Własności funkcji liniowej – zadania różne kartkówka LiczBit

4.4 Własności funkcji liniowej – zadania różne

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1 (3 pkt)

Wykres funkcji liniowej $f$ przecina oś $OY$ w punkcie $\left( 0, 10 \right)$. Funkcja $f$ przyjmuje wartości dodatnie wtedy i tylko wtedy, gdy $x \in \left( -\infty, 5 \right)$. Wyznacz wzór funkcji $f$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

WSKAZÓWKI: 1) Każda funkcja liniowa może być zapisana w postaci ogólnej $f\left( x \right) = ax + b$, gdzie $a$ to współczynnik kierunkowy, a $b$ to wyraz wolny. 2) Punkt przecięcia wykresu z osią $OY$ ma zawsze pierwszą współrzędną równą $0$. Wykorzystaj fakt, że wykres przechodzi przez punkt $\left( 0, 10 \right)$, aby wyznaczyć wartość współczynnika $b$. 3) Skoro funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla $x \in \left( -\infty, 5 \right)$, oznacza to, że dla $x = 5$ następuje zmiana znaku wartości funkcji. W takim punkcie funkcja musi mieć swoje miejsce zerowe. Zatem $f\left( 5 \right) = 0$. 4) Mając wyznaczone $b$ oraz wiedząc, że dla argumentu $5$ wartość funkcji wynosi $0$, podstaw te dane do wzoru ogólnego $f\left( x \right) = ax + b$, aby obliczyć brakujący współczynnik $a$. ROZWIĄZANIE: a) Wyznaczenie współczynnika $b$. Wiemy z treści zadania, że wykres funkcji $f$ przecina oś $OY$ w punkcie $\left( 0, 10 \right)$. W dowolnej funkcji liniowej o wzorze $f\left( x \right) = ax + b$, współrzędne punktu przecięcia z osią $OY$ to zawsze $\left( 0, b \right)$. Wynika to z faktu, że jeśli podstawimy $x = 0$ do wzoru:$$f\left( 0 \right) = a \cdot 0 + b$$$$f\left( 0 \right) = b$$Skoro nasz punkt to $\left( 0, 10 \right)$, to otrzymujemy bezpośrednio wartość:$$b = 10$$Zatem nasza funkcja ma obecnie postać:$$f\left( x \right) = ax + 10$$b) Wyznaczenie miejsca zerowego funkcji. W zadaniu podano, że funkcja przyjmuje wartości dodatnie wtedy i tylko wtedy, gdy $x \in \left( -\infty, 5 \right)$. Oznacza to, że dla wszystkich argumentów mniejszych od $5$ wykres znajduje się nad osią $OX$, a dla argumentów większych od $5$ (skoro to funkcja liniowa i zmienia znak) musi znajdować się pod osią $OX$. Punktem granicznym jest $x = 5$. W tym punkcie funkcja przestaje być dodatnia i staje się ujemna, co oznacza, że przechodzi przez zero. Miejsce zerowe funkcji $f$ to zatem:$$x_{0} = 5$$Możemy to zapisać jako warunek:$$f\left( 5 \right) = 0$$c) Obliczenie współczynnika kierunkowego $a$. Podstawiamy argument $x = 5$, wartość funkcji $f\left( 5 \right) = 0$ oraz wyznaczony wcześniej współczynnik $b = 10$ do wzoru ogólnego $f\left( x \right) = ax + b$:$$0 = a \cdot 5 + 10$$Zapisujemy mnożenie $a \cdot 5$ jako $5a$:$$0 = 5a + 10$$Aby wyznaczyć $a$, musimy przenieść liczbę $10$ na lewą stronę równania. Pamiętamy, że przy przenoszeniu na drugą stronę znaku równości należy zmienić znak liczby na przeciwny:$$-10 = 5a$$Teraz, aby otrzymać samo $a$, musimy podzielić obie strony równania przez liczbę stojącą przy niewiadomej, czyli przez $5$:$$a = \frac{-10}{5}$$Wykonujemy dzielenie liczby $-10$ przez $5$:$$a = -2$$d) Zapisanie końcowego wzoru funkcji. Mamy już obie potrzebne wartości: współczynnik kierunkowy $a = -2$ oraz wyraz wolny $b = 10$. Podstawiamy je do wzoru ogólnego $f\left( x \right) = ax + b$:$$f\left( x \right) = -2x + 10$$Wzór szukanej funkcji to $f\left( x \right) = -2x + 10$.

