Zastosowanie własności funkcji liniowej w zadaniach praktycznych kartkówka LiczBit

4.5 Zastosowanie własności funkcji liniowej w zadaniach praktycznych

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1 (3 pkt)

Do piekarni dostarczono $8$ ton mąki. Każdego dnia zużywa się $400$ kg mąki do wypieku chleba. Napisz wzór funkcji opisującej ilość mąki pozostałej w magazynie (w kilogramach) w zależności od liczby dni $x$, które upłynęły od dnia dostawy, aż do całkowitego zużycia zapasów.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

WSKAZÓWKI: 1) Zwróć uwagę na jednostki. Dane w zadaniu są podane w tonach ($8$ ton) oraz kilogramach ($400$ kg). Aby poprawnie zapisać wzór funkcji, musisz sprowadzić obie te wartości do wspólnej jednostki (kilogramów), ponieważ wynikowy wzór ma opisywać masę mąki właśnie w kilogramach. 2) Zastanów się, jak zmienia się ilość mąki w czasie. Na początku masz pewną stałą ilość (zapasy początkowe), od której każdego dnia odejmujesz stałą porcję ($400$ kg pomnożone przez liczbę dni $x$). To sugeruje, że będziemy mieli do czynienia z funkcją liniową o ujemnym współczynniku kierunkowym. 3) Pamiętaj o określeniu dziedziny funkcji. Zadanie prosi o opisanie sytuacji "aż do całkowitego zużycia zapasów". Musisz zatem obliczyć, po ilu dniach mąka się skończy, czyli dla jakiego argumentu $x$ wartość funkcji wyniesie $0$. ROZWIĄZANIE: a) Ujednolicenie jednostek masy mąki. Na samym początku musimy przeliczyć masę dostarczonej mąki z ton na kilogramy. Wiemy, że $1$ tona to $1000$ kilogramów. Aby otrzymać masę $8$ ton w kilogramach, wykonujemy mnożenie liczby $8$ przez $1000$:$$8 \cdot 1000 = 8000$$Zatem początkowa ilość mąki w magazynie wynosi $8000$ kg. b) Wyznaczenie wzoru funkcji $f(x)$. Przyjmijmy oznaczenia zgodnie z treścią zadania. Niech $x$ oznacza liczbę dni, które upłynęły od dostawy, a $f(x)$ oznacza ilość mąki pozostałej w magazynie (w kilogramach). W momencie dostawy, czyli dla dnia $x = 0$, w magazynie jest $8000$ kg mąki. Każdego kolejnego dnia ubywa $400$ kg. Po $x$ dniach zużycie wyniesie:$$400 \cdot x$$Aby obliczyć, ile mąki zostało, musimy od ilości początkowej odjąć ilość zużytą. Zapisujemy to za pomocą wzoru:$$f(x) = 8000 - 400x$$c) Wyznaczenie dziedziny funkcji (czasu do całkowitego zużycia). Funkcja ma opisywać zapasy aż do ich całkowitego zużycia. Całkowite zużycie oznacza, że ilość mąki $f(x)$ spadnie do zera. Musimy więc rozwiązać równanie:$$8000 - 400x = 0$$Aby obliczyć $x$, przenosimy wyraz $8000$ na prawą stronę równania, pamiętając o zmianie znaku na przeciwny:$$-400x = -8000$$Teraz dzielimy obie strony równania przez liczbę stojącą przy niewiadomej $x$, czyli przez $-400$:$$x = \frac{-8000}{-400}$$Podczas dzielenia liczby ujemnej przez ujemną otrzymujemy wynik dodatni. Skracamy zera i dzielimy $80$ przez $4$:$$x = 20$$Oznacza to, że mąka skończy się po $20$ dniach. Zatem liczba dni $x$ musi należeć do przedziału domkniętego od $0$ do $20$. d) Zapisanie ostatecznej odpowiedzi. Wzór funkcji opisującej ilość pozostałej mąki to:$$f(x) = 8000 - 400x$$gdzie $x \in \langle 0, 20 \rangle$.

