, jak stosunek długości odcinka $AE$ do $EC$ (na drugim ramieniu kąta). Zapisujemy to w postaci ułamków:$$\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$$Teraz podstawiamy wszystkie znane nam liczby do tego równania. Mamy $AD = 4$, $DB = 6$ oraz $AE = 6$:$$\frac{4}{6} = \frac{6}{EC}$$c) Obliczanie długości odcinka $EC$. Aby wyznaczyć niewiadomą $EC$ z proporcji, stosujemy metodę mnożenia na krzyż. Mnożymy licznik pierwszego ułamka przez mianownik drugiego ułamka oraz mianownik pierwszego ułamka przez licznik drugiego ułamka:$$4 \cdot EC = 6 \cdot 6$$Najpierw obliczamy wynik mnożenia po prawej stronie równania:$$4 \cdot EC = 36$$Teraz musimy wyizolować niewiadomą $EC$. W tym celu dzielimy obie strony równania przez liczbę $4$:$$EC = \frac{36}{4}$$Wykonujemy dzielenie liczby $36$ przez $4$:$$EC = 9$$Odpowiedź: Długość odcinka $EC$ wynosi $9$.

Zadanie 3 (3 pkt)

Dwie proste przecinają się w punkcie $O$. Na jednej z nich leżą punkty $A$ i $B$, a na drugiej $C$ i $D$. Odcinki $AC$ i $BD$ są równoległe. Wiedząc, że $OA = x + 1$, $OB = 2x + 2$ i $OC = 3$, oblicz długość odcinka $OD$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

WSKAZÓWKI: 1) Zauważ, że proste przecinające się w punkcie $O$ oraz dwie proste równoległe $AB$ i $CD$ tworzą układ, w którym można zastosować Twierdzenie Talesa. 2) Zgodnie z twierdzeniem Talesa, stosunek długości odcinków wyciętych na jednej prostej przez proste równoległe jest równy stosunkowi odpowiednich odcinków na drugiej prostej. Zapisz odpowiednią proporcję wykorzystując dane: $OA$, $OB$, $OC$ oraz szukane $OD$. 3) Po ułożeniu proporcji:$$\frac{OA}{OB} = \frac{OC}{OD}$$podstaw wyrażenia z niewiadomą $x$ oraz dane liczbowe, a następnie rozwiąż równanie, mnożąc "na krzyż". ROZWIĄZANIE: a) Analiza danych i ułożenie odpowiedniej proporcji. Z treści zadania wiemy, że odcinki $AB$ i $CD$ są równoległe, a proste, na których leżą, przecinają się w punkcie $O$. Sytuacja ta pozwala nam skorzystać z twierdzenia Talesa. Zapisujemy zależność między odcinkami leżącymi na ramionach kąta o wierzchołku $O$:$$\frac{OA}{OB} = \frac{OC}{OD}$$Wypiszmy wszystkie znane wartości: $OA = x + 1$ $OB = 2x + 2$ $OC = 3$ Długość odcinka $OD$ jest naszą szukaną. b) Podstawienie danych do wzoru i uproszczenie wyrażeń. Podstawiamy dane do naszej proporcji:$$\frac{x + 1}{2x + 2} = \frac{3}{OD}$$Zanim zaczniemy mnożyć na krzyż, przyjrzyjmy się mianownikowi ułamka po lewej stronie. Zauważamy, że w wyrażeniu $2x + 2$ możemy wyłączyć wspólny czynnik przed nawias. Wspólnym czynnikiem dla $2x$ oraz $2$ jest liczba $2$:$$\frac{x + 1}{2 \cdot \left(x + 1\right)} = \frac{3}{OD}$$Teraz możemy uprościć ułamek po lewej stronie równania. Widzimy, że wyrażenie $\left(x + 1\right)$ występuje zarówno w liczniku, jak i w mianowniku. Dzielimy licznik i mianownik przez $\left(x + 1\right)$:$$\frac{1}{2} = \frac{3}{OD}$$c) Obliczenie długości odcinka $OD$. Mamy teraz proste równanie proporcjonalne. Aby wyznaczyć $OD$, mnożymy wyrazy na krzyż. Oznacza to, że mnożymy licznik pierwszego ułamka przez mianownik drugiego oraz mianownik pierwszego ułamka przez licznik drugiego:$$1 \cdot OD = 2 \cdot 3$$Wykonujemy mnożenie po prawej stronie równania:$$OD = 6$$Długość odcinka $OD$ wynosi $6$.

