Funkcja liniowa. Wykres i miejsce zerowe funkcji liniowej kartkówka LiczBit

4.2 Funkcja liniowa. Wykres i miejsce zerowe funkcji liniowej

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1 (3 pkt)

Wyznacz wzór funkcji liniowej, której wykres przechodzi przez punkty $A$ i $B$. a) $A\left( 0, -3 \right)$, $B\left( 4, 5 \right)$ b) $A\left( 10, 1\frac{1}{3} \right)$, $B\left( 0, \frac{2}{3} \right)$ c) $A\left( \sqrt{3}+1, 2 \right)$, $B\left( 0, \sqrt{3} \right)$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

WSKAZÓWKI: 1) Każda funkcja liniowa (z wyjątkiem prostej pionowej) daje się zapisać w postaci kierunkowej:$$y = a \cdot x + b$$gdzie $a$ to współczynnik kierunkowy, a $b$ to wyraz wolny. 2) Jeśli wykres funkcji przechodzi przez dany punkt, np. $A\left( x_{A}, y_{A} \right)$, oznacza to, że po podstawieniu współrzędnych tego punktu do wzoru funkcji otrzymamy zdanie prawdziwe:$$y_{A} = a \cdot x_{A} + b$$3) Aby wyznaczyć wzór funkcji, należy stworzyć układ dwóch równań, podstawiając współrzędne obu punktów $A$ i $B$. Rozwiązując ten układ, wyznaczysz wartości parametrów $a$ oraz $b$. 4) Zauważ, że jeśli jeden z punktów ma współrzędną $x = 0$, to jego współrzędna $y$ jest bezpośrednio równa współczynnikowi $b$, ponieważ:$$y = a \cdot 0 + b$$$$y = b$$5) Pamiętaj o kolejności wykonywania działań oraz o tym, że przy przenoszeniu wyrażeń na drugą stronę równania zawsze zmieniamy ich znak na przeciwny. ROZWIĄZANIE: a) $A\left( 0, -3 \right)$, $B\left( 4, 5 \right)$ Szukamy wzoru w postaci $y = a \cdot x + b$. Zaczynamy od podstawienia współrzędnych punktu $A\left( 0, -3 \right)$, gdzie $x = 0$ oraz $y = -3$:$$-3 = a \cdot 0 + b$$Ponieważ mnożenie przez zero daje zero, otrzymujemy bezpośrednio:$$-3 = b$$Zatem współczynnik $b = -3$. Teraz podstawiamy współrzędne punktu $B\left( 4, 5 \right)$, czyli $x = 4$ oraz $y = 5$, a także wyznaczoną wartość $b = -3$ do wzoru ogólnego:$$5 = a \cdot 4 + \left( -3 \right)$$Uporządkujmy zapis:$$5 = 4 \cdot a - 3$$Przenosimy liczbę $-3$ na lewą stronę równania, pamiętając o zmianie znaku na przeciwny:$$5 + 3 = 4 \cdot a$$$$8 = 4 \cdot a$$Aby wyznaczyć wartość $a$, musimy podzielić obie strony równania przez $4$:$$a = \frac{8}{4}$$$$a = 2$$Wstawiamy wyznaczone wartości $a = 2$ oraz $b = -3$ do wzoru funkcji:$$y = 2 \cdot x - 3$$b) $A\left( 10, 1\frac{1}{3} \right)$, $B\left( 0, \frac{2}{3} \right)$ Podstawiamy najpierw punkt $B\left( 0, \frac{2}{3} \right)$, w którym $x = 0$. Pozwoli to od razu wyznaczyć $b$:$$\frac{2}{3} = a \cdot 0 + b$$$$\frac{2}{3} = 0 + b$$$$b = \frac{2}{3}$$Teraz zajmiemy się punktem $A\left( 10, 1\frac{1}{3} \right)$. Zamieńmy liczbę mieszaną $1\frac{1}{3}$ na ułamek niewłaściwy:$$1\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{4}{3}$$Podstawiamy $x = 10$, $y = \frac{4}{3}$ oraz $b = \frac{2}{3}$ do wzoru $y = a \cdot x + b$:$$\frac{4}{3} = a \cdot 10 + \frac{2}{3}$$Przenosimy ułamek $\frac{2}{3}$ na lewą stronę, zmieniając znak na minus:$$\frac{4}{3} - \frac{2}{3} = 10 \cdot a$$Odejmujemy liczniki, ponieważ mianowniki są takie same:$$\frac{2}{3} = 10 \cdot a$$Aby wyznaczyć $a$, dzielimy obie strony przez $10$. Dzielenie przez liczbę jest równe mnożeniu przez jej odwrotność:$$a = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{10}$$Mnożymy liczniki i mianowniki:$$a = \frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 10} = \frac{2}{30}$$Skracamy ułamek przez $2$:$$a = \frac{1}{15}$$Zapisujemy wzór funkcji:$$y = \frac{1}{15} \cdot x + \frac{2}{3}$$c) $A\left( \sqrt{3}+1, 2 \right)$, $B\left( 0, \sqrt{3} \right)$ Wykorzystujemy punkt $B\left( 0, \sqrt{3} \right)$, aby wyznaczyć $b$:$$\sqrt{3} = a \cdot 0 + b$$$$b = \sqrt{3}$$Podstawiamy współrzędne punktu $A$, gdzie $x = \sqrt{3} + 1$ oraz $y = 2$, i wartość $b = \sqrt{3}$ do równania:$$2 = a \cdot \left( \sqrt{3} + 1 \right) + \sqrt{3}$$Przenosimy $\sqrt{3}$ na lewą stronę ze zmienionym znakiem:$$2 - \sqrt{3} = a \cdot \left( \sqrt{3} + 1 \right)$$Dzielimy obie strony równania przez wyrażenie w nawiasie, aby wyizolować $a$:$$a = \frac{2 - \sqrt{3}}{\sqrt{3} + 1}$$Musimy usunąć niewymierność z mianownika. Mnożymy licznik i mianownik przez sprzężenie mianownika, czyli przez $\left( \sqrt{3} - 1 \right)$:$$a = \frac{\left( 2 - \sqrt{3} \right) \cdot \left( \sqrt{3} - 1 \right)}{\left( \sqrt{3} + 1 \right) \cdot \left( \sqrt{3} - 1 \right)}$$W mianowniku stosujemy wzór skróconego mnożenia $\left( x+y \right)\left( x-y \right) = x^{2} - y^{2}$:$$\left( \sqrt{3} + 1 \right) \cdot \left( \sqrt{3} - 1 \right) = \left( \sqrt{3} \right)^{2} - 1^{2} = 3 - 1 = 2$$W liczniku mnożymy każdy wyraz przez każdy:$$\left( 2 - \sqrt{3} \right) \cdot \left( \sqrt{3} - 1 \right) = 2 \cdot \sqrt{3} - 2 \cdot 1 - \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1$$$$= 2\sqrt{3} - 2 - 3 + \sqrt{3}$$$$= 3\sqrt{3} - 5$$Podstawiamy wyniki do ułamka:$$a = \frac{3\sqrt{3} - 5}{2}$$Możemy to zapisać jako:$$a = \frac{3}{2}\sqrt{3} - 2,5$$Ostateczny wzór funkcji to:$$y = \frac{3\sqrt{3} - 5}{2} \cdot x + \sqrt{3}$$

