WSKAZÓWKI: 1) W przykładzie a) w pierwszym równaniu wymnóż liczbę przez nawias, a w drugim zastosuj wzory skróconego mnożenia na kwadrat sumy $\left(a+b\right)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ oraz kwadrat różnicy $\left(a-b\right)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}$. Pamiętaj, że minus przed nawiasem zmienia znaki wszystkich wyrazów wewnątrz. 2) W przykładzie b) w pierwszym równaniu wykonaj mnożenie każdego wyrazu z pierwszego nawiasu przez każdy wyraz z drugiego nawiasu. W drugim równaniu zauważ, że wyrażenie $x\left(x+y\right) + y\left(x+y\right)$ można zapisać jako $\left(x+y\right)\left(x+y\right)$, czyli $\left(x+y\right)^{2}$. To znacznie uprości obliczenia. 3) W przykładzie c) w pierwszym równaniu zauważ, że $\left(3y-2\right)\left(-2-3y\right)$ to inaczej $-\left(3y-2\right)\left(3y+2\right)$, co pozwala na użycie wzoru na różnicę kwadratów $\left(a-b\right)\left(a+b\right) = a^{2} - b^{2}$. W drugim równaniu również skorzystaj z tego wzoru dla wyrażenia $\left(2y-x\right)\left(2y+x\right)$. ROZWIĄZANIE: a) Rozwiązanie układu:$$\begin{cases} 3\left(x-y\right)-6=-3y \\ x-\left(y+2\right)^2=5-\left(y-2\right)^2 \end{cases}$$Zaczynamy od uproszczenia pierwszego równania. Mnożymy liczbę $3$ przez wyrazy w nawiasie ($3 \cdot x$ oraz $3 \cdot \left(-y\right)$):$$3x - 3y - 6 = -3y$$Dodajemy $3y$ do obu stron równania, aby zgrupować niewiadome. Zauważamy, że $-3y$ po obu stronach się skróci (wynik to $0$):$$3x - 6 = 0$$Przenosimy liczbę $-6$ na prawą stronę, zmieniając znak na przeciwny:$$3x = 6$$Dzielimy obie strony przez $3$, aby otrzymać wartość $x$:$$x = \frac{6}{3}$$$$x = 2$$Teraz zajmiemy się drugim równaniem, stosując wzory skróconego mnożenia dla $\left(y+2\right)^{2}$ oraz $\left(y-2\right)^{2}$:$$x - \left(y^{2} + 4y + 4\right) = 5 - \left(y^{2} - 4y + 4\right)$$Zmieniamy znaki w nawiasach ze względu na stojące przed nimi minusy:$$x - y^{2} - 4y - 4 = 5 - y^{2} + 4y - 4$$Podstawiamy wyliczoną wcześniej wartość $x = 2$ do tego równania:$$2 - y^{2} - 4y - 4 = 5 - y^{2} + 4y - 4$$Upraszczamy obie strony. Po lewej $2 - 4 = -2$, po prawej $5 - 4 = 1$:$$-y^{2} - 4y - 2 = -y^{2} + 4y + 1$$Dodajemy $y^{2}$ do obu stron, co spowoduje ich redukcję:$$-4y - 2 = 4y + 1$$Przenosimy $4y$ z prawej strony na lewą (ze zmianą znaku na $-4y$) oraz $-2$ z lewej na prawą (ze zmianą znaku na $+2$):$$-4y - 4y = 1 + 2$$$$-8y = 3$$Dzielimy obie strony przez $-8$:$$y = -\frac{3}{8}$$Rozwiązanie to:$$\begin{cases} x = 2 \\ y = -\frac{3}{8} \end{cases}$$b) Rozwiązanie układu:$$\begin{cases} \left(x+2\right)\left(y-1\right)-\left(x-1\right)\left(y+2\right)=3 \\ \left(x+y\right)^2+y-1=x\left(x+y\right)+y\left(x+y\right)+x \end{cases}$$Upraszczamy pierwsze równanie poprzez mnożenie nawiasów:$$\left(xy - x + 2y - 2\right) - \left(xy + 2x - y - 2\right) = 3$$Opuszczamy nawiasy, pamiętając o zmianie znaków w drugim nawiasie:$$xy - x + 2y - 2 - xy - 2x + y + 2 = 3$$Redukujemy wyrazy podobne. $xy - xy = 0$ oraz $-2 + 2 = 0$. Zostaje:$$-3x + 3y = 3$$Dzielimy całe równanie przez $3$:$$-x + y = 1$$Wyznaczamy $y$, przenosząc $-x$ na prawą stronę:$$y = x + 1$$Teraz upraszczamy drugie równanie. Zauważamy, że po prawej stronie możemy wyłączyć $\left(x+y\right)$ przed nawias:$$\left(x+y\right)^{2} + y - 1 = \left(x+y\right)\left(x+y\right) + x$$$$\left(x+y\right)^{2} + y - 1 = \left(x+y\right)^{2} + x$$Odejmujemy $\left(x+y\right)^{2}$ od obu stron równania:$$y - 1 = x$$Podstawiamy nasze wyznaczone $y = x + 1$ do tego równania:$$\left(x + 1\right) - 1 = x$$$$x = x$$$$0 = 0$$Otrzymaliśmy tożsamość, co oznacza, że każde $x$ i $y$ spełniające warunek $y = x + 1$ są rozwiązaniem. Jest to układ nieoznaczony (nieskończenie wiele rozwiązań). c) Rozwiązanie układu:$$\begin{cases} 6x=\left(3y-2\right)\left(-2-3y\right)+\left(3y+1\right)^2-3 \\ \left(2y-3\right)^2-\left(2y-x\right)\left(2y+x\right)=x\left(x-4\right) \end{cases}$$Upraszczamy pierwsze równanie. Wyrażenie $\left(3y-2\right)\left(-2-3y\right)$ zapisujemy jako $-\left(3y-2\right)\left(3y+2\right)$:$$6x = -\left(9y^{2} - 4\right) + \left(9y^{2} + 6y + 1\right) - 3$$Zdejmujemy nawiasy:$$6x = -9y^{2} + 4 + 9y^{2} + 6y + 1 - 3$$Redukujemy $y^{2}$ i sumujemy liczby $4 + 1 - 3 = 2$:$$6x = 6y + 2$$Dzielimy przez $2$:$$3x = 3y + 1$$Wyznaczamy $x$:$$x = \frac{3y + 1}{3} = y + \frac{1}{3}$$Upraszczamy drugie równanie:$$\left(4y^{2} - 12y + 9\right) - \left(4y^{2} - x^{2}\right) = x^{2} - 4x$$$$4y^{2} - 12y + 9 - 4y^{2} + x^{2} = x^{2} - 4x$$Redukujemy $4y^{2}$ oraz $x^{2}$ po obu stronach:$$-12y + 9 = -4x$$Podstawiamy $x = y + \frac{1}{3}$:$$-12y + 9 = -4 \cdot \left(y + \frac{1}{3}\right)$$$$-12y + 9 = -4y - \frac{4}{3}$$Przenosimy niewiadome na lewo, liczby na prawo:$$-12y + 4y = -\frac{4}{3} - 9$$$$-8y = -\frac{4}{3} - \frac{27}{3}$$$$-8y = -\frac{31}{3}$$Dzielimy przez $-8$ (mnożymy przez $-\frac{1}{8}$):$$y = \frac{31}{24}$$Obliczamy $x$ podstawiając $y$ do $x = y + \frac{1}{3}$:$$x = \frac{31}{24} + \frac{8}{24} = \frac{39}{24}$$Skracamy przez $3$:$$x = \frac{13}{8}$$Rozwiązanie to:$$\begin{cases} x = \frac{13}{8} \\ y = \frac{31}{24} \end{cases}$$