Zadanie 4 (3 pkt)

W trójkącie $ABC$ odcinek $DE$ jest równoległy do boku $BC$, gdzie punkt $D$ leży na boku $AB$, a punkt $E$ na boku $AC$. Wiedząc, że $AD = x + 2$, $DB = 2x - 1$, $AE = 4$ i $EC = 6$, oblicz wartość $x$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

WSKAZÓWKI: 1) Ponieważ odcinek $DE$ jest równoległy do boku $BC$, należy skorzystać z twierdzenia Talesa. Mówi ono, że prosta równoległa do jednego z boków trójkąta, która przecina dwa pozostałe boki, wyznacza na nich odcinki proporcjonalne. 2) Zapisz odpowiednią proporcję wynikającą z powyższego twierdzenia, wykorzystując nazwy punktów podane w zadaniu:$$\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$$3) Podstaw do tego równania wyrażenia z niewiadomą $x$ oraz dane liczby. Następnie rozwiąż równanie, stosując metodę mnożenia na krzyż. Pamiętaj, że długości odcinków $AD = x + 2$ oraz $DB = 2x - 1$ muszą być liczbami dodatnimi, co pozwoli Ci zweryfikować poprawność otrzymanego wyniku $x$. ROZWIĄZANIE: a) Zastosowanie twierdzenia Talesa do stworzenia równania. W trójkącie $ABC$ odcinek $DE$ jest równoległy do boku $BC$. Zgodnie z twierdzeniem Talesa, stosunek długości odcinków, na które punkt $D$ dzieli bok $AB$, jest taki sam, jak stosunek długości odcinków, na które punkt $E$ dzieli bok $AC$. Zapisujemy to za pomocą następującej proporcji:$$\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$$b) Podstawienie danych z treści zadania. Z treści zadania wiemy, że $AD = x + 2$, $DB = 2x - 1$, $AE = 4$ oraz $EC = 6$. Wstawiamy te dane w miejsce odpowiednich symboli w naszej proporcji:$$\frac{x + 2}{2x - 1} = \frac{4}{6}$$c) Uproszczenie ułamka po prawej stronie równania. Zauważamy, że ułamek $\frac{4}{6}$ można skrócić, dzieląc licznik i mianownik przez ich wspólny dzielnik, czyli przez liczbę $2$. Otrzymujemy wtedy:$$\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$Podstawiamy uproszczony ułamek do naszego równania:$$\frac{x + 2}{2x - 1} = \frac{2}{3}$$d) Rozwiązanie równania metodą mnożenia na krzyż. W proporcji iloczyn wyrazów skrajnych jest równy iloczynowi wyrazów środkowych. Mnożymy licznik lewego ułamka przez mianownik prawego oraz mianownik lewego ułamka przez licznik prawego:$$3 \cdot \left(x + 2\right) = 2 \cdot \left(2x - 1\right)$$e) Wykonanie mnożenia przez nawiasy. Aby pozbyć się nawiasów, mnożymy każdą wartość wewnątrz nawiasu przez liczbę stojącą przed nim. Po lewej stronie mnożymy $3$ przez $x$ oraz $3$ przez $2$. Po prawej stronie mnożymy $2$ przez $2x$ oraz $2$ przez $-1$:$$3 \cdot x + 3 \cdot 2 = 2 \cdot 2x - 2 \cdot 1$$Po obliczeniu tych iloczynów otrzymujemy równanie:$$3x + 6 = 4x - 2$$f) Grupowanie wyrażeń z niewiadomą $x$ oraz liczb. Przenosimy wyrażenie $3x$ z lewej strony równania na prawą stronę. Pamiętamy, że przy przenoszeniu na drugą stronę musimy zmienić znak na przeciwny, więc $3x$ staje się $-3x$:$$6 = 4x - 2 - 3x$$Teraz przenosimy liczbę $-2$ z prawej strony na lewą stronę, również zmieniając znak na przeciwny, czyli na $+2$:$$6 + 2 = 4x - 3x$$g) Finalne obliczenie wartości $x$. Wykonujemy dodawanie po lewej stronie oraz odejmowanie po prawej stronie:$$8 = x$$Możemy to zapisać jako:$$x = 8$$h) Sprawdzenie założeń dotyczących długości boków. Długości boków muszą być dodatnie. Sprawdzamy nasze wyrażenia dla $x = 8$: Dla odcinka $AD$: $8 + 2 = 10$, co jest większe od $0$. Dla odcinka $DB$: $2 \cdot 8 - 1 = 16 - 1 = 15$, co również jest większe od $0$. Obliczona wartość $x = 8$ jest poprawna. Wartość $x$ wynosi $8$.