Zadanie 2 (3 pkt)

Oblicz współrzędne punktów przecięcia wykresu danej funkcji liniowej z osiami układu współrzędnych. a) $y = \sqrt{5}x - 5$ b) $y = 4 - \sqrt{2}$ c) $y = \frac{6-x}{2} - 2x$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

WSKAZÓWKI: 1) Punkt przecięcia z osią OY (osią rzędnych) ma zawsze pierwszą współrzędną równą 0. Aby go wyznaczyć, podstaw do wzoru funkcji $x = 0$ i oblicz odpowiadającą mu wartość $y$. Punkt ten zapisujemy w postaci $(0, y)$. 2) Punkt przecięcia z osią OX (osią odciętych) ma zawsze drugą współrzędną równą 0. Aby go wyznaczyć, podstaw do wzoru funkcji $y = 0$ i rozwiąż powstałe równanie liniowe względem zmiennej $x$. Otrzymana wartość $x$ to miejsce zerowe funkcji. Punkt ten zapisujemy w postaci $(x, 0)$. 3) W podpunkcie b) zwróć uwagę, że we wzorze funkcji nie występuje zmienna $x$. Oznacza to, że funkcja jest stała. Wykres takiej funkcji to prosta równoległa do osi OX. Zastanów się, czy taka prosta zawsze przecina oś OX. 4) W podpunkcie c) przed przystąpieniem do obliczeń warto uprościć wzór funkcji, wykonując dzielenie wyrazów w liczniku ułamka przez mianownik oraz redukcję wyrazów podobnych. Ułatwi to dalsze przekształcenia. ROZWIĄZANIE: a) $y = \sqrt{5}x - 5$ Wyznaczamy punkt przecięcia z osią OY: Podstawiamy $x = 0$ do wzoru funkcji:$$y = \sqrt{5} \cdot 0 - 5$$Dowolna liczba pomnożona przez $0$ daje $0$:$$y = 0 - 5$$Wykonujemy odejmowanie:$$y = -5$$Punkt przecięcia z osią OY to $(0, -5)$. Wyznaczamy punkt przecięcia z osią OX: Podstawiamy $y = 0$ do wzoru funkcji:$$0 = \sqrt{5}x - 5$$Przenosimy liczbę $-5$ na lewą stronę równania, zmieniając jej znak na przeciwny:$$5 = \sqrt{5}x$$Aby wyznaczyć $x$, musimy podzielić obie strony równania przez współczynnik stojący przy niewiadomej, czyli przez $\sqrt{5}$:$$x = \frac{5}{\sqrt{5}}$$Usuwamy niewymierność z mianownika, mnożąc licznik i mianownik przez $\sqrt{5}$:$$x = \frac{5 \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}}$$W mianowniku otrzymujemy $\sqrt{25}$, co jest równe $5$:$$x = \frac{5\sqrt{5}}{5}$$Skracamy liczbę $5$ w liczniku i mianowniku:$$x = \sqrt{5}$$Punkt przecięcia z osią OX to $(\sqrt{5}, 0)$. b) $y = 4 - \sqrt{2}$ Wyznaczamy punkt przecięcia z osią OY: Podstawiamy $x = 0$. Ponieważ we wzorze funkcji nie ma zmiennej $x$, wartość funkcji dla każdego argumentu jest stała i wynosi $4 - \sqrt{2}$:$$y = 4 - \sqrt{2}$$Punkt przecięcia z osią OY to $(0, 4 - \sqrt{2})$. Wyznaczamy punkt przecięcia z osią OX: Podstawiamy $y = 0$ do wzoru funkcji:$$0 = 4 - \sqrt{2}$$Zauważamy, że liczba $4 - \sqrt{2}$ jest różna od zera (ponieważ $4 \approx \sqrt{16} > \sqrt{2}$). Otrzymujemy równanie sprzeczne $0 \neq 4 - \sqrt{2}$. Oznacza to, że funkcja nie posiada miejsca zerowego. Brak punktu przecięcia z osią OX. c) $y = \frac{6-x}{2} - 2x$ Najpierw uprościmy wzór funkcji. Rozdzielamy ułamek na dwa oddzielne składniki:$$y = \frac{6}{2} - \frac{x}{2} - 2x$$Wykonujemy dzielenie $6 : 2 = 3$ oraz zapisujemy ułamek $\frac{x}{2}$ jako $\frac{1}{2}x$:$$y = 3 - \frac{1}{2}x - 2x$$Redukujemy wyrazy podobne zawierające zmienną $x$:$$y = 3 - \left(\frac{1}{2} + 2\right)x$$$$y = 3 - \frac{5}{2}x$$Wyznaczamy punkt przecięcia z osią OY: Podstawiamy $x = 0$:$$y = 3 - \frac{5}{2} \cdot 0$$$$y = 3 - 0$$$$y = 3$$Punkt przecięcia z osią OY to $(0, 3)$. Wyznaczamy punkt przecięcia z osią OX: Podstawiamy $y = 0$ do uproszczonego wzoru:$$0 = 3 - \frac{5}{2}x$$Przenosimy wyrażenie $-\frac{5}{2}x$ na lewą stronę równania, zmieniając znak na dodatni:$$\frac{5}{2}x = 3$$Aby wyznaczyć $x$, mnożymy obie strony równania przez odwrotność ułamka $\frac{5}{2}$, czyli przez $\frac{2}{5}$:$$x = 3 \cdot \frac{2}{5}$$$$x = \frac{6}{5}$$W postaci ułamka dziesiętnego:$$x = 1,2$$Punkt przecięcia z osią OX to $(1,2; 0)$.

