Twierdzenie sinusów kartkówka LiczBit

15.1 Twierdzenie sinusów

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1 (4 pkt)

Oblicz promień okręgu opisanego na trójkącie $ABC$, jeśli:

a) $|AC| = 6$ oraz $|\angle CBA| = 45^\circ$

b) $|BC| = 5$ oraz $|\angle BAC| = 120^\circ$

c) $|\angle A| = 80^\circ$, $|\angle B| = 40^\circ$, $|AB| = 6\sqrt{3}$

d) $|\angle B| + |\angle C| = 45^\circ$, $|BC| = \sqrt{2}$

Wskazówki:

Skorzystaj z twierdzenia sinusów: stosunek długości dowolnego boku trójkąta do sinusa kąta leżącego naprzeciwko tego boku jest równy średnicy okręgu opisanego na tym trójkącie, czyli $\dfrac{a}{\sin \alpha} = 2R$.
Promień okręgu opisanego wyznaczamy bezpośrednio ze wzoru: $R = \dfrac{a}{2\sin \alpha}$.
Jeśli dany kąt jest rozwarty, zastosuj wzory redukcyjne: $\sin(180^\circ - x) = \sin x$. W szczególności $\sin 120^\circ = \sin 60^\circ$, a $\sin 135^\circ = \sin 45^\circ$.
Gdy dany bok nie leży naprzeciw podanego kąta, wyznacz brakujący kąt trójkąta z faktu, że suma kątów wewnętrznych w dowolnym trójkącie wynosi $180^\circ$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i twierdzenie sinusów dla trójkąta wpisanego w okrąg:
W trójkącie $ABC$ kąt przy wierzchołku $A$ leży naprzeciw boku $BC$, kąt przy wierzchołku $B$ naprzeciw boku $AC$, a kąt przy wierzchołku $C$ naprzeciw boku $AB$. Oznaczając promień okręgu opisanego jako $R$, twierdzenie sinusów orzeka: $$ \dfrac{a}{\sin \alpha} = \dfrac{b}{\sin \beta} = \dfrac{c}{\sin \gamma} = 2R \implies R = \dfrac{\text{bok}}{2 \cdot \sin(\text{kąt naprzeciw})} $$
Podpunkt a) Obliczenie promienia okręgu opisanego, gdy $|AC| = 6$ oraz $|\angle CBA| = 45^\circ$:
Bok $AC$ leży bezpośrednio naprzeciw kąta $\angle CBA$. Z twierdzenia sinusów mamy: $$ \dfrac{|AC|}{\sin(\angle CBA)} = 2R \implies R = \dfrac{|AC|}{2\sin(\angle CBA)} $$ Podstawiamy wartość $\sin 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$: $$ \begin{aligned} R &= \dfrac{6}{2 \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}} \\[8pt] &= \dfrac{6}{\sqrt{2}} \\[8pt] &= \dfrac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} \end{aligned} $$
Podpunkt b) Obliczenie promienia okręgu opisanego, gdy $|BC| = 5$ oraz $|\angle BAC| = 120^\circ$:
Bok $BC$ leży naprzeciw kąta $\angle BAC$. Ze wzoru redukcyjnego dla kąta rozwartego wyznaczamy sinus: $$ \sin 120^\circ = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2} $$ Stosujemy twierdzenie sinusów: $$ \dfrac{|BC|}{\sin(\angle BAC)} = 2R \implies R = \dfrac{|BC|}{2\sin(\angle BAC)} $$ Podstawiamy dane liczbowe i usuwamy niewymierność z mianownika: $$ \begin{aligned} R &= \dfrac{5}{2 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}} \\[8pt] &= \dfrac{5}{\sqrt{3}} \\[8pt] &= \dfrac{5\sqrt{3}}{3} \end{aligned} $$
Podpunkt c) Obliczenie promienia okręgu opisanego, gdy $|\angle A| = 80^\circ$, $|\angle B| = 40^\circ$ oraz $|AB| = 6\sqrt{3}$:
Bok $AB$ leży naprzeciw kąta $C$. Wyznaczamy miarę kąta $C$ z sumy kątów w trójkącie: $$ \begin{aligned} |\angle C| &= 180^\circ - (|\angle A| + |\angle B|) \\[8pt] &= 180^\circ - (80^\circ + 40^\circ) \\[8pt] &= 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \end{aligned} $$ Wiedząc, że $\sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$, obliczamy promień $R$: $$ \begin{aligned} R &= \dfrac{|AB|}{2\sin(\angle C)} \\[8pt] &= \dfrac{6\sqrt{3}}{2 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}} \\[8pt] &= \dfrac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 6 \end{aligned} $$
Podpunkt d) Obliczenie promienia okręgu opisanego, gdy $|\angle B| + |\angle C| = 45^\circ$ oraz $|BC| = \sqrt{2}$:
Bok $BC$ leży naprzeciw kąta $A$. Wyznaczamy miarę kąta $A$: $$ \begin{aligned} |\angle A| &= 180^\circ - (|\angle B| + |\angle C|) \\[8pt] &= 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ \end{aligned} $$ Korzystamy ze wzoru redukcyjnego na sinus kąta rozwartego: $$ \sin 135^\circ = \sin(180^\circ - 45^\circ) = \sin 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2} $$ Podstawiamy wartości do twierdzenia sinusów: $$ \begin{aligned} R &= \dfrac{|BC|}{2\sin(\angle A)} \\[8pt] &= \dfrac{\sqrt{2}}{2 \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}} \\[8pt] &= \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 1 \end{aligned} $$

