Funkcja wykładnicza kartkówka LiczBit

6.4 Funkcja wykładnicza

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1 (3 pkt)

Do wykresu funkcji wykładniczej $f(x) = a^x$ należy punkt $P(-2, 9)$. a) Napisz wzór funkcji $f$. b) Naszkicuj wykres funkcji $f$. c) Dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości nie większe niż 1?

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

WSKAZÓWKI: 1) Każdy punkt należący do wykresu funkcji spełnia jej równanie. Skoro punkt $P\left(-2, 9\right)$ należy do wykresu $f(x) = a^{x}$, to po podstawieniu pierwszej współrzędnej za $x$ oraz drugiej współrzędnej za $f(x)$ otrzymasz równanie z jedną niewiadomą $a$. 2) Przy rozwiązywaniu równania z niewiadomą w podstawie potęgi, skorzystaj z definicji potęgi o wykładniku ujemnym:$$a^{-n} = \frac{1}{a^{n}}$$Pamiętaj również, że podstawa funkcji wykładniczej $a$ musi być liczbą dodatnią i różną od $1$. 3) Aby naszkicować wykres, wyznacz kilka punktów charakterystycznych. Oblicz wartości funkcji dla argumentów takich jak $x = -1$, $x = 0$ oraz $x = 1$. Zwróć uwagę, czy funkcja jest rosnąca (gdy $a > 1$), czy malejąca (gdy $0 < a < 1$). 4) W podpunkcie c) musisz rozwiązać nierówność $f(x) \leq 1$. Każdą liczbę podniesioną do potęgi $0$ (oprócz zera) można zapisać jako $1$, czyli $a^{0} = 1$. Przy opuszczaniu podstaw w nierówności wykładniczej pamiętaj o zmianie zwrotu nierówności, jeśli podstawa $a$ jest ułamkiem z przedziału $\left(0, 1\right)$. ROZWIĄZANIE: a) Wyznaczanie wzoru funkcji $f$. Mamy daną funkcję $f(x) = a^{x}$ oraz punkt $P\left(-2, 9\right)$, który do niej należy. Pierwsza współrzędna punktu to $x = -2$, a druga to wartość funkcji dla tego argumentu, czyli $f(-2) = 9$. Podstawiamy te liczby do wzoru:$$9 = a^{-2}$$Korzystamy z definicji potęgi o wykładniku ujemnym po prawej stronie równania:$$9 = \frac{1}{a^{2}}$$Chcemy wyznaczyć $a^{2}$, więc mnożymy obie strony równania przez $a^{2}$:$$9 \cdot a^{2} = 1$$Teraz dzielimy obie strony przez liczbę $9$, aby odizolować niewiadomą:$$a^{2} = \frac{1}{9}$$Aby wyznaczyć $a$, musimy wyciągnąć pierwiastek kwadratowy z obu stron równania. Pamiętamy, że z definicji funkcji wykładniczej podstawa $a$ musi być dodatnia ($a > 0$):$$a = \sqrt{\frac{1}{9}}$$$$a = \frac{1}{3}$$Zatem wzór funkcji $f$ to:$$f(x) = \left(\frac{1}{3}\right)^{x}$$b) Szkicowanie wykresu funkcji $f$. Aby narysować wykres funkcji $f(x) = \left(\frac{1}{3}\right)^{x}$, obliczamy współrzędne kilku punktów: 1) Dla $x = -2$ mamy już podany punkt $P\left(-2, 9\right)$. 2) Dla $x = -1$:$$f(-1) = \left(\frac{1}{3}\right)^{-1} = \left(\frac{3}{1}\right)^{1} = 3$$Punkt to $\left(-1, 3\right)$. 3) Dla $x = 0$:$$f(0) = \left(\frac{1}{3}\right)^{0} = 1$$Każda liczba (różna od $0$) podniesiona do potęgi $0$ daje $1$. Punkt to $\left(0, 1\right)$. 4) Dla $x = 1$:$$f(1) = \left(\frac{1}{3}\right)^{1} = \frac{1}{3}$$Punkt to $\left(1, \frac{1}{3}\right)$. Ponieważ podstawa $a = \frac{1}{3}$ jest mniejsza od $1$, funkcja jest malejąca. Wykres zbliża się do osi $OX$ dla dodatnich argumentów $x$, ale nigdy jej nie dotknie (oś $OX$ jest asymptotą poziomą). c) Wyznaczanie argumentów, dla których wartości są nie większe niż 1. Zapisujemy treść polecenia w formie nierówności:$$f(x) \leq 1$$Podstawiamy wzór funkcji:$$\left(\frac{1}{3}\right)^{x} \leq 1$$Zapisujemy liczbę $1$ jako potęgę o podstawie $\frac{1}{3}$:$$\left(\frac{1}{3}\right)^{x} \leq \left(\frac{1}{3}\right)^{0}$$Teraz możemy porównać wykładniki. Ponieważ podstawa potęgi $a = \frac{1}{3}$ jest mniejsza od $1$, funkcja wykładnicza jest malejąca. Oznacza to, że przy opuszczaniu podstaw musimy zmienić zwrot znaku nierówności na przeciwny:$$x \geq 0$$Zatem funkcja przyjmuje wartości nie większe niż $1$ dla argumentów $x \in \left< 0; +\infty \right)$.