Zadanie 2 (3 pkt)

Kierowca ciężarówki ma do pokonania trasę o długości $240 \text{ km}$. Jedzie ze stałą prędkością $60 \text{ km/h}$. Napisz wzór funkcji opisującej odległość ciężarówki od celu podróży w zależności od czasu jazdy. Określ dziedzinę tej funkcji i naszkicuj jej wykres.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

WSKAZÓWKI: 1) Zauważ, że odległość od celu na samym początku podróży wynosi $240$. Z każdą kolejną godziną jazdy kierowca pokonuje $60$ kilometrów, co oznacza, że jego dystans do celu zmniejsza się o tę właśnie wartość. Spróbuj zapisać to jako odejmowanie drogi od wartości początkowej. 2) Dziedzina funkcji w tym przypadku to przedział czasu, w którym odbywa się podróż. Czas nie może być ujemny, więc najmniejszą wartością jest $0$. Największą wartością będzie moment, w którym kierowca dotrze do celu – czyli gdy jego odległość od celu wyniesie $0$. 3) Przy szkicowaniu wykresu pamiętaj, że jest to funkcja liniowa. Najłatwiej będzie Ci zaznaczyć dwa punkty: punkt startowy (dla czasu równego $0$) oraz punkt końcowy (moment dotarcia do celu). Następnie połącz te punkty linią ciągłą w obrębie wyznaczonej dziedziny. ROZWIĄZANIE: Zdefiniujmy zmienne: $x$ – czas jazdy wyrażony w godzinach. $f(x)$ – odległość ciężarówki od celu podróży wyrażona w kilometrach. Kierowca startuje z punktu, który jest oddalony od celu o $240$ kilometrów. Ponieważ jedzie ze stałą prędkością $60$ kilometrów na godzinę, to w czasie $x$ pokona drogę równą $60 \cdot x$. Odległość od celu to różnica między drogą całkowitą a drogą już przejechaną. Zatem wzór funkcji to:$$f(x) = 240 - 60x$$Wyznaczanie dziedziny funkcji: Czas jazdy $x$ musi być liczbą nieujemną, czyli $x \ge 0$. Ponadto, odległość od celu nie może być ujemna, więc $f(x) \ge 0$. Musimy obliczyć, po jakim czasie kierowca dotrze do celu:$$240 - 60x = 0$$Przenosimy wyrażenie z niewiadomą $x$ na prawą stronę równania, zmieniając znak na przeciwny:$$240 = 60x$$Teraz dzielimy obie strony równania przez liczbę $60$:$$x = \frac{240}{60}$$$$x = 4$$Podróż trwa od $0$ do $4$ godzin. Zatem dziedzina funkcji to:$$D = \left[ 0, 4 \right]$$Szkicowanie wykresu: Wykres tej funkcji to odcinek prostej. Wyznaczamy dwa punkty graniczne: Dla argumentu $x = 0$:$$f(0) = 240 - 60 \cdot 0 = 240$$Mamy pierwszy punkt o współrzędnych $\left( 0, 240 \right)$. Dla argumentu $x = 4$:$$f(4) = 240 - 60 \cdot 4 = 240 - 240 = 0$$Mamy drugi punkt o współrzędnych $\left( 4, 0 \right)$. Na osi poziomej (oś argumentów $x$) zaznaczamy czas w godzinach, a na osi pionowej (oś wartości $y$) zaznaczamy odległość w kilometrach. Rysujemy odcinek łączący te dwa punkty.