Odpowiedź:
a) $R = 3\sqrt{2}$

b) $R = \dfrac{5\sqrt{3}}{3}$

c) $R = 6$

d) $R = 1$

Zadanie 2 (2 pkt)

Oblicz:

a) długość boku $AB$, jeśli $\alpha = 10^\circ$, $\beta = 20^\circ$ oraz $R = 6\text{ cm}$,

b) długość boku $AC$, jeśli $\alpha = 75^\circ$, $\gamma = 60^\circ$ oraz $R = 12\text{ cm}$.

Wskazówki:

W trójkącie kąty $\alpha, \beta, \gamma$ znajdują się odpowiednio przy wierzchołkach $A, B, C$. Wobec tego naprzeciw boku $AB$ leży kąt $\gamma$, a naprzeciw boku $AC$ kąt $\beta$.
Brakujący kąt trójkąta oblicz z sumy miar kątów: $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$.
Skorzystaj z twierdzenia sinusów w postaci łączącej długość boku z promieniem $R$ okręgu opisanego na trójkącie: $\dfrac{a}{\sin \alpha} = \dfrac{b}{\sin \beta} = \dfrac{c}{\sin \gamma} = 2R$. Wynika z niego bezpośredni wzór na długość boku: $\text{bok} = 2R \cdot \sin(\text{kąt naprzeciw})$.
Dla kątów rozwartych stosujemy wzór redukcyjny: $\sin(180^\circ - x) = \sin x$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i analiza relacji kątów z bokami w trójkącie wpisanym w okrąg:
W trójkącie $ABC$ kąt $\alpha$ leży przy wierzchołku $A$, kąt $\beta$ przy wierzchołku $B$, a kąt $\gamma$ przy wierzchołku $C$. Zgodnie ze standardowymi oznaczeniami bok $AB$ to bok $c$ (leżący naprzeciw kąta $\gamma$), natomiast bok $AC$ to bok $b$ (leżący naprzeciw kąta $\beta$).
Podpunkt a) Obliczenie długości boku $AB$, gdy $\alpha = 10^\circ$, $\beta = 20^\circ$ oraz $R = 6\text{ cm}$:
Bok $AB$ leży naprzeciw kąta $\gamma$. Wyznaczamy miarę kąta $\gamma$ z sumy miar kątów w trójkącie: $$ \begin{aligned} \gamma &= 180^\circ - (\alpha + \beta) \\[8pt] &= 180^\circ - (10^\circ + 20^\circ) \\[8pt] &= 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ \end{aligned} $$ Wyznaczamy wartość sinusa kąta $150^\circ$, korzystając ze wzoru redukcyjnego: $$ \sin 150^\circ = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ = \dfrac{1}{2} $$ Z twierdzenia sinusów otrzymujemy: $$ \dfrac{|AB|}{\sin \gamma} = 2R \implies |AB| = 2R \cdot \sin \gamma $$ Podstawiamy dane liczbowe: $$ \begin{aligned} |AB| &= 2 \cdot 6 \cdot \sin 150^\circ \\[8pt] &= 12 \cdot \dfrac{1}{2} = 6\text{ cm} \end{aligned} $$
Podpunkt b) Obliczenie długości boku $AC$, gdy $\alpha = 75^\circ$, $\gamma = 60^\circ$ oraz $R = 12\text{ cm}$:
Bok $AC$ leży naprzeciw kąta $\beta$. Wyznaczamy miarę kąta $\beta$: $$ \begin{aligned} \beta &= 180^\circ - (\alpha + \gamma) \\[8pt] &= 180^\circ - (75^\circ + 60^\circ) \\[8pt] &= 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ \end{aligned} $$ Wartość funkcji sinus dla kąta $45^\circ$ wynosi: $$ \sin 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2} $$ Z twierdzenia sinusów mamy: $$ \dfrac{|AC|}{\sin \beta} = 2R \implies |AC| = 2R \cdot \sin \beta $$ Podstawiamy dane liczbowe do wzoru: $$ \begin{aligned} |AC| &= 2 \cdot 12 \cdot \sin 45^\circ \\[8pt] &= 24 \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} = 12\sqrt{2}\text{ cm} \end{aligned} $$