Zadanie 5 (3 pkt)

W trojkacie $ABC$, punkt $D$ lezy na boku $AB$, a punkt $E$ na boku $AC$. Odcinek $DE$ jest rownolegly do boku $BC$. Wiedzac, ze $AD = x + 1$, $DB = 2x + 1$, $AE = 2$, $EC = 3$. Wyznacz dlugosci odcinkow $AD$ i $DB$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

WSKAZÓWKI: 1) Skorzystaj z twierdzenia Talesa lub podobieństwa trójkątów. Ponieważ odcinek $DE$ jest równoległy do boku $BC$, to trójkąt $ADE$ jest podobny do trójkąta $ABC$. Z tego wynika, że stosunki odpowiednich odcinków na ramionach kąta są równe. 2) Zapisz proporcję wynikającą z powyższego twierdzenia:$$\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$$Wstaw w miejsce symboli odpowiednie wyrażenia z niewiadomą $x$ oraz dane liczby. 3) Aby rozwiązać powstałe równanie z ułamkami, zastosuj metodę mnożenia "na krzyż". Pamiętaj o użyciu nawiasów przy mnożeniu wyrażeń algebraicznych. 4) Po wyznaczeniu wartości $x$, podstaw ją do wzorów na długości odcinków $AD = x + 1$ oraz $DB = 2x + 1$, aby otrzymać ostateczne wyniki. ROZWIĄZANIE: a) Wyznaczenie równania na podstawie twierdzenia Talesa. Z treści zadania wiemy, że $DE$ jest równoległe do $BC$. Na mocy twierdzenia Talesa, odcinki wyznaczone przez proste równoległe na ramionach kąta są do siebie proporcjonalne. Możemy zatem zapisać następującą zależność:$$\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$$Podstawiamy dane z zadania, czyli $AD = x + 1$, $DB = 2x + 1$, $AE = 2$ oraz $EC = 3$ do powyższego wzoru:$$\frac{x + 1}{2x + 1} = \frac{2}{3}$$b) Rozwiązanie równania z niewiadomą $x$. Stosujemy metodę mnożenia "na krzyż", co oznacza, że licznik lewego ułamka mnożymy przez mianownik prawego ułamka, a mianownik lewego przez licznik prawego:$$3 \cdot \left(x + 1\right) = 2 \cdot \left(2x + 1\right)$$Teraz wykonujemy mnożenie liczby stojącej przed nawiasem przez każdy element wewnątrz nawiasu. Po lewej stronie mamy $3 \cdot x$ oraz $3 \cdot 1$:$$3x + 3 = 2 \cdot \left(2x + 1\right)$$Po prawej stronie wykonujemy analogiczne mnożenie, czyli $2 \cdot 2x$ oraz $2 \cdot 1$:$$3x + 3 = 4x + 2$$W celu wyznaczenia $x$, musimy przenieść wyrazy z niewiadomą na jedną stronę równania, a liczby na drugą. Przenosimy wyrażenie $3x$ z lewej strony na prawą stronę, zmieniając jego znak na przeciwny (minus):$$3 = 4x - 3x + 2$$Teraz przenosimy liczbę $2$ z prawej strony na lewą stronę, również zmieniając jej znak na przeciwny:$$3 - 2 = 4x - 3x$$Wykonujemy odejmowanie po obu stronach równania. Po lewej stronie $3 - 2 = 1$, a po prawej stronie $4x - 3x = x$:$$1 = x$$Zatem otrzymujemy:$$x = 1$$c) Obliczenie długości odcinków $AD$ i $DB$. Mając wyliczoną wartość $x$, możemy obliczyć konkretne długości odcinków, podstawiając liczbę $1$ w miejsce $x$. Dla odcinka $AD$:$$AD = x + 1$$$$AD = 1 + 1$$$$AD = 2$$Dla odcinka $DB$ wykonujemy analogiczne podstawienie:$$DB = 2x + 1$$$$DB = 2 \cdot 1 + 1$$Najpierw wykonujemy mnożenie:$$DB = 2 + 1$$$$DB = 3$$Długości szukanych odcinków to $AD = 2$ oraz $DB = 3$.

Grupa B

Zadanie 1 (3 pkt)

Dwie proste przecinają się w punkcie $A$. Na pierwszej prostej znajdują się punkty $X$ i $B$, a na drugiej punkty $Y$ i $C$. Odcinki $XY$ i $BC$ są do siebie równoległe. Oblicz długość odcinka $YC$, jeśli wiadomo, że $AX = 5$, $XB = 10$, a długość odcinka $AY$ jest równa $4$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 2 (3 pkt)

W trójkącie $ABC$ poprowadzono odcinek $DE$ równoległy do boku $BC$, gdzie punkt $D$ należy do boku $AB$, a punkt $E$ do boku $AC$. Wiedząc, że $AD = 6, AB = 18$ oraz $AE = 5$, oblicz długość odcinka $EC$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 3 (3 pkt)

Dwie proste przecinają się w punkcie $O$. Na jednej z nich leżą punkty $A$ i $B$, a na drugiej $C$ i $D$. Odcinki $AC$ i $BD$ są równoległe. Wiedząc, że $OA = x + 4$, $OB = 3x + 12$ i $OC = 5$, oblicz długość odcinka $OD$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 4 (3 pkt)

W trójkącie $ABC$ odcinek $DE$ jest równoległy do boku $BC$. Punkt $D$ leży na boku $AB$, a punkt $E$ na boku $AC$. Dane są długości odcinków: $AD = x + 1$, $DB = x + 3$, $AE = 2$ oraz $EC = 4$. Oblicz wartość $x$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 5 (3 pkt)

W trojkacie $ABC$ odcinek $DE$ jest rownolegly do boku $BC$, przy czym punkt $D$ nalezy do boku $AB$, a punkt $E$ do boku $AC$. Dane sa dlugosci: $AD = x + 2$, $DB = 3x + 2$, $AE = 3$ oraz $EC = 6$. Oblicz dlugosci odcinkow $AD$ i $DB$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

7.5 Twierdzenie Talesa

Grupa A

Zadanie 1 (3 pkt)

Zadanie 2 (3 pkt)

Zadanie 3 (3 pkt)

Zadanie 4 (3 pkt)

Zadanie 5 (3 pkt)

Grupa B

Zadanie 1 (3 pkt)

Zadanie 2 (3 pkt)

Zadanie 3 (3 pkt)

Zadanie 4 (3 pkt)

Zadanie 5 (3 pkt)

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Witaj na Liczbit 👋