Zadanie 3 (3 pkt)

W zbiorniku znajdowało się 400 litrów wody. Po odkręceniu kurka odpływowego woda wypływała ze zbiornika ze stałą prędkością 25 litrów na minutę. a) Ile trwało całkowite opróżnienie zbiornika? b) Napisz wzór funkcji $V$, określający zależność liczby litrów wody w zbiorniku od czasu, jaki upłynął od odkręcenia kurka odpływowego. c) Naszkicuj wykres funkcji $V$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

WSKAZÓWKI: 1) Aby obliczyć czas potrzebny na opróżnienie zbiornika, musisz podzielić całkowitą ilość wody przez prędkość, z jaką ta woda wypływa. Zastanów się: jeśli w jedną minutę ubywa $25$ litrów, to ile takich "porcji" mieści się w $400$ litrach? 2) Wzór funkcji $V\left( t \right)$ będzie miał postać funkcji liniowej. Wartość początkowa wody w zbiorniku to wyraz wolny $b$ w równaniu prostej. Skoro woda ubywa, współczynnik kierunkowy $a$ musi być ujemny i odpowiadać prędkości wypływu wody. 3) Pamiętaj o określeniu dziedziny funkcji. Czas $t$ nie może być ujemny, a proces kończy się w momencie, gdy woda w zbiorniku osiągnie wartość $0$. 4) Przy szkicowaniu wykresu wyznacz dwa najważniejsze punkty: punkt startowy (dla czasu $t = 0$) oraz punkt końcowy (moment całkowitego opróżnienia, który obliczysz w punkcie a). Połącz te punkty odcinkiem. ROZWIĄZANIE: a) Obliczanie czasu potrzebnego na całkowite opróżnienie zbiornika. Aby wyznaczyć czas, po którym woda całkowicie wypłynie, musimy podzielić początkową objętość wody przez prędkość jej wypływu. Przyjmijmy oznaczenie $t_{k}$ jako czas końcowy. Całkowita objętość to $400$ litrów, a prędkość wypływu to $25$ litrów na minutę:$$t_{k} = \frac{400}{25}$$Możemy to obliczenie uprościć, dzieląc obie liczby przez $5$:$$t_{k} = \frac{80}{5}$$Teraz wykonujemy ostateczne dzielenie liczby $80$ przez $5$:$$t_{k} = 16$$Całkowite opróżnienie zbiornika trwało $16$ minut. b) Pisanie wzoru funkcji $V$. Funkcja $V$ ma określać liczbę litrów wody w zależności od czasu $t$. Na początku w zbiorniku jest $400$ litrów – jest to nasza wartość stała. W każdej minucie ubywa $25$ litrów wody. Zatem po upływie $t$ minut, ze zbiornika wypłynie ilość wody równa $25 \cdot t$. Aby dowiedzieć się, ile wody zostało, musimy od ilości początkowej odjąć ilość, która wypłynęła:$$V\left( t \right) = 400 - 25t$$Gdzie $V$ to objętość w litrach, a $t$ to czas w minutach. Musimy również określić dziedzinę tej funkcji. Czas zaczyna się od $0$ minut i kończy na $16$ minucie (co obliczyliśmy w punkcie a). Zatem:$$t \in \left\langle 0, 16 \right\rangle$$c) Szkicowanie wykresu funkcji $V$. Aby narysować wykres, wyznaczamy współrzędne dwóch punktów na płaszczyźnie, gdzie oś pozioma to czas $t$, a oś pionowa to objętość $V$. Punkt 1 (początek obserwacji): Dla $t = 0$ podstawiamy do wzoru:$$V\left( 0 \right) = 400 - 25 \cdot 0$$$$V\left( 0 \right) = 400 - 0 = 400$$Otrzymujemy punkt o współrzędnych $\left( 0, 400 \right)$. Punkt 2 (koniec wypływu): Dla $t = 16$ podstawiamy do wzoru:$$V\left( 16 \right) = 400 - 25 \cdot 16$$Najpierw obliczamy mnożenie $25 \cdot 16$:$$25 \cdot 16 = 400$$Podstawiamy wynik do równania:$$V\left( 16 \right) = 400 - 400 = 0$$Otrzymujemy punkt o współrzędnych $\left( 16, 0 \right)$. Rysujemy układ współrzędnych, zaznaczamy powyższe dwa punkty i łączymy je linią ciągłą (odcinkiem). Linia ta opada, co potwierdza, że ilość wody w zbiorniku maleje wraz z upływem czasu.