Odpowiedź:
a) $|AB| = 6\text{ cm}$

b) $|AC| = 12\sqrt{2}\text{ cm}$

Zadanie 3 (2 pkt)

W trójkącie $ABC$ kąty są odpowiednio równe $\alpha, \beta, \gamma$. Oblicz:

a) długość boku $AC$, jeśli $\alpha = 35^\circ$, $\gamma = 85^\circ$, $|BC| = 8\text{ cm}$,

b) długość boku $AB$, jeśli $\alpha = 20^\circ$, $\gamma = 40^\circ$, $|AC| = 6{,}4\text{ cm}$.

Wskazówki:

W trójkącie $ABC$ kąty $\alpha, \beta, \gamma$ leżą odpowiednio naprzeciw boków $BC$, $AC$ oraz $AB$.
Brakujący kąt trójkąta $\beta$ wyznacz z twierdzenia o sumie kątów wewnętrznych: $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$.
Zastosuj twierdzenie sinusów: $\dfrac{a}{\sin \alpha} = \dfrac{b}{\sin \beta} = \dfrac{c}{\sin \gamma}$.
Dla kąta rozwartego skorzystaj ze wzoru redukcyjnego: $\sin(180^\circ - x) = \sin x$, w szczególności $\sin 120^\circ = \sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
Wartości funkcji sinus dla kątów niestowarzyszonych ($35^\circ$ oraz $40^\circ$) odczytaj z tablic trygonometrycznych: $\sin 35^\circ \approx 0{,}5736$ oraz $\sin 40^\circ \approx 0{,}6428$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i analiza relacji boków i kątów w trójkącie:
W trójkącie $ABC$ kąt przy wierzchołku $A$ oznaczamy jako $\alpha$, przy wierzchołku $B$ jako $\beta$, a przy wierzchołku $C$ jako $\gamma$. Boki leżące naprzeciw tych kątów to odpowiednio: $$ |BC| = a, \quad |AC| = b, \quad |AB| = c $$
Podpunkt a) Obliczenie długości boku $AC$, gdy $\alpha = 35^\circ$, $\gamma = 85^\circ$ oraz $|BC| = 8\text{ cm}$:
Bok $AC$ leży naprzeciw kąta $\beta$. Wyznaczamy miarę kąta $\beta$ z sumy miar kątów w trójkącie: $$ \begin{aligned} \beta &= 180^\circ - (\alpha + \gamma) \\[8pt] &= 180^\circ - (35^\circ + 85^\circ) \\[8pt] &= 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \end{aligned} $$ Wartość funkcji sinus dla kąta $60^\circ$ wynosi $\sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
Z twierdzenia sinusów wiążemy bok $AC$ z bokiem $BC$: $$ \dfrac{|AC|}{\sin \beta} = \dfrac{|BC|}{\sin \alpha} \implies |AC| = \dfrac{|BC| \cdot \sin \beta}{\sin \alpha} $$ Podstawiamy dane liczbowe: $$ \begin{aligned} |AC| &= \dfrac{8 \cdot \sin 60^\circ}{\sin 35^\circ} \\[8pt] &= \dfrac{8 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}}{\sin 35^\circ} \\[8pt] &= \dfrac{4\sqrt{3}}{\sin 35^\circ}\text{ cm} \end{aligned} $$ Odczytując z tablic trygonometrycznych wartość $\sin 35^\circ \approx 0{,}5736$ oraz przyjmując $\sqrt{3} \approx 1{,}732$, obliczamy wartość przybliżoną: $$ \begin{aligned} |AC| &\approx \dfrac{4 \cdot 1{,}732}{0{,}5736} \\[8pt] &= \dfrac{6{,}928}{0{,}5736} \approx 12{,}08\text{ cm} \approx 12{,}1\text{ cm} \end{aligned} $$
Podpunkt b) Obliczenie długości boku $AB$, gdy $\alpha = 20^\circ$, $\gamma = 40^\circ$ oraz $|AC| = 6{,}4\text{ cm}$:
Bok $AB$ leży naprzeciw kąta $\gamma = 40^\circ$, natomiast dany bok $AC$ leży naprzeciw kąta $\beta$. Obliczamy miarę kąta $\beta$: $$ \begin{aligned} \beta &= 180^\circ - (\alpha + \gamma) \\[8pt] &= 180^\circ - (20^\circ + 40^\circ) \\[8pt] &= 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \end{aligned} $$ Wyznaczamy $\sin 120^\circ$ za pomocą wzoru redukcyjnego: $$ \sin 120^\circ = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2} $$ Z twierdzenia sinusów mamy: $$ \dfrac{|AB|}{\sin \gamma} = \dfrac{|AC|}{\sin \beta} \implies |AB| = \dfrac{|AC| \cdot \sin \gamma}{\sin \beta} $$ Podstawiamy dane liczbowe: $$ \begin{aligned} |AB| &= \dfrac{6{,}4 \cdot \sin 40^\circ}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}} \\[8pt] &= \dfrac{12{,}8 \sin 40^\circ}{\sqrt{3}} \\[8pt] &= \dfrac{12{,}8\sqrt{3}\sin 40^\circ}{3}\text{ cm} \end{aligned} $$ Odczytując z tablic wartość $\sin 40^\circ \approx 0{,}6428$ oraz podstawiając $\sin 120^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}8660$, obliczamy wartość przybliżoną: $$ \begin{aligned} |AB| &\approx \dfrac{6{,}4 \cdot 0{,}6428}{0{,}8660} \\[8pt] &= \dfrac{4{,}11392}{0{,}8660} \approx 4{,}75\text{ cm} \approx 4{,}8\text{ cm} \end{aligned} $$