Zadanie 3 (2 pkt)

Wykaż, że: a) liczba $\sqrt{5}-2$ jest miejscem zerowym funkcji liniowej $f\left(x\right) = \left(\sqrt{5}+2\right)x-1$; b) liczba $3+\sqrt{2}$ jest miejscem zerowym funkcji liniowej $f\left(x\right) = \left(3+\sqrt{2}\right)x-\left(11+6\sqrt{2}\right)$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

WSKAZÓWKI: 1) Miejsce zerowe funkcji to taki argument $x$, dla którego wartość funkcji wynosi $0$. Aby wykazać, że dana liczba jest miejscem zerowym, musisz podstawić ją w miejsce $x$ do wzoru funkcji i sprawdzić, czy po wykonaniu obliczeń otrzymasz wynik równy $0$. 2) W podpunkcie a) przydatny będzie wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów:$$(a-b)(a+b) = a^{2} - b^{2}$$Zauważ, że Twoje wyrażenia mają dokładnie taką postać. 3) W podpunkcie b) będziesz musiał zastosować wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy:$$(a+b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$$ponieważ będziesz mnożyć wyrażenie $(3+\sqrt{2})$ przez samo siebie. 4) Pamiętaj o dokładnym redukowaniu wyrazów podobnych i uważaj na znaki, zwłaszcza gdy przed nawiasem stoi minus. ROZWIĄZANIE: a) Wykazanie, że $x = \sqrt{5}-2$ jest miejscem zerowym funkcji $f(x) = (\sqrt{5}+2)x-1$. Aby to sprawdzić, obliczamy wartość funkcji dla argumentu $x = \sqrt{5}-2$:$$f(\sqrt{5}-2) = (\sqrt{5}+2) \cdot (\sqrt{5}-2) - 1$$W pierwszej części wyrażenia widzimy iloczyn sumy i różnicy tych samych wyrazów. Stosujemy wzór skróconego mnożenia $(a+b)(a-b) = a^{2}-b^{2}$, gdzie $a = \sqrt{5}$ oraz $b = 2$:$$f(\sqrt{5}-2) = \left( (\sqrt{5})^{2} - 2^{2} \right) - 1$$Obliczamy kwadraty liczb w nawiasie. Kwadrat pierwiastka z $5$ to $5$, a kwadrat liczby $2$ to $4$:$$f(\sqrt{5}-2) = (5 - 4) - 1$$Wykonujemy odejmowanie w nawiasie:$$f(\sqrt{5}-2) = 1 - 1$$$$f(\sqrt{5}-2) = 0$$Otrzymaliśmy wynik $0$, co kończy dowód, że liczba $\sqrt{5}-2$ jest miejscem zerowym tej funkcji. b) Wykazanie, że $x = 3+\sqrt{2}$ jest miejscem zerowym funkcji $f(x) = (3+\sqrt{2})x-(11+6\sqrt{2})$. Podstawiamy argument $x = 3+\sqrt{2}$ do wzoru funkcji:$$f(3+\sqrt{2}) = (3+\sqrt{2}) \cdot (3+\sqrt{2}) - (11+6\sqrt{2})$$Zauważamy, że iloczyn $(3+\sqrt{2}) \cdot (3+\sqrt{2})$ to inaczej $(3+\sqrt{2})^{2}$. Stosujemy wzór skróconego mnożenia $(a+b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$, gdzie $a = 3$ oraz $b = \sqrt{2}$:$$f(3+\sqrt{2}) = \left( 3^{2} + 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^{2} \right) - (11+6\sqrt{2})$$Obliczamy poszczególne składniki w pierwszym nawiasie:$$f(3+\sqrt{2}) = (9 + 6\sqrt{2} + 2) - (11+6\sqrt{2})$$Dodajemy liczby całkowite $9$ oraz $2$ w pierwszym nawiasie:$$f(3+\sqrt{2}) = (11 + 6\sqrt{2}) - (11+6\sqrt{2})$$Teraz opuszczamy nawiasy. Pamiętamy, że minus przed drugim nawiasem zmienia znaki wszystkich wyrazów wewnątrz na przeciwne:$$f(3+\sqrt{2}) = 11 + 6\sqrt{2} - 11 - 6\sqrt{2}$$Grupujemy i redukujemy wyrazy podobne:$$f(3+\sqrt{2}) = (11 - 11) + (6\sqrt{2} - 6\sqrt{2})$$$$f(3+\sqrt{2}) = 0 + 0$$$$f(3+\sqrt{2}) = 0$$Wynik wynosi $0$, zatem liczba $3+\sqrt{2}$ jest miejscem zerowym danej funkcji.