Zadanie 4 (3 pkt)

Operator sieci komórkowej przygotował dwie oferty dla klientów: I – miesięczna opłata stała w wysokości $20$ zł oraz $15$ groszy za każdą minutę połączenia. II – brak opłaty stałej, ale każda minuta połączenia kosztuje $40$ groszy. a) Dla każdego wariantu zapisz wzór funkcji opisującej miesięczny koszt w zależności od liczby wydzwonionych minut $x$, zakładając, że $x \le 500$. b) Która oferta jest tańsza, jeśli klient rozmawia średnio przez $50$ minut w miesiącu? c) Przy jakiej liczbie minut koszt obu ofert będzie identyczny?

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

WSKAZÓWKI: 1) Zanim zaczniesz układać wzory, ujednolić jednostki. W zadaniu masz podane kwoty w złotych oraz w groszach. Pamiętaj, że $1$ złoty to $100$ groszy, więc $15$ groszy to $0,15$ złotego, a $40$ groszy to $0,40$ złotego. 2) Funkcja kosztu w obu przypadkach jest funkcją liniową. W ofercie I masz stały koszt (wyraz wolny) oraz koszt zależny od liczby minut (współczynnik kierunkowy pomnożony przez $x$). W ofercie II występuje tylko koszt zależny od minut. 3) Aby porównać oferty dla konkretnej liczby minut, podstaw $50$ w miejsce $x$ w obu wzorach i wykonaj działania. 4) Szukając momentu, w którym koszty są identyczne, musisz ułożyć równanie, w którym wzór pierwszej funkcji przyrównujesz do wzoru drugiej funkcji, a następnie wyznaczasz $x$. ROZWIĄZANIE: a) Zapisywanie wzorów funkcji. Przyjmijmy, że $x$ to liczba minut, a $f(x)$ oraz $g(x)$ to miesięczny koszt w złotych. Zgodnie z poleceniem $x \in \left[ 0, 500 \right]$. W ofercie I mamy opłatę stałą $20$ złotych oraz $0,15$ złotego za każdą minutę. Wzór wygląda następująco:$$f(x) = 0,15x + 20$$Liczba $0,15$ wzięła się z zamiany $15$ groszy na złote, czyli $\frac{15}{100}$. W ofercie II nie ma opłaty stałej, a jedynie koszt za minutę wynoszący $40$ groszy, czyli $0,40$ złotego. Wzór wygląda następująco:$$g(x) = 0,40x$$b) Porównanie ofert dla $50$ minut rozmów. Podstawiamy $x = 50$ do wzoru pierwszej oferty:$$f(50) = 0,15 \cdot 50 + 20$$Najpierw wykonujemy mnożenie $0,15$ przez $50$:$$f(50) = 7,5 + 20$$$$f(50) = 27,5$$Koszt w ofercie I wynosi $27,5$ złotego. Teraz podstawiamy $x = 50$ do wzoru drugiej oferty:$$g(50) = 0,40 \cdot 50$$Mnożymy $0,4$ przez $50$:$$g(50) = 20$$Koszt w ofercie II wynosi $20$ złotych. Ponieważ $20 < 27,5$, oferta II jest tańsza dla klienta rozmawiającego $50$ minut miesięcznie. c) Wyznaczanie liczby minut, dla której koszty są identyczne. Przyrównujemy oba wzory funkcji do siebie, aby sprawdzić, kiedy $f(x) = g(x)$:$$0,40x = 0,15x + 20$$Chcemy przenieść wszystkie wyrazy z niewiadomą $x$ na jedną stronę. Przenosimy $0,15x$ na lewą stronę, zmieniając znak na przeciwny (minus):$$0,40x - 0,15x = 20$$Odejmujemy współczynniki przy $x$:$$0,25x = 20$$Aby obliczyć $x$, musimy podzielić obie strony równania przez $0,25$. Zapiszmy to za pomocą ułamka:$$x = \frac{20}{0,25}$$Zauważmy, że $0,25$ to ułamek $\frac{1}{4}$. Dzielenie przez $\frac{1}{4}$ to to samo, co mnożenie przez $4$:$$x = 20 \cdot 4$$$$x = 80$$Koszt obu ofert będzie identyczny przy $80$ minutach rozmów.