Zadanie 2 (3 pkt)

Zapisz dane liczby w kolejności od najmniejszej do największej. a) $5^3, 5^{-2}, 5^{\sqrt{2}}, 5^{-0,4}$ b) $\left( \frac{1}{2} \right)^1, \left( \frac{1}{2} \right)^{-2}, \left( \frac{1}{2} \right)^{\sqrt{3}}, \left( \frac{1}{2} \right)^{0,5}$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

WSKAZÓWKI: 1) Zauważ, że we wszystkich liczbach w danym podpunkcie podstawa potęgi jest taka sama. Aby je porównać, musisz najpierw określić, czy funkcja wykładnicza o takiej podstawie jest rosnąca, czy malejąca. 2) Sprawdź wartość podstawy $a$. Jeśli $a > 1$, to funkcja jest rosnąca, co oznacza, że im większy wykładnik, tym większa wartość całej liczby. Jeśli natomiast $0 < a < 1$, funkcja jest malejąca, więc im większy wykładnik, tym mniejsza wartość całej liczby. 3) Uporządkuj same wykładniki od najmniejszego do największego. Pomocne będą przybliżenia pierwiastków: $\sqrt{2} \approx 1,41$ oraz $\sqrt{3} \approx 1,73$. 4) Na podstawie monotoniczności funkcji (którą ustaliłeś w punkcie 2) zapisz ostateczną kolejność potęg. ROZWIĄZANIE: a) Porządkowanie liczb $5^{3}$, $5^{-2}$, $5^{\sqrt{2}}$, $5^{-0,4}$. Krok 1: Określenie monotoniczności. Podstawą każdej z potęg jest liczba $5$. Sprawdzamy, czy jest ona większa od jedności:$$5 > 1$$Ponieważ podstawa jest większa od $1$, funkcja wykładnicza $f \left( x \right) = 5^{x}$ jest rosnąca. W przypadku funkcji rosnącej, dla dowolnych wykładników $x_{1}$ oraz $x_{2}$, jeśli $x_{1} < x_{2}$, to również $5^{x_{1}} < 5^{x_{2}}$. Oznacza to, że kolejność potęg będzie identyczna z kolejnością ich wykładników. Krok 2: Porównanie wykładników. Wypisujemy wykładniki danych liczb: $3$, $-2$, $\sqrt{2}$ oraz $-0,4$. Aby je uporządkować, musimy oszacować wartość pierwiastka. Wiemy, że:$$\sqrt{2} \approx 1,41$$Szukamy najmniejszej liczby. Najmniejszą wartością jest $-2$, ponieważ leży najdalej na lewo na osi liczbowej. Drugą w kolejności jest kolejna liczba ujemna, czyli $-0,4$. Następną liczbą jest dodatnie przybliżenie pierwiastka $\sqrt{2} \approx 1,41$. Największą liczbą w tym zbiorze jest $3$. Zapisujemy kolejność wykładników:$$-2 < -0,4 < \sqrt{2} < 3$$Krok 3: Zapisanie końcowej kolejności potęg. Korzystając z faktu, że funkcja jest rosnąca, podstawiamy wykładniki do potęgi o podstawie $5$, zachowując kierunek znaków nierówności:$$5^{-2} < 5^{-0,4} < 5^{\sqrt{2}} < 5^{3}$$b) Porządkowanie liczb $\left( \frac{1}{2} \right)^{1}$, $\left( \frac{1}{2} \right)^{-2}$, $\left( \frac{1}{2} \right)^{\sqrt{3}}$, $\left( \frac{1}{2} \right)^{0,5}$. Krok 1: Określenie monotoniczności. Podstawą każdej z potęg jest ułamek $\frac{1}{2}$. Sprawdzamy, w jakim przedziale mieści się ta liczba:$$0 < \frac{1}{2} < 1$$Ponieważ podstawa jest dodatnia i mniejsza od $1$, funkcja wykładnicza $f \left( x \right) = \left( \frac{1}{2} \right)^{x}$ jest malejąca. W funkcji malejącej sytuacja jest odwrotna niż w rosnącej: im większy jest wykładnik, tym mniejszą wartość przyjmuje cała potęga. Krok 2: Porównanie wykładników. Wypisujemy wykładniki: $1$, $-2$, $\sqrt{3}$ oraz $0,5$. Przyjmujemy przybliżenie dla pierwiastka:$$\sqrt{3} \approx 1,73$$Ustawiamy wykładniki w kolejności od najmniejszego do największego. Najmniejsza jest liczba ujemna $-2$. Kolejna to $0,5$. Następna to $1$. Największa to $\sqrt{3}$, ponieważ $1,73 > 1$. Zapisujemy kolejność wykładników:$$-2 < 0,5 < 1 < \sqrt{3}$$Krok 3: Zapisanie końcowej kolejności potęg. Ponieważ funkcja jest malejąca, musimy odwrócić kolejność. Liczba z największym wykładnikiem będzie najmniejsza, a liczba z najmniejszym wykładnikiem będzie największa. Najmniejsza wartość to potęga z wykładnikiem $\sqrt{3}$: $\left( \frac{1}{2} \right)^{\sqrt{3}}$. Następna to potęga z wykładnikiem $1$: $\left( \frac{1}{2} \right)^{1}$. Kolejna to potęga z wykładnikiem $0,5$: $\left( \frac{1}{2} \right)^{0,5}$. Największa to potęga z wykładnikiem $-2$: $\left( \frac{1}{2} \right)^{-2}$. Zapisujemy ostateczny wynik:$$\left( \frac{1}{2} \right)^{\sqrt{3}} < \left( \frac{1}{2} \right)^{1} < \left( \frac{1}{2} \right)^{0,5} < \left( \frac{1}{2} \right)^{-2}$$