Zadanie 4 (2 pkt)

Do wykresu funkcji liniowej $f$ należy punkt $P$. Wyznacz liczbę $m$, a następnie oblicz wartość współczynnika kierunkowego we wzorze tej funkcji, jeśli: a) $f(x) = 5 - \left( 3m - 2 \right)x, \quad P\left( 2, -11 \right)$ b) $f(x) = 12 - \left( 10m + 2 \right)x, \quad P\left( -1, 20 \right)$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 5 (4 pkt)

Funkcja liniowa $f$ opisana jest wzorem $f(x) = \left( \frac{1}{2}m - 3 \right)x + 6m - 1$. Wyznacz liczbę $m$, dla której: a) funkcja $f$ jest proporcjonalnością prostą b) wykres funkcji $f$ przecina oś $OY$ w punkcie $\left( 0, 17 \right)$ c) do wykresu funkcji $f$ należy punkt $\left( -10, 28 \right)$ d) miejscem zerowym funkcji $f$ jest liczba $3$. Dla wyznaczonej wartości $m$ podaj wzór funkcji $f$ i sprawdź poprawność obliczeń.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

WSKAZÓWKI: 1) Funkcja liniowa $y = ax + b$ jest proporcjonalnością prostą wtedy i tylko wtedy, gdy jej wyraz wolny $b$ jest równy $0$. Wzór przyjmuje wtedy postać $y = ax$. 2) Punkt przecięcia wykresu z osią $OY$ ma zawsze współrzędne $(0, b)$. Jeśli zatem masz dany punkt $(0, 17)$, to wyraz wolny $b$ musi być równy $17$. 3) Jeśli do wykresu należy punkt $(x_{0}, y_{0})$, to po podstawieniu $x_{0}$ w miejsce $x$ oraz $y_{0}$ w miejsce $y$ (czyli $f(x)$), równanie musi stać się prawdziwe. 4) Miejsce zerowe to taki argument $x$, dla którego $f(x) = 0$. Musisz zatem podstawić $x = 3$ oraz przyrównać całe wyrażenie do zera. ROZWIĄZANIE: Dany jest wzór funkcji:$$f(x) = \left( \frac{1}{2}m - 3 \right)x + 6m - 1$$Współczynnik kierunkowy to $a = \frac{1}{2}m - 3$, a wyraz wolny to $b = 6m - 1$. a) Funkcja $f$ jest proporcjonalnością prostą. Warunkiem proporcjonalności prostej jest $b = 0$. Podstawiamy wzór na $b$:$$6m - 1 = 0$$Przenosimy $-1$ na prawą stronę ze zmianą znaku:$$6m = 1$$Dzielimy obie strony przez $6$:$$m = \frac{1}{6}$$Wyznaczamy wzór funkcji dla $m = \frac{1}{6}$:$$f(x) = \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} - 3 \right)x + 6 \cdot \frac{1}{6} - 1$$$$f(x) = \left( \frac{1}{12} - 3 \right)x + 1 - 1$$$$f(x) = \left( \frac{1}{12} - \frac{36}{12} \right)x + 0$$$$f(x) = -\frac{35}{12}x$$Sprawdzenie: Wyraz wolny wynosi $0$, więc jest to proporcjonalność prosta. b) Wykres przecina oś $OY$ w punkcie $(0, 17)$. Punkt ten oznacza, że dla $x = 0$ wartość $f(x) = 17$, czyli $b = 17$:$$6m - 1 = 17$$Przenosimy $-1$ na prawą stronę:$$6m = 17 + 1$$$$6m = 18$$Dzielimy przez $6$:$$m = 3$$Wyznaczamy wzór funkcji dla $m = 3$:$$f(x) = \left( \frac{1}{2} \cdot 3 - 3 \right)x + 6 \cdot 3 - 1$$$$f(x) = \left( 1,5 - 3 \right)x + 18 - 1$$$$f(x) = -1,5x + 17$$Sprawdzenie: Dla $x = 0$, $f(0) = -1,5 \cdot 0 + 17 = 17$. Punkt $(0, 17)$ należy do wykresu. c) Do wykresu należy punkt $(-10, 28)$. Podstawiamy $x = -10$ oraz $f(x) = 28$:$$28 = \left( \frac{1}{2}m - 3 \right) \cdot (-10) + 6m - 1$$Mnożymy nawias przez $-10$:$$28 = -5m + 30 + 6m - 1$$Grupujemy wyrazy z $m$ oraz liczby:$$28 = (-5m + 6m) + (30 - 1)$$$$28 = m + 29$$Przenosimy $29$ na lewą stronę:$$28 - 29 = m$$$$m = -1$$Wyznaczamy wzór funkcji dla $m = -1$:$$f(x) = \left( \frac{1}{2} \cdot (-1) - 3 \right)x + 6 \cdot (-1) - 1$$$$f(x) = \left( -0,5 - 3 \right)x - 6 - 1$$$$f(x) = -3,5x - 7$$Sprawdzenie: $f(-10) = -3,5 \cdot (-10) - 7 = 35 - 7 = 28$. Zgadza się. d) Miejscem zerowym jest liczba $3$. Oznacza to, że $f(3) = 0$. Podstawiamy $x = 3$:$$0 = \left( \frac{1}{2}m - 3 \right) \cdot 3 + 6m - 1$$Mnożymy nawias przez $3$:$$0 = 1,5m - 9 + 6m - 1$$Sumujemy wyrazy podobne:$$0 = 7,5m - 10$$Przenosimy $-10$ na lewą stronę:$$10 = 7,5m$$Zamieniamy $7,5$ na ułamek niewłaściwy $\frac{15}{2}$:$$10 = \frac{15}{2}m$$Mnożymy obie strony przez odwrotność, czyli $\frac{2}{15}$:$$m = 10 \cdot \frac{2}{15}$$$$m = \frac{20}{15}$$Skracamy przez $5$:$$m = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$$Wyznaczamy wzór funkcji dla $m = \frac{4}{3}$:$$f(x) = \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} - 3 \right)x + 6 \cdot \frac{4}{3} - 1$$Skracamy ułamki:$$f(x) = \left( \frac{2}{3} - 3 \right)x + 8 - 1$$$$f(x) = \left( \frac{2}{3} - \frac{9}{3} \right)x + 7$$$$f(x) = -\frac{7}{3}x + 7$$Sprawdzenie: $f(3) = -\frac{7}{3} \cdot 3 + 7 = -7 + 7 = 0$. Zgadza się.