Zadanie 5 (3 pkt)

Kasia i Basia pracują jako kurierki. Kasia otrzymuje stałą dniówkę $48$ zł oraz $1,80$ zł za każdą doręczoną paczkę. Basia ma stałą stawkę dzienną w wysokości $36$ zł, ale za każdą paczkę otrzymuje $2,40$ zł. a) Która z dziewczyn zarobi więcej, jeśli w ciągu dnia doręczą po $10$ paczek? b) Przy jakiej liczbie paczek ich dzienny zarobek będzie taki sam?

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

WSKAZÓWKI: 1) Zapisz wzory funkcji opisujących zarobek każdej z dziewczyn. Niech $x$ oznacza liczbę doręczonych paczek. Zarobek to suma stałej dniówki oraz iloczynu stawki za paczkę i liczby paczek $x$. 2) W punkcie a) podstaw liczbę $10$ w miejsce $x$ do obu wzorów i oblicz otrzymane wartości. Porównaj wyniki, aby sprawdzić, która liczba jest większa. 3) W punkcie b) musisz wyznaczyć sytuację, w której zarobki są równe. Przyrównaj do siebie wzory obu funkcji i rozwiąż powstałe równanie z jedną niewiadomą $x$. Pamiętaj o przenoszeniu niewiadomych na jedną stronę, a liczb na drugą ze zmianą znaku. ROZWIĄZANIE: a) Obliczanie zarobków przy doręczeniu $10$ paczek. Najpierw ustalmy wzór na zarobek Kasii, który oznaczymy jako $K\left( x \right)$. Kasia dostaje $48$ zł podstawy i $1,80$ zł za każdą z $x$ paczek:$$K\left( x \right) = 1,80x + 48$$Podstawiamy $x = 10$:$$K\left( 10 \right) = 1,80 \cdot 10 + 48$$Mnożymy $1,80$ przez $10$, co przesuwa przecinek o jedno miejsce w prawo:$$K\left( 10 \right) = 18 + 48$$Dodajemy liczby do siebie:$$K\left( 10 \right) = 66$$Kasia zarobi $66$ zł. Teraz ustalmy wzór na zarobek Basi, który oznaczymy jako $B\left( x \right)$. Basia dostaje $36$ zł podstawy i $2,40$ zł za każdą z $x$ paczek:$$B\left( x \right) = 2,40x + 36$$Podstawiamy $x = 10$:$$B\left( 10 \right) = 2,40 \cdot 10 + 36$$Mnożymy $2,40$ przez $10$:$$B\left( 10 \right) = 24 + 36$$Dodajemy liczby do siebie:$$B\left( 10 \right) = 60$$Basia zarobi $60$ zł. Porównujemy wyniki: $66 > 60$. Przy doręczeniu $10$ paczek więcej zarobi Kasia. b) Obliczanie liczby paczek, przy której zarobki będą identyczne. Aby zarobki były takie same, musi zajść równość $K\left( x \right) = B\left( x \right)$. Zapisujemy równanie korzystając z naszych wzorów:$$1,80x + 48 = 2,40x + 36$$Musimy przenieść wyrazy z niewiadomą $x$ na lewą stronę, a liczby na prawą. Przenosimy $2,40x$ na lewo zmieniając znak na minus, oraz liczbę $48$ na prawo zmieniając znak na minus:$$1,80x - 2,40x = 36 - 48$$Wykonujemy odejmowanie po obu stronach. Po lewej stronie $1,80 - 2,40$ daje $-0,60$, a po prawej $36 - 48$ daje $-12$:$$-0,60x = -12$$Zapisujemy to bez zbędnego zera dla ułatwienia:$$-0,6x = -12$$Aby obliczyć $x$, dzielimy obie strony równania przez liczbę stojącą przy niewiadomej, czyli przez $-0,6$:$$x = \frac{-12}{-0,6}$$Ponieważ dzielimy liczbę ujemną przez ujemną, wynik będzie dodatni. Aby ułatwić dzielenie przez ułamek dziesiętny, rozszerzamy licznik i mianownik przez $10$:$$x = \frac{120}{6}$$Wykonujemy dzielenie:$$x = 20$$Zarobki obu dziewczyn będą takie same przy doręczeniu $20$ paczek.