Zadanie 2 (3 pkt)

Funkcja liniowa $f$ jest opisana wzorem $f(x) = -3x + 4\sqrt{2}$ a) Wyznacz argumenty, dla których funkcja $f$ przyjmuje wartości należące do przedziału $\left\langle -2\sqrt{2}, 7\sqrt{2} \right\rangle$ b) Wykaż, że liczba $f\left( \frac{4\sqrt{2} - 5}{3} \right)$ jest wymierna

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

WSKAZÓWKI: 1) W podpunkcie a) musisz zapisać podany warunek w formie nierówności podwójnej. Skoro wartości funkcji mają należeć do przedziału $\left\langle -2\sqrt{2}, 7\sqrt{2} \right\rangle$, to znaczy, że musi zachodzić relacja:$$-2\sqrt{2} \leq f\left( x \right) \leq 7\sqrt{2}$$Podstaw wzór funkcji w miejsce $f\left( x \right)$ i rozwiąż tę nierówność, pamiętając o zmianie zwrotu znaków przy dzieleniu przez liczbę ujemną. 2) W podpunkcie b) należy obliczyć wartość funkcji dla konkretnego argumentu. W miejsce każdego $x$ we wzorze funkcji podstaw wyrażenie $\frac{4\sqrt{2} - 5}{3}$. 3) Pamiętaj, że liczba wymierna to taka, którą można zapisać w postaci ułamka zwykłego o liczniku i mianowniku całkowitym (np. każda liczba całkowita jest wymierna). Podczas obliczeń w podpunkcie b) zwróć uwagę na to, czy pierwiastki się uproszczą (zredukują). ROZWIĄZANIE: a) Wyznaczanie argumentów, dla których wartości funkcji należą do przedziału $\left\langle -2\sqrt{2}, 7\sqrt{2} \right\rangle$. Zapisujemy nierówność podwójną, korzystając ze wzoru funkcji $f\left( x \right) = -3x + 4\sqrt{2}$:$$-2\sqrt{2} \leq -3x + 4\sqrt{2} \leq 7\sqrt{2}$$Naszym celem jest wyizolowanie niewiadomej $x$ w środku nierówności. W pierwszym kroku musimy pozbyć się wyrażenia $4\sqrt{2}$. W tym celu odejmujemy tę wartość od wszystkich trzech stron nierówności:$$-2\sqrt{2} - 4\sqrt{2} \leq -3x \leq 7\sqrt{2} - 4\sqrt{2}$$Wykonujemy odejmowanie wyrazów podobnych. Po lewej stronie mamy $-2$ pierwiastki minus $4$ pierwiastki, co daje $-6$, a po prawej $7$ pierwiastków minus $4$ pierwiastki, co daje $3$:$$-6\sqrt{2} \leq -3x \leq 3\sqrt{2}$$Teraz musimy podzielić wszystkie strony nierówności przez liczbę stojącą przy $x$, czyli przez $-3$. Bardzo ważne jest, aby przy dzieleniu przez liczbę ujemną zmienić zwrot obu znaków nierówności na przeciwny:$$\frac{-6\sqrt{2}}{-3} \geq \frac{-3x}{-3} \geq \frac{3\sqrt{2}}{-3}$$Obliczamy wyniki dzieleń. Po lewej stronie $-6$ podzielone przez $-3$ daje $2$, a po prawej stronie $3$ podzielone przez $-3$ daje $-1$:$$2\sqrt{2} \geq x \geq -1\sqrt{2}$$Zapisujemy to w bardziej standardowej kolejności, od najmniejszej do największej wartości:$$-1\sqrt{2} \leq x \leq 2\sqrt{2}$$Zatem argumenty $x$ należą do przedziału:$$x \in \left\langle -\sqrt{2}, 2\sqrt{2} \right\rangle$$b) Wykazanie, że liczba $f\left( \frac{4\sqrt{2} - 5}{3} \right)$ jest wymierna. Podstawiamy podany argument $x = \frac{4\sqrt{2} - 5}{3}$ do wzoru funkcji $f\left( x \right) = -3x + 4\sqrt{2}$:$$f\left( \frac{4\sqrt{2} - 5}{3} \right) = -3 \cdot \left( \frac{4\sqrt{2} - 5}{3} \right) + 4\sqrt{2}$$Zauważamy, że mnożymy liczbę $-3$ przez ułamek, który w mianowniku ma liczbę $3$. Możemy zatem skrócić te trójki. Pamiętamy jednak, że przed ułamkiem zostanie znak minus:$$f\left( \frac{4\sqrt{2} - 5}{3} \right) = -1 \cdot \left( 4\sqrt{2} - 5 \right) + 4\sqrt{2}$$Teraz wykonujemy mnożenie przez $-1$, co oznacza zmianę znaku każdego wyrazu wewnątrz nawiasu na przeciwny:$$f\left( \frac{4\sqrt{2} - 5}{3} \right) = -4\sqrt{2} + 5 + 4\sqrt{2}$$Zauważamy, że wyrażenia $-4\sqrt{2}$ oraz $4\sqrt{2}$ są liczbami przeciwnymi, więc ich suma wynosi $0$. Możemy je zredukować:$$f\left( \frac{4\sqrt{2} - 5}{3} \right) = 5$$Otrzymana liczba $5$ jest liczbą całkowitą, a każda liczba całkowita jest liczbą wymierną (można ją zapisać np. jako $\frac{5}{1}$). Zatem wykazaliśmy, że wartość funkcji dla tego argumentu jest liczbą wymierną.

Zadanie 3 (3 pkt)

Funkcja $f$ określona jest wzorem: $$f(x) = \begin{cases} -2x - 8, & \text{jeśli } x \in \left( -\infty, -2 \right) \\ 3x + 2, & \text{jeśli } x \in \left[ -2, +\infty \right) \end{cases}$$ a) Oblicz wartość funkcji $f$ dla argumentu $-5$ b) Oblicz miejsca zerowe funkcji $f$ c) Podaj współrzędne punktu wspólnego wykresu funkcji $f$ i osi $OY$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

WSKAZÓWKI: 1) Aby obliczyć wartość funkcji dla konkretnego argumentu, najpierw sprawdź, w którym z podanych przedziałów znajduje się ta liczba. Wybierz odpowiedni wzór przypisany do tego przedziału i podstaw liczbę w miejsce $x$. 2) Miejsce zerowe to taki argument $x$, dla którego $f(x) = 0$. Przyrównaj oba wzory funkcji do zera i rozwiąż otrzymane równania liniowe. Pamiętaj, aby na końcu sprawdzić, czy otrzymany wynik (liczba) faktycznie należy do przedziału, dla którego dany wzór został określony. 3) Oś $OY$ składa się z punktów, których pierwsza współrzędna (argument) zawsze wynosi $x = 0$. Aby znaleźć punkt przecięcia z tą osią, musisz obliczyć wartość funkcji dla argumentu $0$, wybierając właściwy wzór na podstawie przedziału, w którym znajduje się liczba $0$. ROZWIĄZANIE: a) Obliczanie wartości funkcji $f$ dla argumentu $-5$. W pierwszej kolejności sprawdzamy, do którego z dwóch przedziałów określonych w klamrze należy liczba $-5$. Analizujemy pierwszy przedział: $x \in \left( -\infty, -2 \right)$. Ponieważ liczba $-5$ jest mniejsza od $-2$, to należy ona właśnie do tego zakresu. Korzystamy ze wzoru przypisanego do tego przedziału:$$f(x) = -2x - 8$$Podstawiamy liczbę $-5$ w miejsce każdej litery $x$ występującej we wzorze:$$f(-5) = -2 \cdot \left( -5 \right) - 8$$Najpierw wykonujemy mnożenie. Mnożymy liczbę $-2$ przez liczbę $-5$. Iloczyn dwóch liczb o tych samych znakach (ujemnych) daje wynik dodatni:$$f(-5) = 10 - 8$$Teraz wykonujemy odejmowanie:$$f(-5) = 2$$Wartość funkcji dla argumentu $-5$ wynosi $2$. b) Obliczanie miejsc zerowych funkcji $f$. Aby znaleźć miejsca zerowe, musimy sprawdzić, dla jakich argumentów $x$ wartość funkcji wynosi $0$. Rozpatrujemy dwa przypadki, odpowiadające dwóm częściom wzoru funkcji. Przypadek 1: $x \in \left( -\infty, -2 \right)$. Przyrównujemy wzór $-2x - 8$ do zera:$$-2x - 8 = 0$$Przenosimy liczbę $-8$ na prawą stronę równania, pamiętając o zmianie znaku na przeciwny (z minusa na plus):$$-2x = 8$$Aby wyznaczyć $x$, dzielimy obie strony równania przez liczbę stojącą przy niewiadomej, czyli przez $-2$:$$x = \frac{8}{-2}$$$$x = -4$$Sprawdzamy, czy wynik $x = -4$ należy do dziedziny tego przypadku, czyli do przedziału $\left( -\infty, -2 \right)$. Ponieważ $-4 < -2$, warunek jest spełniony. Liczba $-4$ jest miejscem zerowym. Przypadek 2: $x \in \left[ -2, +\infty \right)$. Przyrównujemy wzór $3x + 2$ do zera:$$3x + 2 = 0$$Przenosimy liczbę $2$ na prawą stronę równania, zmieniając jej znak na przeciwny:$$3x = -2$$Dzielimy obie strony równania przez liczbę $3$, aby otrzymać $x$:$$x = \frac{-2}{3}$$$$x = -\frac{2}{3}$$Sprawdzamy, czy wynik $x = -\frac{2}{3}$ należy do przedziału $\left[ -2, +\infty \right)$. Ponieważ ułamek $-\frac{2}{3}$ ma wartość około $-0,67$, a jest to liczba większa od $-2$, wynik ten mieści się w dziedzinie drugiego wzoru. Zatem $-\frac{2}{3}$ jest drugim miejscem zerowym. Funkcja posiada dwa miejsca zerowe: $x = -4$ oraz $x = -\frac{2}{3}$. c) Podawanie współrzędnych punktu wspólnego wykresu funkcji $f$ i osi $OY$. Punkt przecięcia z osią $OY$ ma zawsze współrzędną $x = 0$. Musimy ustalić, który wzór funkcji obowiązuje dla liczby $0$. Sprawdzamy przedziały: liczba $0$ jest większa od $-2$, zatem należy do drugiego przedziału, czyli $x \in \left[ -2, +\infty \right)$. Wykorzystujemy wzór:$$f(x) = 3x + 2$$Podstawiamy $x = 0$ do równania:$$f(0) = 3 \cdot 0 + 2$$Wykonujemy mnożenie przez zero, co daje wynik zero:$$f(0) = 0 + 2$$$$f(0) = 2$$Otrzymaliśmy wartość $y = 2$. Współrzędne punktu zapisujemy jako parę $\left( x, y \right)$. Współrzędne punktu wspólnego z osią $OY$ to $\left( 0, 2 \right)$.

Zadanie 4 (3 pkt)

Dane są dwie funkcje liniowe: $f(x) = 3x - 3$ oraz $g(x) = -x + 5$ a) Oblicz, dla jakiego argumentu obie funkcje przyjmują tę samą wartość. Ile ta wartość wynosi? b) Wyznacz zbiór argumentów, dla których obie funkcje przyjmują jednocześnie wartości dodatnie c) Naszkicuj wykresy obu funkcji we wspólnym układzie współrzędnych i sprawdź na rysunku poprawność swoich obliczeń

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

WSKAZÓWKI: 1) W podpunkcie a), aby znaleźć argument, dla którego funkcje przyjmują tę samą wartość, musisz przyrównać wzory obu funkcji do siebie, czyli rozwiązać równanie $f\left( x \right) = g\left( x \right)$. Po wyznaczeniu $x$ (argumentu), podstaw go do dowolnego ze wzorów, aby obliczyć tę wartość (igrek). 2) W podpunkcie b) obie funkcje mają przyjmować wartości dodatnie jednocześnie. Oznacza to, że musisz zapisać i rozwiązać układ dwóch nierówności: $f\left( x \right) > 0$ oraz $g\left( x \right) > 0$. Rozwiązaniem końcowym będzie część wspólna (iloczyn) otrzymanych zbiorów. 3) W podpunkcie c), aby naszkicować wykresy, wyznacz dla każdej funkcji co najmniej dwa charakterystyczne punkty (np. miejsca zerowe i punkty przecięcia z osią $OY$). Po narysowaniu linii sprawdź, czy punkt ich przecięcia pokrywa się z Twoimi obliczeniami z punktu a) oraz czy obie linie znajdują się nad osią $OX$ w przedziale wyznaczonym w punkcie b). ROZWIĄZANIE: a) Obliczanie argumentu, dla którego funkcje przyjmują tę samą wartość oraz wyznaczanie tej wartości. Zapisujemy równanie, w którym przyrównujemy wzory obu funkcji:$$3x - 3 = -x + 5$$W pierwszym kroku musimy pogrupować wyrazy z niewiadomą $x$ po lewej stronie, a liczby po prawej stronie równania. Przenosimy wyrażenie $-x$ z prawej strony na lewą, zmieniając znak na przeciwny (na $+x$):$$3x + x - 3 = 5$$Teraz przenosimy liczbę $-3$ z lewej strony na prawą, również zmieniając jej znak na przeciwny (na $+3$):$$3x + x = 5 + 3$$Wykonujemy dodawanie wyrazów podobnych po obu stronach. $3x + x$ to inaczej $3x + 1x$, co daje $4x$, natomiast $5 + 3$ to $8$:$$4x = 8$$Aby wyznaczyć samą wartość $x$, musimy podzielić obie strony równania przez liczbę stojącą przy niewiadomej, czyli przez $4$:$$x = \frac{8}{4}$$$$x = 2$$Argument, dla którego wartości są równe, wynosi $2$. Teraz obliczamy tę wartość, podstawiając $x = 2$ do wzoru funkcji $f\left( x \right) = 3x - 3$:$$f\left( 2 \right) = 3 \cdot 2 - 3$$$$f\left( 2 \right) = 6 - 3$$$$f\left( 2 \right) = 3$$Dla sprawdzenia podstawiamy też do wzoru $g\left( x \right) = -x + 5$:$$g\left( 2 \right) = -2 + 5$$$$g\left( 2 \right) = 3$$Obie funkcje dla argumentu $2$ przyjmują wartość $3$. b) Wyznaczanie zbioru argumentów, dla których obie funkcje przyjmują jednocześnie wartości dodatnie. Musimy rozwiązać dwa warunki jednocześnie: $f\left( x \right) > 0$ oraz $g\left( x \right) > 0$. Rozwiązujemy pierwszą nierówność dla funkcji $f$:$$3x - 3 > 0$$Przenosimy liczbę $-3$ na prawą stronę ze zmianą znaku:$$3x > 3$$Dzielimy obie strony przez $3$:$$x > \frac{3}{3}$$$$x > 1$$Otrzymujemy pierwszy zbiór: $x \in \left( 1, +\infty \right)$. Rozwiązujemy drugą nierówność dla funkcji $g$:$$-x + 5 > 0$$Przenosimy liczbę $5$ na prawą stronę ze zmianą znaku:$$-x > -5$$Aby pozbyć się minusa przy $x$, musimy podzielić (lub pomnożyć) obie strony przez $-1$. Pamiętamy o zmianie zwrotu znaku nierówności:$$x < \frac{-5}{-1}$$$$x < 5$$Otrzymujemy drugi zbiór: $x \in \left( -\infty, 5 \right)$. Teraz wyznaczamy część wspólną obu warunków. Argumenty muszą być jednocześnie większe od $1$ i mniejsze od $5$:$$1 < x < 5$$Zbiór argumentów to przedział:$$x \in \left( 1, 5 \right)$$c) Szkicowanie wykresów i sprawdzenie poprawności. Aby narysować prostą $f\left( x \right) = 3x - 3$, wyznaczamy punkty: 1. Przecięcie z osią $OY$: $\left( 0, f\left( 0 \right) \right) = \left( 0, 3 \cdot 0 - 3 \right) = \left( 0, -3 \right)$. 2. Miejsce zerowe: $3x - 3 = 0 \Rightarrow 3x = 3 \Rightarrow x = 1$, czyli punkt $\left( 1, 0 \right)$. Aby narysować prostą $g\left( x \right) = -x + 5$, wyznaczamy punkty: 1. Przecięcie z osią $OY$: $\left( 0, g\left( 0 \right) \right) = \left( 0, -0 + 5 \right) = \left( 0, 5 \right)$. 2. Miejsce zerowe: $-x + 5 = 0 \Rightarrow -x = -5 \Rightarrow x = 5$, czyli punkt $\left( 5, 0 \right)$. Po narysowaniu obu prostych w układzie współrzędnych zauważymy, że: - Proste przecinają się dokładnie w punkcie $\left( 2, 3 \right)$, co potwierdza wynik z punktu a). - Obie proste znajdują się nad osią $OX$ (czyli przyjmują wartości dodatnie) tylko na obszarze pomiędzy ich miejscami zerowymi, czyli dla $x$ od $1$ do $5$. To potwierdza wynik z punktu b).

Zadanie 5 (3 pkt)

Dane są dwie funkcje liniowe: $f(x) = (m - 2)x + 2m + 3$ i $g(x) = m + 1 + (6 - m)x$. Wyznacz wszystkie wartości $m$, dla których: a) funkcja $f$ jest rosnąca i jednocześnie funkcja $g$ jest malejąca b) wykresy funkcji $f$ i $g$ są równoległe c) obie funkcje przyjmują tę samą wartość dla argumentu $1$ d) wykresy funkcji $f$ i $g$ przecinają oś $OY$ w tym samym punkcie. e) Czy istnieje taka wartość $m$, dla której liczba $3$ jest wspólnym miejscem zerowym funkcji $f$ i $g$? Odpowiedź uzasadnij

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

WSKAZÓWKI: 1) Funkcja liniowa o wzorze $y = ax + b$ jest rosnąca, gdy współczynnik kierunkowy $a$ jest większy od zera ($a > 0$), a malejąca, gdy współczynnik kierunkowy jest mniejszy od zera ($a < 0$). Zidentyfikuj, co pełni rolę $a$ w obu funkcjach i ułóż odpowiedni układ nierówności. 2) Wykresy dwóch funkcji liniowych są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy ich współczynniki kierunkowe są sobie równe. Przyrównaj wartości stojące przy $x$ w obu wzorach. 3) Aby funkcje przyjmowały tę samą wartość dla argumentu $1$, musisz podstawić liczbę $1$ w miejsce $x$ do obu wzorów, a następnie przyrównać otrzymane wyrażenia do siebie i rozwiązać równanie z niewiadomą $m$. 4) Wykres funkcji liniowej przecina oś $OY$ w punkcie o współrzędnych $(0, b)$, gdzie $b$ to wyraz wolny. Wypisz wyrazy wolne obu funkcji (części wzorów, które nie zawierają $x$) i sprawdź, dla jakiego $m$ są one równe. 5) Aby liczba $3$ była wspólnym miejscem zerowym, musi zachodzić jednocześnie $f(3) = 0$ oraz $g(3) = 0$. Wyznacz wartość $m$, dla której pierwsza funkcja zeruje się w trójce, potem zrób to samo dla drugiej funkcji i sprawdź, czy otrzymane wyniki są identyczne. ROZWIĄZANIE: Zacznijmy od uporządkowania wzorów obu funkcji, aby wyraźnie widzieć współczynnik kierunkowy (liczbę przy $x$) oraz wyraz wolny. Wzór funkcji $f$:$$f(x) = (m - 2)x + (2m + 3)$$Tutaj współczynnik kierunkowy to $a_{f} = m - 2$, a wyraz wolny to $b_{f} = 2m + 3$. Wzór funkcji $g$:$$g(x) = (6 - m)x + (m + 1)$$W tej funkcji współczynnik kierunkowy to $a_{g} = 6 - m$, a wyraz wolny to $b_{g} = m + 1$. a) Wyznaczanie $m$, dla którego $f$ rośnie i $g$ maleje. Funkcja $f$ jest rosnąca, gdy jej współczynnik kierunkowy jest dodatni:$$m - 2 > 0$$Przenosimy liczbę $-2$ na prawą stronę ze zmianą znaku:$$m > 2$$Funkcja $g$ jest malejąca, gdy jej współczynnik kierunkowy jest ujemny:$$6 - m < 0$$Przenosimy liczbę $6$ na prawą stronę ze zmianą znaku:$$-m < -6$$Dzielimy obie strony przez $-1$, co powoduje zmianę zwrotu znaku nierówności na przeciwny:$$m > 6$$Szukamy części wspólnej obu warunków ($m > 2$ oraz $m > 6$). Oba warunki są spełnione jednocześnie dla:$$m \in (6, +\infty)$$b) Wyznaczanie $m$, dla którego wykresy są równoległe. Wykresy są równoległe, gdy $a_{f} = a_{g}$. Podstawiamy nasze współczynniki:$$m - 2 = 6 - m$$Przenosimy wszystkie wyrazy z niewiadomą $m$ na lewą stronę, a liczby na prawą, zmieniając ich znaki:$$m + m = 6 + 2$$$$2m = 8$$Dzielimy obie strony równania przez $2$:$$m = 4$$c) Wyznaczanie $m$, dla którego funkcje przyjmują tę samą wartość dla argumentu $1$. Najpierw obliczamy wartość $f(1)$, podstawiając $1$ w miejsce $x$:$$f(1) = (m - 2) \cdot 1 + 2m + 3$$$$f(1) = m - 2 + 2m + 3$$$$f(1) = 3m + 1$$Teraz obliczamy wartość $g(1)$:$$g(1) = m + 1 + (6 - m) \cdot 1$$$$g(1) = m + 1 + 6 - m$$Wartości $m$ oraz $-m$ redukują się:$$g(1) = 7$$Przyrównujemy oba wyniki:$$3m + 1 = 7$$Przenosimy jedynkę na prawą stronę:$$3m = 7 - 1$$$$3m = 6$$Dzielimy przez $3$:$$m = 2$$d) Wyznaczanie $m$, dla którego wykresy przecinają oś $OY$ w tym samym punkcie. Punkt przecięcia z osią $OY$ zależy od wyrazu wolnego. Musi zachodzić równość $b_{f} = b_{g}$:$$2m + 3 = m + 1$$Przenosimy $m$ na lewo, a liczbę $3$ na prawo ze zmianą znaków:$$2m - m = 1 - 3$$$$m = -2$$e) Sprawdzenie, czy istnieje wspólne miejsce zerowe równe $3$. Sprawdzamy, dla jakiego $m$ liczba $3$ jest miejscem zerowym funkcji $f$ ($f(3) = 0$):$$(m - 2) \cdot 3 + 2m + 3 = 0$$Mnożymy nawias przez $3$:$$3m - 6 + 2m + 3 = 0$$Grupujemy wyrazy z $m$ i liczby:$$5m - 3 = 0$$$$5m = 3$$$$m = \frac{3}{5}$$Teraz sprawdzamy, dla jakiego $m$ liczba $3$ jest miejscem zerowym funkcji $g$ ($g(3) = 0$):$$m + 1 + (6 - m) \cdot 3 = 0$$Mnożymy nawias przez $3$:$$m + 1 + 18 - 3m = 0$$$$-2m + 19 = 0$$$$-2m = -19$$$$m = \frac{19}{2} = 9,5$$Ponieważ dla każdej funkcji otrzymaliśmy inną wartość parametru $m$ ($m = \frac{3}{5}$ oraz $m = 9,5$), nie istnieje taka jedna wartość $m$, dla której obie funkcje miałyby wspólne miejsce zerowe równe $3$.

Grupa B

Zadanie 1 (3 pkt)

Wykres funkcji liniowej $f$ przecina oś $OY$ w punkcie $\left( 0, -12 \right)$. Funkcja $f$ przyjmuje wartości ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy $x \in \left( -\infty, 4 \right)$. Wyznacz wzór funkcji $f$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 2 (3 pkt)

Funkcja liniowa $f$ jest opisana wzorem $f(x) = -5x + 6\sqrt{5}$ a) Wyznacz argumenty, dla których funkcja $f$ przyjmuje wartości należące do przedziału $\left\langle -4\sqrt{5}, 11\sqrt{5} \right\rangle$ b) Wykaż, że liczba $f\left( \frac{6\sqrt{5} - 10}{5} \right)$ jest wymierna

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 3 (3 pkt)

Funkcja $f$ określona jest wzorem: $$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{2}x + 3, & \text{jeśli } x \in \left( -\infty, -2 \right) \\ -x + 1, & \text{jeśli } x \in \left[ -2, +\infty \right) \end{cases}$$ a) Oblicz wartość funkcji $f$ dla argumentu $-4$ b) Oblicz miejsca zerowe funkcji $f$ c) Podaj współrzędne punktu wspólnego wykresu funkcji $f$ i osi $OY$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 4 (3 pkt)

Dane są dwie funkcje liniowe: $f(x) = \frac{1}{2}x + 2$ oraz $g(x) = -x + 5$ a) Oblicz, dla jakiego argumentu obie funkcje przyjmują tę samą wartość. Ile ta wartość wynosi? b) Wyznacz zbiór argumentów, dla których obie funkcje przyjmują jednocześnie wartości dodatnie c) Naszkicuj wykresy obu funkcji we wspólnym układzie współrzędnych i sprawdź na rysunku poprawność swoich obliczeń

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 5 (3 pkt)

Dane są dwie funkcje liniowe: $f(x) = (2m - 6)x + m + 10$ i $g(x) = 4m + 1 + (10 - 2m)x$. Wyznacz wszystkie wartości $m$, dla których: a) funkcja $f$ jest rosnąca i jednocześnie funkcja $g$ jest malejąca b) wykresy funkcji $f$ i $g$ są równoległe c) obie funkcje przyjmują tę samą wartość dla argumentu $1$ d) wykresy funkcji $f$ i $g$ przecinają oś $OY$ w tym samym punkcie. e) Czy istnieje taka wartość $m$, dla której liczba $5$ jest wspólnym miejscem zerowym funkcji $f$ i $g$? Odpowiedź uzasadnij.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

4.4 Własności funkcji liniowej – zadania różne

Grupa A

Zadanie 1 (3 pkt)

Zadanie 2 (3 pkt)

Zadanie 3 (3 pkt)

Zadanie 4 (3 pkt)

Zadanie 5 (3 pkt)

Grupa B

Zadanie 1 (3 pkt)

Zadanie 2 (3 pkt)

Zadanie 3 (3 pkt)

Zadanie 4 (3 pkt)

Zadanie 5 (3 pkt)

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Witaj na Liczbit 👋