Punkt, prosta, odcinek, półprosta, kąt, figura wypukła, figura ograniczona kartkówka LiczBit

7.1 Punkt, prosta, odcinek, półprosta, kąt, figura wypukła, figura ograniczona

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1 (3 pkt)

Punkty $C$ i $D$ dzielą odcinek $AB$ na takie trzy odcinki $AC, CD$ i $DB$, dla których $|AC| : |CD| : |DB| = 3 : 4 : 2$. Wiedząc, że $|CD| = 24 \text{ cm}$, oblicz długość odcinka $AB$ i $DB$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

WSKAZÓWKI: 1) Przyjmij stałą proporcjonalności (często oznaczaną jako $k$), która pozwoli zapisać długości poszczególnych fragmentów jako wielokrotności tej stałej. Zgodnie z podanym stosunkiem $3 : 4 : 2$ przyjmij: $|AC| = 3k$ $|CD| = 4k$ $|DB| = 2k$ 2) Wykorzystaj podaną w zadaniu konkretną długość odcinka $|CD| = 24$ $cm$. Ułóż równanie, w którym przyrównasz wyrażenie z $k$ do tej liczby, a następnie oblicz wartość $k$. 3) Pamiętaj, że cały odcinek $|AB|$ składa się z trzech mniejszych części leżących obok siebie. Jego długość to suma długości tych fragmentów:$$|AB| = |AC| + |CD| + |DB|$$4) Po obliczeniu $k$ podstaw tę wartość do wzorów na $|DB|$ oraz $|AC|$, aby uzyskać ich długości w centymetrach. ROZWIĄZANIE: 1) Na początku wprowadzamy stałą proporcjonalności $k$. Skoro stosunek długości odcinków wynosi $3 : 4 : 2$, to możemy opisać długości tych części za pomocą niewiadomej $k$: $|AC| = 3k$ $|CD| = 4k$ $|DB| = 2k$ 2) W treści zadania podano, że odcinek $|CD|$ ma długość $24$ $cm$. Ponieważ wcześniej ustaliliśmy, że $|CD| = 4k$, otrzymujemy następujące równanie:$$4k = 24$$Aby wyznaczyć wartość $k$, musimy podzielić obie strony równania przez liczbę $4$:$$k = \frac{24}{4}$$$$k = 6$$Wartość stałej proporcjonalności $k$ wynosi $6$ $cm$. Oznacza to, że każda "część" ze stosunku odpowiada $6$ centymetrom. 3) Teraz możemy obliczyć długość odcinka $|DB|$. Zgodnie z naszymi początkowymi ustaleniami $|DB| = 2k$. Podstawiamy wyliczoną wartość $k = 6$:$$|DB| = 2 \cdot 6$$$$|DB| = 12$$Długość odcinka $|DB|$ wynosi $12$ $cm$. 4) Aby obliczyć długość całego odcinka $|AB|$, musimy najpierw znać długość pierwszego fragmentu, czyli $|AC|$. Korzystamy ze wzoru $|AC| = 3k$ i podstawiamy $k = 6$:$$|AC| = 3 \cdot 6$$$$|AC| = 18$$Długość odcinka $|AC|$ wynosi $18$ $cm$. 5) Ostatnim krokiem jest obliczenie długości całego odcinka $|AB|$. Jest on sumą trzech mniejszych odcinków, na które został podzielony przez punkty $C$ i $D$:$$|AB| = |AC| + |CD| + |DB|$$Podstawiamy obliczone długości: $|AC| = 18$ $cm$, $|CD| = 24$ $cm$ (dane z treści) oraz $|DB| = 12$ $cm$:$$|AB| = 18 + 24 + 12$$Dodajemy dwie pierwsze liczby:$$|AB| = 42 + 12$$Wykonujemy ostatnie dodawanie:$$|AB| = 54$$Długość całego odcinka $|AB|$ wynosi $54$ $cm$.

Zadanie 2 (3 pkt)

Dwie półproste o wspólnym początku wyznaczają dwa kąty: wklęsły i wypukły. Wyznacz miary tych kątów wiedząc, że różnią się o $140^{\circ}$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

WSKAZÓWKI: 1) Zauważ, że dwie półproste o wspólnym początku zawsze dzielą płaszczyznę na dwa obszary. Suma miar kąta wypukłego i kąta wklęsłego, które są wyznaczone przez te same półproste, zawsze wynosi $360^{\circ}$, ponieważ tworzą one razem kąt pełny. 2) Z treści zadania wiesz, że różnica między miarami tych kątów wynosi $140^{\circ}$. Kąt wklęsły jest z definicji większy od kąta wypukłego, więc to od miary kąta wklęsłego będziemy odejmować miarę kąta wypukłego. 3) Aby obliczyć konkretne wartości, najlepiej stworzyć układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi. Możesz oznaczyć miarę kąta wypukłego jako $\alpha$, a miarę kąta wklęsłego jako $\beta$. ROZWIĄZANIE: a) Definiowanie niewiadomych i ułożenie równań. Przyjmijmy następujące oznaczenia dla naszych kątów: $\alpha$ - miara kąta wypukłego, $\beta$ - miara kąta wklęsłego. Zgodnie z własnością kątów o wspólnych ramionach, ich suma musi być równa kątowi pełnemu:$$\alpha + \beta = 360^{\circ}$$Z treści zadania wiemy również, że różnica między tymi kątami wynosi $140^{\circ}$. Ponieważ kąt wklęsły jest większy, zapisujemy:$$\beta - \alpha = 140^{\circ}$$b) Przekształcenie równania w celu wyznaczenia jednej z niewiadomych. Z drugiego równania możemy wyznaczyć $\beta$, przenosząc $-\alpha$ na prawą stronę równania. Pamiętamy, że przy przenoszeniu na drugą stronę zmieniamy znak na przeciwny:$$\beta = 140^{\circ} + \alpha$$c) Podstawienie i rozwiązanie równania z jedną niewiadomą. Teraz podstawiamy wyznaczone wyrażenie na $\beta$ do pierwszego równania:$$\alpha + (140^{\circ} + \alpha) = 360^{\circ}$$Usuwamy nawiasy i porządkujemy lewą stronę, dodając do siebie $\alpha$ oraz $\alpha$:$$2\alpha + 140^{\circ} = 360^{\circ}$$Teraz musimy przenieść liczbę $140^{\circ}$ na prawą stronę równania, zmieniając jej znak na minus:$$2\alpha = 360^{\circ} - 140^{\circ}$$Wykonujemy odejmowanie po prawej stronie:$$2\alpha = 220^{\circ}$$Aby otrzymać wartość samego kąta $\alpha$, dzielimy obie strony równania przez liczbę $2$:$$\alpha = \frac{220^{\circ}}{2}$$$$\alpha = 110^{\circ}$$d) Obliczenie miary drugiego kąta. Mając już miarę kąta wypukłego $\alpha = 110^{\circ}$, wracamy do wzoru na $\beta$:$$\beta = 140^{\circ} + 110^{\circ}$$Wykonujemy dodawanie:$$\beta = 250^{\circ}$$e) Sprawdzenie poprawności wyniku. Sprawdzamy, czy suma kątów wynosi $360^{\circ}$:$$110^{\circ} + 250^{\circ} = 360^{\circ}$$Sprawdzamy, czy różnica wynosi $140^{\circ}$:$$250^{\circ} - 110^{\circ} = 140^{\circ}$$Oba warunki są spełnione. Kąt wypukły ma miarę $110^{\circ}$, a kąt wklęsły ma miarę $250^{\circ}$.

Zadanie 3 (3 pkt)

Przez wierzchołek kąta: a) rozwartego, b) ostrego $AOB$ poprowadzono dwie proste prostopadłe do ramion tego kąta. Oblicz miarę kąta $AOB$, jeśli wiadomo, że narysowane proste przecinają się pod kątem ostrym o mierze $40^{\circ}$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

WSKAZÓWKI: 1) Zauważ, że proste prostopadłe do ramion kąta, przechodzące przez ten sam wierzchołek $O$, tworzą układ kątów wierzchołkowych i przyległych. 2) Kąt między dwiema prostymi prostopadłymi do ramion danego kąta jest równy mierze tego kąta lub stanowi jego dopełnienie do kąta półpełnego ($180^{\circ}$). Wynika to z faktu, że obrócenie obu ramion kąta o $90^{\circ}$ wokół wierzchołka nie zmienia miary rozwarcia między nimi. 3) Pamiętaj o definicjach rodzajów kątów: kąt ostry to taki, którego miara jest większa od $0^{\circ}$ i mniejsza od $90^{\circ}$, natomiast kąt rozwarty ma miarę większą od $90^{\circ}$ i mniejszą od $180^{\circ}$. 4) Skoro proste przecinają się pod kątem ostrym $40^{\circ}$, to tworzą one dwie pary kątów: jedną o mierze $40^{\circ}$ i drugą o mierze $180^{\circ} - 40^{\circ}$. ROZWIĄZANIE: a) Obliczanie miary kąta $AOB$, gdy jest on rozwarty. Przyjmijmy oznaczenie miary kąta $AOB$ jako $\alpha$. Przez wierzchołek $O$ poprowadzono dwie proste. Pierwsza prosta jest prostopadła do ramienia $OA$, a druga prosta jest prostopadła do ramienia $OB$. Przecięcie dwóch prostych w jednym punkcie zawsze tworzy cztery kąty (dwie pary kątów wierzchołkowych). Jeśli jedna para ma miarę $40^{\circ}$, to miarę drugiej pary obliczamy, odejmując $40^{\circ}$ od miary kąta półpełnego, ponieważ kąty te są przyległe:$$180^{\circ} - 40^{\circ} = 140^{\circ}$$Z geometrii wynika, że kąt między takimi prostymi prostopadłymi jest równy kątowi wyjściowemu lub jego dopełnieniu. W tym przypadku mamy do wyboru dwie miary wynikające z przecięcia prostych: $40^{\circ}$ oraz $140^{\circ}$. Ponieważ w podpunkcie a) założono, że kąt $AOB$ jest rozwarty, jego miara musi być większa niż $90^{\circ}$. Jedyną liczbą spełniającą ten warunek jest $140^{\circ}$. Zatem:$$\alpha = 140^{\circ}$$b) Obliczanie miary kąta $AOB$, gdy jest on ostry. W tej sytuacji korzystamy z tych samych ustaleń co w poprzednim kroku. Proste prostopadłe do ramion kąta przecinają się pod kątem ostrym o mierze $40^{\circ}$. Oznacza to, że kąty utworzone przez te proste przy wierzchołku $O$ mają miary $40^{\circ}$ oraz $140^{\circ}$. W podpunkcie b) treść zadania precyzuje, że kąt $AOB$ jest kątem ostrym. Kąt ostry z definicji musi mieć miarę mniejszą od $90^{\circ}$. Porównujemy dostępne wartości $40^{\circ}$ oraz $140^{\circ}$ z warunkiem dla kąta ostrego. Warunek ten spełnia tylko pierwsza wartość. Zatem miara kąta $AOB$ wynosi:$$\alpha = 40^{\circ}$$

Zadanie 4 (3 pkt)

Dwie przecinające się proste wyznaczają cztery kąty wypukłe, przy czym różnica kątów przyległych wynosi $60^{\circ}$. Wyznacz miary tych kątów.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

WSKAZÓWKI: 1) Pamiętaj, że kąty przyległe to takie, które mają jedno wspólne ramię, a ich pozostałe ramiona dopełniają się do prostej. Najważniejszą własnością kątów przyległych jest to, że suma ich miar wynosi zawsze $180^{\circ}$. 2) Dwie przecinające się proste tworzą dwie pary kątów wierzchołkowych. Kąty wierzchołkowe leżą naprzeciw siebie i mają zawsze taką samą miarę. 3) Oznacz miary dwóch kątów przyległych jako $\alpha$ oraz $\beta$. Z treści zadania wiesz, że ich różnica wynosi $60^{\circ}$. Możesz to zapisać jako równanie $\beta - \alpha = 60^{\circ}$ (zakładając, że $\beta$ jest większym kątem). 4) Stwórz układ równań lub podstaw jedno wyrażenie do drugiego, korzystając z faktu, że $\alpha + \beta = 180^{\circ}$. ROZWIĄZANIE: a) Wyznaczenie zależności między kątami. Przyjmijmy, że dwa kąty przyległe mają miary $\alpha$ oraz $\beta$. Ponieważ są to kąty przyległe, tworzą one razem kąt półpełny, co daje nam pierwsze równanie:$$\alpha + \beta = 180^{\circ}$$Z treści zadania wiemy również, że różnica między tymi kątami wynosi $60^{\circ}$. Przyjmijmy, że $\beta$ jest kątem większym. Zapisujemy drugie równanie:$$\beta - \alpha = 60^{\circ}$$b) Przekształcenie równania w celu wyznaczenia jednej niewiadomej. Z drugiego równania $\beta - \alpha = 60^{\circ}$ chcemy wyznaczyć $\beta$. W tym celu przenosimy $-\alpha$ na prawą stronę równania, pamiętając o zmianie znaku na przeciwny:$$\beta = 60^{\circ} + \alpha$$c) Podstawienie wyrażenia do równania sumy kątów. Teraz podstawiamy wyznaczone wyrażenie na $\beta$ do naszego pierwszego równania $\alpha + \beta = 180^{\circ}$:$$\alpha + \left( 60^{\circ} + \alpha \right) = 180^{\circ}$$Opuszczamy nawiasy, ponieważ przed nawiasem stoi znak plus:$$\alpha + 60^{\circ} + \alpha = 180^{\circ}$$Sumujemy niewiadome $\alpha$ po lewej stronie równania. $\alpha + \alpha$ daje nam $2\alpha$:$$2\alpha + 60^{\circ} = 180^{\circ}$$Teraz musimy przenieść liczbę $60^{\circ}$ na prawą stronę równania, zmieniając jej znak na minus:$$2\alpha = 180^{\circ} - 60^{\circ}$$Wykonujemy odejmowanie po prawej stronie:$$2\alpha = 120^{\circ}$$Aby obliczyć wartość kąta $\alpha$, musimy podzielić obie strony równania przez liczbę $2$, która stoi przy niewiadomej:$$\alpha = \frac{120^{\circ}}{2}$$$$\alpha = 60^{\circ}$$d) Obliczenie miary drugiego kąta przyległego. Skoro znamy już miarę kąta $\alpha = 60^{\circ}$, możemy obliczyć miarę kąta $\beta$, korzystając z wcześniej przygotowanego wzoru $\beta = 60^{\circ} + \alpha$:$$\beta = 60^{\circ} + 60^{\circ}$$Wykonujemy dodawanie:$$\beta = 120^{\circ}$$e) Wyznaczenie miar wszystkich czterech kątów. Dwie przecinające się proste wyznaczają cztery kąty. Z własności kątów wierzchołkowych wiemy, że: - Pierwszy kąt ma miarę $\alpha = 60^{\circ}$. - Kąt leżący naprzeciw niego (kąt wierzchołkowy) ma taką samą miarę, czyli $60^{\circ}$. - Drugi kąt (przyległy do pierwszego) ma miarę $\beta = 120^{\circ}$. - Kąt leżący naprzeciw niego (kąt wierzchołkowy) również ma miarę $120^{\circ}$. Zatem cztery kąty wyznaczone przez te proste mają miary: $60^{\circ}$, $120^{\circ}$, $60^{\circ}$, $120^{\circ}$.

Zadanie 5 (3 pkt)

Na płaszczyźnie zaznaczono sześć punktów, z których żadne trzy nie leżą na jednej prostej. Oblicz, ile różnych półprostych wyznaczają te punkty.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

WSKAZÓWKI: 1) Pamiętaj, że do wyznaczenia półprostej potrzebujesz dwóch elementów: punktu początkowego (początku półprostej) oraz drugiego punktu, który wyznaczy jej kierunek i zwrot. 2) Zastanów się, czy kolejność punktów ma znaczenie. Czy półprosta o początku w punkcie $A$ przechodząca przez punkt $B$ to ta sama półprosta, co półprosta o początku w punkcie $B$ przechodząca przez punkt $A$? 3) Ważna jest informacja, że żadne trzy punkty nie leżą na jednej prostej. Gdyby trzy punkty $A$, $B$ i $C$ leżały na jednej prostej (w tej kolejności), to półprosta o początku $A$ przechodząca przez $B$ byłaby identyczna z półprosta o początku $A$ przechodzącą przez $C$. Tutaj taka sytuacja nie występuje. 4) Skorzystaj z reguły mnożenia: najpierw wybierz punkt, który będzie początkiem półprostej, a następnie wybierz punkt, który wyznaczy jej kierunek. ROZWIĄZANIE: a) Wybór punktu początkowego półprostej. Mamy do dyspozycji zbiór sześciu punktów zaznaczonych na płaszczyźnie. Każdy z tych punktów może stać się początkiem nowej półprostej. Zatem mamy dokładnie $6$ możliwości wyboru punktu początkowego. Oznaczmy liczbę tych punktów jako $n = 6$. b) Wybór punktu wyznaczającego kierunek. Dla każdego wybranego punktu początkowego musimy teraz wybrać drugi punkt, który określi, w którą stronę biegnie nasza półprosta. Skoro jeden punkt został już zajęty jako początek, to do wyboru kierunku pozostaje nam o jeden punkt mniej niż wynosi ich łączna liczba. Wykonujemy odejmowanie:$$6 - 1 = 5$$Oznacza to, że z każdego z $6$ punktów możemy "wyprowadzić" półproste przechodzące przez $5$ pozostałych punktów. c) Zastosowanie zasady mnożenia. Skoro dla każdego z $6$ możliwych początków mamy $5$ możliwych kierunków, to aby obliczyć łączną liczbę półprostych, musimy pomnożyć liczbę dostępnych początków przez liczbę dostępnych kierunków:$$6 \cdot 5 = 30$$d) Wyjaśnienie braku współliniowości trzech punktów. W zadaniu zaznaczono, że żadne trzy punkty nie leżą na jednej prostej. Jest to kluczowa informacja, ponieważ dzięki niej mamy pewność, że każda para punktów wyznacza unikalną półprosta. Gdyby punkty $A$, $B$ oraz $C$ leżały na jednej prostej, to półprosta zaczynająca się w punkcie $A$ i biegnąca w stronę punktu $B$ pokrywałaby się z półprosta biegnącą w stronę punktu $C$. Dzięki założeniu o braku współliniowości, każda z obliczonych $30$ półprostych jest inna. e) Uzasadnienie, dlaczego nie dzielimy wyniku przez dwa. W przypadku odcinków lub prostych, kolejność punktów nie ma znaczenia (odcinek $AB$ to to samo co odcinek $BA$). Jednak w przypadku półprostej, punkt początkowy jest wyróżniony. Półprosta o początku $A$ przechodząca przez $B$ ma inny początek i inny zwrot niż półprosta o początku $B$ przechodząca przez $A$. Dlatego każdą parę punktów liczymy dwukrotnie. Ostateczny wynik:$$6 \cdot 5 = 30$$Zaznaczone punkty wyznaczają łącznie $30$ różnych półprostych.

Grupa B

Zadanie 1 (3 pkt)

Punkty $C$ i $D$ dzielą odcinek $AB$ na takie trzy odcinki $AC, CD$ i $DB$, dla których $|AC| : |CD| : |DB| = 2 : 5 : 4$. Wiedząc, że $|CD| = 20 \text{ cm}$, oblicz długość odcinka $AB$ i $DB$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 2 (3 pkt)

Dwie półproste o wspólnym początku wyznaczają dwa kąty: wklęsły i wypukły. Wyznacz miary tych kątów wiedząc, że różnią się o $200^{\circ}$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 3 (3 pkt)

Dany jest kąt $AOB$. Przez jego wierzchołek poprowadzono dwie proste, z których każda jest prostopadła do innego ramienia tego kąta. Wiedząc, że proste te tworzą kąt ostry o mierze $15^{\circ}$, oblicz $\left| \angle AOB \right|$ w dwóch przypadkach: a) gdy kąt $AOB$ jest rozwarty, b) gdy kąt $AOB$ jest ostry.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 4 (3 pkt)

Dwie przecinające się proste wyznaczają cztery kąty wypukłe, przy czym różnica kątów przyległych wynosi $30^{\circ}$. Wyznacz miary tych kątów.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 5 (3 pkt)

Dana jest grupa ośmiu punktów na płaszczyźnie. Wiadomo, że żadna trójka tych punktów nie jest współliniowa. Ile półprostych można utworzyć, wybierając punkty z tej grupy jako ich początki i punkty przez nie przechodzące?

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

7.1 Punkt, prosta, odcinek, półprosta, kąt, figura wypukła, figura ograniczona

Grupa A

Zadanie 1 (3 pkt)

Zadanie 2 (3 pkt)

Zadanie 3 (3 pkt)

Zadanie 4 (3 pkt)

Zadanie 5 (3 pkt)

Grupa B

Zadanie 1 (3 pkt)

Zadanie 2 (3 pkt)

Zadanie 3 (3 pkt)

Zadanie 4 (3 pkt)

Zadanie 5 (3 pkt)

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Witaj na Liczbit 👋