Grupa B

Zadanie 1 (3 pkt)

Na plac budowy przywieziono $15$ ton piasku. Codziennie robotnicy zużywają $250$ kg piasku do produkcji zaprawy murarskiej. Wyznacz wzór funkcji $P(x)$ określającej masę pozostałego piasku w kilogramach po $x$ dniach pracy, wiedząc, że praca trwa do momentu wyczerpania piasku.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 2 (3 pkt)

Turysta wyruszył na szlak o długości $30 \text{ km}$. Porusza się ze stałą prędkością $5 \text{ km/h}$. Napisz wzór funkcji $d(t)$ określającej odległość turysty od końca szlaku po $t$ godzinach marszu. Naszkicuj wykres tej funkcji i podaj jej dziedzinę.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 3 (3 pkt)

W zbiorniku znajdowało się 150 litrów wody. Po odkręceniu kurka odpływowego woda wypływała ze zbiornika ze stałą prędkością 10 litrów na minutę. a) Ile trwało całkowite opróżnienie zbiornika? b) Napisz wzór funkcji $V$, określający zależność liczby litrów wody w zbiorniku od czasu, jaki upłynął od odkręcenia kurka odpływowego. c) Naszkicuj wykres funkcji $V$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 4 (3 pkt)

Wypożyczalnia rowerów oferuje dwa systemy płatności: I – opłata stała $30$ zł za dzień i dodatkowo $10$ groszy za każdy przejechany kilometr. II – brak opłaty stałej, ale każdy przejechany kilometr kosztuje $25$ groszy. a) Dla każdego systemu zapisz wzór funkcji opisującej dzienny koszt w zależności od liczby przejechanych kilometrów $x$, przy założeniu, że $x \le 300$. b) Który system jest tańszy, jeśli planujemy przejechać $150$ kilometrów? c) Oblicz, przy jakim dystansie dzienny koszt wypożyczenia roweru będzie taki sam w obu systemach.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 5 (3 pkt)

Marek i Darek roznoszą ulotki. Marek dostaje stałe $55$ zł za dzień pracy i $1,20$ zł za każdą rozdaną setkę ulotek. Darek ma umowę na $40$ zł stałej stawki oraz $2,20$ zł za każdą rozdaną setkę ulotek. a) Ile zarobi każdy z nich, jeśli rozdadzą po $10$ setek ulotek? Kto zarobi więcej? b) Ile setek ulotek muszą rozdać, aby zarobić tyle samo pieniędzy w ciągu dnia?

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

4.5 Zastosowanie własności funkcji liniowej w zadaniach praktycznych

Grupa A

Zadanie 1 (3 pkt)

Zadanie 2 (3 pkt)

Zadanie 3 (3 pkt)

Zadanie 4 (3 pkt)

Zadanie 5 (3 pkt)

Grupa B

Zadanie 1 (3 pkt)

Zadanie 2 (3 pkt)

Zadanie 3 (3 pkt)

Zadanie 4 (3 pkt)

Zadanie 5 (3 pkt)

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Witaj na Liczbit 👋