Grupa B

Zadanie 1 (3 pkt)

Znajdź wzór funkcji liniowej, wiedząc że do jej wykresu należą punkty: a) $A\left( 0, 10 \right)$, $B\left( 5, 0 \right)$ b) $A\left( 0, -\frac{3}{5} \right)$, $B\left( 6, -1\frac{1}{5} \right)$ c) $A\left( \sqrt{5}, 2 \right)$, $B\left( 0, \sqrt{5} \right)$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 2 (3 pkt)

Oblicz współrzędne punktów przecięcia wykresu danej funkcji liniowej z osiami układu współrzędnych. a) $y = \sqrt{3}x - 6$ b) $y = 2\sqrt{5} - 10$ c) $y = \frac{x+4}{4} - 2$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 3 (2 pkt)

Wykaż, że: a) liczba $\sqrt{7}-\sqrt{6}$ jest miejscem zerowym funkcji liniowej $f\left(x\right) = \left(\sqrt{7}+\sqrt{6}\right)x-1$; b) liczba $1+\sqrt{5}$ jest miejscem zerowym funkcji liniowej $f\left(x\right) = \left(1+\sqrt{5}\right)x-\left(6+2\sqrt{5}\right)$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 4 (2 pkt)

Do wykresu funkcji liniowej $f$ należy punkt $B$. Wyznacz liczbę $m$, a następnie oblicz wartość współczynnika kierunkowego we wzorze tej funkcji, jeśli: a) $f(x) = 2 - \left( m + 7 \right)x, \quad B\left( 3, -10 \right)$ b) $f(x) = 8 - \left( 6m - 1 \right)x, \quad B\left( -2, -12 \right)$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 5 (4 pkt)

Funkcja liniowa $f$ opisana jest wzorem $f(x) = \left( 2m - 4 \right)x + 3m + 6$. Wyznacz liczbę $m$, dla której: a) funkcja $f$ jest proporcjonalnością prostą b) wykres funkcji $f$ przecina oś $OY$ w punkcie $\left( 0, 12 \right)$ c) do wykresu funkcji $f$ należy punkt $\left( 2, 10 \right)$ d) miejscem zerowym funkcji $f$ jest liczba $-1$. Dla wyznaczonej wartości $m$ podaj wzór funkcji $f$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi