WSKAZÓWKI: 1) Metoda przeciwnych współczynników polega na takim przekształceniu równań, aby przy jednej z niewiadomych ($x$ lub $y$) stały liczby o tej samej wartości, ale o przeciwnych znakach (np. $3$ i $-3$). 2) Gdy już uzyskasz przeciwne współczynniki, dodaj równania do siebie stronami. Oznacza to połączenie lewej strony pierwszego równania z lewą stroną drugiego oraz prawej strony pierwszego z prawą stroną drugiego. Jedna z niewiadomych zostanie wyeliminowana (wynik dodawania wyniesie $0$), co pozwoli obliczyć wartość drugiej niewiadomej. 3) W przykładach a) oraz b) przyjrzyj się ułamkom przy zmiennej $y$. Są one już niemal gotowe do redukcji. Sprawdź, czy ich wartości bezwzględne są takie same. 4) W przykładzie c) spróbuj najpierw pozbyć się ułamków dziesiętnych i zwykłych poprzez pomnożenie obu równań przez odpowiednie liczby (np. przez $10$). Ułatwi Ci to zauważenie relacji między współczynnikami. ROZWIĄZANIE: a) Mamy dany układ równań:$$\begin{cases} \frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 2 \\ \frac{x}{4} - \frac{y}{3} = -\frac{1}{2} \end{cases}$$1) Analiza współczynników. Przy zmiennej $y$ w pierwszym równaniu mamy współczynnik $+\frac{1}{3}$, a w drugim równaniu $-\frac{1}{3}$. Są to liczby przeciwne, więc możemy od razu dodać równania stronami bez dodatkowego mnożenia. 2) Dodawanie równań stronami. Sumujemy lewe strony: $\left( \frac{x}{2} + \frac{y}{3} \right) + \left( \frac{x}{4} - \frac{y}{3} \right)$ oraz prawe strony: $2 + \left( -\frac{1}{2} \right)$.$$\left( \frac{x}{2} + \frac{y}{3} \right) + \left( \frac{x}{4} - \frac{y}{3} \right) = 2 - \frac{1}{2}$$Zmienna $y$ redukuje się do zera, ponieważ $\frac{y}{3} - \frac{y}{3} = 0$. Zostaje równanie z jedną niewiadomą $x$:$$\frac{x}{2} + \frac{x}{4} = \frac{3}{2}$$Po prawej stronie liczba $\frac{3}{2}$ wzięła się z odejmowania: $2 - \frac{1}{2} = \frac{4}{2} - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$. 3) Obliczanie niewiadomej $x$. Aby dodać ułamki po lewej stronie, sprowadzamy je do wspólnego mianownika, którym jest $4$. Rozszerzamy ułamek $\frac{x}{2}$ mnożąc licznik i mianownik przez $2$, co daje $\frac{2x}{4}$:$$\frac{2x}{4} + \frac{x}{4} = \frac{3}{2}$$$$\frac{3x}{4} = \frac{3}{2}$$Mnożymy obie strony równania przez $4$, aby pozbyć się mianownika po lewej stronie:$$3x = \frac{3}{2} \cdot 4$$$$3x = \frac{12}{2}$$$$3x = 6$$Teraz dzielimy obie strony przez $3$, aby wyznaczyć $x$:$$x = \frac{6}{3}$$$$x = 2$$4) Obliczanie niewiadomej $y$. Podstawiamy wyliczone $x = 2$ do pierwszego równania z pierwotnego układu:$$\frac{2}{2} + \frac{y}{3} = 2$$Liczba $1$ bierze się z dzielenia $2$ przez $2$:$$1 + \frac{y}{3} = 2$$Przenosimy liczbę $1$ na prawą stronę równania, pamiętając o zmianie znaku na przeciwny:$$\frac{y}{3} = 2 - 1$$$$\frac{y}{3} = 1$$Mnożymy obie strony równania przez $3$:$$y = 3$$Rozwiązaniem jest para liczb:$$\begin{cases} x = 2 \\ y = 3 \end{cases}$$b) Mamy dany układ równań:$$\begin{cases} 0.4x + \frac{y}{5} = 4 \\ 0.6x - \frac{y}{5} = 1 \end{cases}$$1) Analiza współczynników. Przy zmiennej $y$ mamy współczynniki $+\frac{1}{5}$ oraz $-\frac{1}{5}$. Są to liczby przeciwne, więc dodajemy równania stronami. 2) Dodawanie równań stronami. Dodajemy lewe strony: $(0.4x + \frac{y}{5}) + (0.6x - \frac{y}{5})$ oraz prawe strony: $4 + 1$.$$(0.4x + 0.6x) + \left( \frac{y}{5} - \frac{y}{5} \right) = 4 + 1$$Zmienna $y$ znika, ponieważ $\frac{y}{5} - \frac{y}{5} = 0$.$$1.0x = 5$$Liczba $1.0$ (czyli po prostu $1$) wzięła się z dodania $0.4$ oraz $0.6$. Zatem:$$x = 5$$3) Obliczanie niewiadomej $y$. Podstawiamy $x = 5$ do pierwszego równania:$$0.4 \cdot 5 + \frac{y}{5} = 4$$Obliczamy $0.4 \cdot 5$. Ponieważ $4 \cdot 5 = 20$, to $0.4 \cdot 5 = 2.0$, czyli $2$:$$2 + \frac{y}{5} = 4$$Przenosimy liczbę $2$ na prawą stronę ze zmianą znaku na minus:$$\frac{y}{5} = 4 - 2$$$$\frac{y}{5} = 2$$Mnożymy obie strony przez $5$:$$y = 10$$Rozwiązaniem jest para liczb:$$\begin{cases} x = 5 \\ y = 10 \end{cases}$$c) Mamy dany układ równań:$$\begin{cases} 0.2x + 0.3y = 1 \\ \frac{x}{5} + \frac{3y}{10} = 2 \end{cases}$$1) Przekształcenie równań w celu porównania współczynników. Zapiszmy pierwsze równanie używając ułamków zwykłych. Liczba $0.2$ to $\frac{2}{10}$, co po skróceniu daje $\frac{1}{5}$. Liczba $0.3$ to $\frac{3}{10}$.$$\begin{cases} \frac{1}{5}x + \frac{3}{10}y = 1 \\ \frac{1}{5}x + \frac{3}{10}y = 2 \end{cases}$$2) Przygotowanie do metody przeciwnych współczynników. Aby otrzymać przeciwne współczynniki, pomnóżmy pierwsze równanie przez $-1$:$$\begin{cases} -\frac{1}{5}x - \frac{3}{10}y = -1 \\ \frac{1}{5}x + \frac{3}{10}y = 2 \end{cases}$$3) Dodawanie równań stronami. Sumujemy lewe strony: $\left( -\frac{1}{5}x + \frac{1}{5}x \right) + \left( -\frac{3}{10}y + \frac{3}{10}y \right)$ oraz prawe strony: $-1 + 2$.$$0 + 0 = -1 + 2$$$$0 = 1$$4) Interpretacja wyniku. Otrzymaliśmy równanie $0 = 1$, które jest fałszywe (sprzeczność). Oznacza to, że nie istnieją takie liczby $x$ i $y$, które spełniałyby oba równania jednocześnie. Układ ten nazywamy układem sprzecznym. Układ nie posiada rozwiązań.