Zadanie 3 (3 pkt)

Uporządkuj w kolejności rosnącej liczby: a) $\left( \sqrt{3} \right)^5, 3^e, 9^{1,2}, \left( \frac{1}{3} \right)^{-1,5\sqrt{2}}$ b) $\left( \sqrt{2}-1 \right)^e, \left( \sqrt{2}-1 \right)^{\sqrt{2}}, \left( \sqrt{2}-1 \right)^{2,5}, \frac{1}{\sqrt{2}+1}$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

WSKAZÓWKI: 1) Aby uporządkować liczby o różnych postaciach, najpierw sprowadź je do wspólnej podstawy. W podpunkcie a) najwygodniej będzie wykorzystać liczbę $3$, natomiast w podpunkcie b) podstawę $\sqrt{2}-1$. 2) Skorzystaj z podstawowych praw działań na potęgach: - Pierwiastek kwadratowy zapisujemy jako potęgę o wykładniku $\frac{1}{2}$: $\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}$. - Potęgę o wykładniku ujemnym zamieniamy na odwrotność podstawy: $\left( \frac{1}{a} \right)^{-n} = a^{n}$. - Potęgowanie potęgi wymaga pomnożenia wykładników: $\left( a^{m} \right)^{n} = a^{m \cdot n}$. 3) Pamiętaj o monotoniczności funkcji wykładniczej $f(x) = a^{x}$: - Jeśli podstawa $a > 1$, funkcja jest rosnąca. Oznacza to, że dla większego wykładnika otrzymamy większą wartość liczby. - Jeśli podstawa $0 < a < 1$, funkcja jest malejąca. Wtedy większy wykładnik oznacza mniejszą wartość liczby. 4) Przyjmij przybliżone wartości dla stałych: $e \approx 2,72$ oraz $\sqrt{2} \approx 1,41$, aby móc porównać niewymierne wykładniki. ROZWIĄZANIE: a) Porządkowanie liczb: $\left( \sqrt{3} \right)^{5}, 3^{e}, 9^{1,2}, \left( \frac{1}{3} \right)^{-1,5\sqrt{2}}$ 1) Przekształcamy pierwszą liczbę $\left( \sqrt{3} \right)^{5}$ do podstawy $3$. Ponieważ $\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$, otrzymujemy:$$\left( 3^{\frac{1}{2}} \right)^{5}$$Mnożymy wykładniki $\frac{1}{2}$ oraz $5$, co daje $\frac{5}{2}$, czyli $2,5$:$$3^{2,5}$$2) Druga liczba to $3^{e}$. Wiemy, że $e$ to stała Eulera, która w przybliżeniu wynosi $2,718...$. Pozostawiamy ją w formie:$$3^{e} \approx 3^{2,718}$$3) Trzecią liczbę $9^{1,2}$ zapisujemy za pomocą podstawy $3$. Ponieważ $9 = 3^{2}$, podstawiamy to do wyrażenia:$$\left( 3^{2} \right)^{1,2}$$Mnożymy wykładnik $2$ przez $1,2$, co daje $2,4$:$$3^{2,4}$$4) Czwartą liczbę $\left( \frac{1}{3} \right)^{-1,5\sqrt{2}}$ przekształcamy, korzystając z faktu, że $\frac{1}{3} = 3^{-1}$:$$\left( 3^{-1} \right)^{-1,5\sqrt{2}}$$Mnożymy wykładniki $-1$ oraz $-1,5\sqrt{2}$. Iloczyn dwóch liczb o tych samych znakach (ujemnych) jest liczbą dodatnią:$$3^{1,5\sqrt{2}}$$Przyjmując przybliżenie $\sqrt{2} \approx 1,414$, obliczamy wartość wykładnika: $1,5 \cdot 1,414 = 2,121$. Zatem:$$3^{1,5\sqrt{2}} \approx 3^{2,121}$$5) Mamy teraz wszystkie liczby sprowadzone do podstawy $3$:$$3^{2,121}; 3^{2,4}; 3^{2,5}; 3^{2,718}$$Ponieważ podstawa $a = 3$ jest większa od $1$, funkcja $f(x) = 3^{x}$ jest rosnąca. Porządkujemy wykładniki od najmniejszego do największego:$$1,5\sqrt{2} < 2,4 < 2,5 < e$$Ostateczna kolejność rosnąca liczb to:$$\left( \frac{1}{3} \right)^{-1,5\sqrt{2}}, 9^{1,2}, \left( \sqrt{3} \right)^{5}, 3^{e}$$b) Porządkowanie liczb: $\left( \sqrt{2}-1 \right)^{e}, \left( \sqrt{2}-1 \right)^{\sqrt{2}}, \left( \sqrt{2}-1 \right)^{2,5}, \frac{1}{\sqrt{2}+1}$ 1) Najpierw ustalamy, czy podstawa $a = \sqrt{2}-1$ jest większa czy mniejsza od $1$. Ponieważ $\sqrt{2} \approx 1,41$, to:$$1,41 - 1 = 0,41$$Liczba $0,41$ znajduje się w przedziale $\left( 0, 1 \right)$. Oznacza to, że funkcja wykładnicza o tej podstawie jest malejąca. 2) Przekształcamy liczbę $\frac{1}{\sqrt{2}+1}$, aby miała taką samą podstawę jak reszta. Usuwamy niewymierność z mianownika, mnożąc licznik i mianownik przez $\sqrt{2}-1$:$$\frac{1 \cdot \left( \sqrt{2}-1 \right)}{\left( \sqrt{2}+1 \right) \cdot \left( \sqrt{2}-1 \right)}$$W mianowniku stosujemy wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów $\left( a+b \right)\left( a-b \right) = a^{2}-b^{2}$:$$\frac{\sqrt{2}-1}{\left( \sqrt{2} \right)^{2} - 1^{2}} = \frac{\sqrt{2}-1}{2 - 1} = \frac{\sqrt{2}-1}{1} = \sqrt{2}-1$$Dowolną liczbę możemy zapisać jako potęgę o wykładniku $1$:$$\left( \sqrt{2}-1 \right)^{1}$$3) Porównujemy wykładniki wszystkich czterech liczb: - Wykładnik pierwszej liczby to $e \approx 2,72$. - Wykładnik drugiej liczby to $\sqrt{2} \approx 1,41$. - Wykładnik trzeciej liczby to $2,5$. - Wykładnik czwartej liczby to $1$. 4) Ustawiamy wykładniki w kolejności rosnącej:$$1 < \sqrt{2} < 2,5 < e$$5) Ponieważ funkcja o podstawie $0 < a < 1$ jest malejąca, to im większy jest wykładnik, tym mniejsza jest wartość całej potęgi. Aby uporządkować liczby rosnąco, musimy zacząć od tej, która ma największy wykładnik:$$\left( \sqrt{2}-1 \right)^{e} < \left( \sqrt{2}-1 \right)^{2,5} < \left( \sqrt{2}-1 \right)^{\sqrt{2}} < \left( \sqrt{2}-1 \right)^{1}$$Podstawiając oryginalne postacie liczb, otrzymujemy:$$\left( \sqrt{2}-1 \right)^{e}, \left( \sqrt{2}-1 \right)^{2,5}, \left( \sqrt{2}-1 \right)^{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}+1}$$

Zadanie 4 (3 pkt)

W fabryce odlano metalowy element, który następnie zaczęto schładzać. Temperaturę metalu $T$ ($^\circ\text{C}$) w zależności od czasu $t$ (minuty) opisuje funkcja $T\left( t \right) = 180 \cdot 1,5^{-0,2t}$. a) Jaką temperaturę miał metal w momencie rozpoczęcia schładzania? b) Jaką temperaturę miał metal po 5 minutach, a jaką po 10 minutach?

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

WSKAZÓWKI: 1) Moment rozpoczęcia schładzania to chwila, w której czas wynosi $t = 0$. Aby obliczyć temperaturę początkową, musisz podstawić liczbę $0$ w miejsce zmiennej $t$ we wzorze funkcji $T \left( t \right)$. Pamiętaj, że każda liczba podniesiona do potęgi $0$ (z wyjątkiem zera) daje wynik $1$. 2) Aby obliczyć temperaturę po określonym czasie, podstaw odpowiednią liczbę minut ($5$ oraz $10$) w miejsce $t$. Najpierw wykonaj mnożenie w wykładniku potęgi. 3) Przy obliczaniu potęg o ujemnym wykładniku skorzystaj z definicji:$$a^{-n} = \frac{1}{a^{n}}$$Dla ułatwienia obliczeń możesz zamienić ułamek dziesiętny $1,5$ na ułamek zwykły $\frac{3}{2}$. Wtedy potęga o wykładniku ujemnym będzie polegała na odwróceniu tego ułamka. ROZWIĄZANIE: a) Obliczanie temperatury w momencie rozpoczęcia schładzania. Przyjmujemy, że moment rozpoczęcia procesu odpowiada czasowi $t = 0$. Podstawiamy tę wartość do wzoru funkcji:$$T \left( 0 \right) = 180 \cdot 1,5^{-0,2 \cdot 0}$$Najpierw obliczamy wartość w wykładniku potęgi. Mnożenie dowolnej liczby przez zero daje zero:$$-0,2 \cdot 0 = 0$$Zatem nasze równanie przyjmuje postać:$$T \left( 0 \right) = 180 \cdot 1,5^{0}$$Zgodnie z zasadami potęgowania, każda liczba różna od zera podniesiona do potęgi zerowej jest równa $1$:$$1,5^{0} = 1$$Teraz wykonujemy ostatnie mnożenie:$$T \left( 0 \right) = 180 \cdot 1$$$$T \left( 0 \right) = 180$$W momencie rozpoczęcia schładzania metal miał temperaturę $180$ stopni Celsjusza. b) Obliczanie temperatury po 5 minutach oraz po 10 minutach. Najpierw obliczamy temperaturę po $t = 5$ minutach. Podstawiamy $5$ do wzoru:$$T \left( 5 \right) = 180 \cdot 1,5^{-0,2 \cdot 5}$$Obliczamy wykładnik. Mnożymy $-0,2$ przez $5$:$$-0,2 \cdot 5 = -1$$Równanie wygląda teraz tak:$$T \left( 5 \right) = 180 \cdot 1,5^{-1}$$Aby ułatwić sobie obliczenia, zamieniamy $1,5$ na ułamek zwykły nieskracalny:$$1,5 = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}$$Podstawiamy ułamek do potęgi:$$T \left( 5 \right) = 180 \cdot \left( \frac{3}{2} \right)^{-1}$$Ujemny wykładnik $-1$ oznacza, że musimy wyznaczyć odwrotność liczby potęgowanej:$$\left( \frac{3}{2} \right)^{-1} = \frac{2}{3}$$Teraz mnożymy liczbę $180$ przez ułamek $\frac{2}{3}$:$$T \left( 5 \right) = 180 \cdot \frac{2}{3}$$$$T \left( 5 \right) = \frac{180 \cdot 2}{3}$$$$T \left( 5 \right) = \frac{360}{3}$$$$T \left( 5 \right) = 120$$Po $5$ minutach temperatura wynosiła $120$ stopni Celsjusza. Następnie obliczamy temperaturę po $t = 10$ minutach. Podstawiamy $10$ do wzoru:$$T \left( 10 \right) = 180 \cdot 1,5^{-0,2 \cdot 10}$$Obliczamy wykładnik. Przesuwamy przecinek o jedno miejsce w prawo przy mnożeniu przez $10$:$$-0,2 \cdot 10 = -2$$Równanie ma postać:$$T \left( 10 \right) = 180 \cdot 1,5^{-2}$$Ponownie używamy ułamka zwykłego $\frac{3}{2}$ w miejsce $1,5$:$$T \left( 10 \right) = 180 \cdot \left( \frac{3}{2} \right)^{-2}$$Potęga o wykładniku $-2$ oznacza, że najpierw odwracamy ułamek, a potem podnosimy go do kwadratu (drugiej potęgi):$$\left( \frac{3}{2} \right)^{-2} = \left( \frac{2}{3} \right)^{2}$$Podnosimy licznik i mianownik do kwadratu:$$\left( \frac{2}{3} \right)^{2} = \frac{2^{2}}{3^{2}} = \frac{4}{9}$$Mnożymy liczbę $180$ przez otrzymany ułamek $\frac{4}{9}$:$$T \left( 10 \right) = 180 \cdot \frac{4}{9}$$Skracamy liczbę $180$ z mianownikiem $9$. Ponieważ $180 : 9 = 20$, otrzymujemy:$$T \left( 10 \right) = 20 \cdot 4$$$$T \left( 10 \right) = 80$$Po $10$ minutach temperatura spadła do $80$ stopni Celsjusza.

Zadanie 5 (3 pkt)

Odległość między miastami C i D wynosi $120$ km. Samochód pokonuje tę trasę ze średnią prędkością $v$. Gdyby jechał z prędkością o $20$ km/h większą, to przyjechałby na miejsce o $30$ minut wcześniej. Gdyby zaś jechał z prędkością o $12$ km/h mniejszą, to dotarłby o $30$ minut później. Oblicz prędkość $v$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

WSKAZÓWKI: 1) Zapisz równanie oparte na różnicy czasu przejazdu dla pierwszej sytuacji. Skoro samochód jadąc o $ 20 $ $ km/h $ szybciej, przyjeżdża o $ 30 $ minut ($ 0,5 $ godziny) wcześniej, to różnica między czasem jazdy normalnej a czasem jazdy szybszej wynosi $ 0,5 $:$$t_{normalnie} - t_{szybciej} = 0,5$$2) Podstaw wzór na czas $ t = \frac{s}{v} $, używając drogi $ s = 120 $ $ km $. Otrzymasz ułamki o mianownikach $ v $ oraz $ v + 20 $, które należy sprowadzić do wspólnego mianownika $ v \cdot (v + 20) $. 3) Po uproszczeniu licznika (gdzie niewiadome $ v $ się zredukują), wykonaj mnożenie "na krzyż", aby otrzymać postać iloczynową: $ v \cdot (v + 20) = liczba $. ROZWIĄZANIE: a) Układanie równania różnicy czasów. Drogę $ 120 $ $ km $ samochód pokonuje normalnie w czasie $ t = \frac{120}{v} $. Przy prędkości większej o $ 20 $ $ km/h $ czas wynosi $ t_{1} = \frac{120}{v + 20} $. Różnica tych czasów to $ 30 $ minut, czyli $ 0,5 $ godziny. Zapisujemy równanie:$$\frac{120}{v} - \frac{120}{v + 20} = 0,5$$b) Sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika. Rozszerzamy pierwszy ułamek przez $ (v + 20) $, a drugi przez $ v $:$$\frac{120 \cdot (v + 20)}{v \cdot (v + 20)} - \frac{120 \cdot v}{v \cdot (v + 20)} = 0,5$$Zapisujemy na jednej kresce ułamkowej i upraszczamy licznik:$$\frac{120v + 2400 - 120v}{v \cdot (v + 20)} = 0,5$$$$\frac{2400}{v \cdot (v + 20)} = 0,5$$c) Mnożenie "na krzyż" i przekształcenie do postaci iloczynowej. Mnożymy obie strony przez mianownik:$$2400 = 0,5 \cdot v \cdot (v + 20)$$Aby pozbyć się ułamka $ 0,5 $, mnożymy całe równanie przez $ 2 $:$$2400 \cdot 2 = v \cdot (v + 20)$$$$4800 = v \cdot (v + 20)$$d) Metoda rozkładu na czynniki (zamiast delty). Zamiast liczyć deltę, szukamy dwóch liczb, które różnią się o $ 20 $, a ich iloczyn wynosi $ 4800 $. Możemy szybko oszacować:$$60 \cdot 80 = 4800$$Sprawdzamy:$$60 \cdot (60 + 20) = 60 \cdot 80 = 4800$$Wartości się zgadzają, zatem:$$v = 60$$e) Sprawdzenie z drugą sytuacją (prędkość mniejsza o 12 km/h). Gdyby samochód jechał z prędkością $ v - 12 = 60 - 12 = 48 $ $ km/h $, to czas przejazdu wyniósłby:$$t_{2} = \frac{120}{48} = 2,5 \text{ } h$$Czas normalny przy $ 60 $ $ km/h $ to:$$t = \frac{120}{60} = 2 \text{ } h$$Różnica wynosi $ 2,5 - 2 = 0,5 $ godziny, czyli $ 30 $ minut. Wynik jest zgodny z treścią zadania. Prędkość $ v $ wynosi $ 60 $ $ km/h $.

Grupa B

Zadanie 1 (3 pkt)

Do wykresu funkcji wykładniczej $f(x) = a^x$ należy punkt $P(-2, 25)$. a) Napisz wzór funkcji $f$. b) Naszkicuj wykres funkcji $f$. c) Dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości nie większe niż 1?

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 2 (3 pkt)

Zapisz dane liczby w kolejności od najmniejszej do największej. a) $2^4, 2^{-3}, 2^{\sqrt{5}}, 2^{-1,2}$ b) $\left( \frac{1}{4} \right)^0, \left( \frac{1}{4} \right)^{-1}, \left( \frac{1}{4} \right)^{\sqrt{2}}, \left( \frac{1}{4} \right)^{1,8}$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 3 (3 pkt)

Uporządkuj w kolejności rosnącej liczby: a) $\left( \sqrt{5} \right)^3, 5^{\sqrt{3}}, 25^{0,8}, \left( 0,2 \right)^{-1,4}$ b) $\left( \sqrt{5}-2 \right)^{\pi}, \left( \sqrt{5}-2 \right)^3, \left( \sqrt{5}-2 \right)^{3,2}, \frac{1}{\sqrt{5}+2}$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 4 (3 pkt)

Podczas eksperymentu biologicznego próbkę umieszczono w chłodziarce. Temperaturę próbki $T$ ($^\circ\text{C}$) po czasie $t$ (minuty) opisuje wzór $T\left( t \right) = 100 \cdot 2^{-0,2t}$. a) Jaką temperaturę miała próbka w chwili włożenia jej do chłodziarki? b) Jaką temperaturę miała próbka po 5 minutach, a jaką po 10 minutach?

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 5 (3 pkt)

Odległość między punktem X i Y wynosi $240$ km. Motocyklista jedzie ze średnią prędkością $v$. Gdyby zwiększył prędkość o $40$ km/h, to podróż zajęłaby mu o $60$ minut mniej. Gdyby zaś zmniejszył prędkość o $20$ km/h, to jechałby o $60$ minut dłużej. Oblicz prędkość $v$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

6.4 Funkcja wykładnicza

Grupa A

Zadanie 1 (3 pkt)

Zadanie 2 (3 pkt)

Zadanie 3 (3 pkt)

Zadanie 4 (3 pkt)

Zadanie 5 (3 pkt)

Grupa B

Zadanie 1 (3 pkt)

Zadanie 2 (3 pkt)

Zadanie 3 (3 pkt)

Zadanie 4 (3 pkt)

Zadanie 5 (3 pkt)

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Witaj na Liczbit 👋