Odpowiedź:
a) $|AC| = \dfrac{4\sqrt{3}}{\sin 35^\circ}\text{ cm} \approx 12{,}1\text{ cm}$

b) $|AB| = \dfrac{12{,}8\sin 40^\circ}{\sqrt{3}}\text{ cm} \approx 4{,}8\text{ cm}$

Zadanie 4 (2 pkt)

W trójkącie kąty są odpowiednio równe $\alpha, \beta, \gamma$, a boki naprzeciw kątów mają odpowiednio długość $a, b, c$. Oblicz:

a) $a$, jeśli: $\sin \beta = \dfrac{1}{3}$ i $\cos \alpha = \dfrac{4}{5}$ oraz $b = 10\text{ cm}$,

b) $c$, jeśli: $\cos \beta = -0{,}28$ i $\cos \gamma = 0{,}96$ oraz $b = 14\text{ cm}$.

Wskazówki:

Skorzystaj z twierdzenia sinusów: w dowolnym trójkącie stosunek długości boku do sinusa kąta leżącego naprzeciwko tego boku jest stały, czyli $\dfrac{a}{\sin \alpha} = \dfrac{b}{\sin \beta} = \dfrac{c}{\sin \gamma}$.
Brakujące wartości sinusów kątów wyznacz z jedynki trygonometrycznej: $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Kąty w trójkącie spełniają warunek $x \in (0^\circ, 180^\circ)$, dlatego sinus każdego kąta wewnętrznego trójkąta jest zawsze dodatni.

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i analiza relacji w trójkącie:
W trójkącie kąty $\alpha, \beta, \gamma$ leżą odpowiednio naprzeciw boków o długościach $a, b, c$. Twierdzenie sinusów pozwala połączyć znany bok i kąt leżący naprzeciwko niego z poszukiwanym bokiem i kątem.
Podpunkt a) Obliczenie długości boku $a$, gdy $\sin \beta = \dfrac{1}{3}$, $\cos \alpha = \dfrac{4}{5}$ oraz $b = 10\text{ cm}$:
W pierwszej kolejności wyznaczamy wartość $\sin \alpha$, stosując tożsamość trygonometryczną: $$ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $$ Podstawiamy $\cos \alpha = \dfrac{4}{5}$: $$ \begin{aligned} \sin^2 \alpha + \left(\dfrac{4}{5}\right)^2 &= 1 \\[8pt] \sin^2 \alpha + \dfrac{16}{25} &= 1 \\[8pt] \sin^2 \alpha &= 1 - \dfrac{16}{25} \\[8pt] \sin^2 \alpha &= \dfrac{9}{25} \end{aligned} $$ Ponieważ $\alpha$ jest kątem trójkąta, czyli $\alpha \in (0^\circ, 180^\circ)$, sinus tego kąta jest dodatni: $$ \sin \alpha = \sqrt{\dfrac{9}{25}} = \dfrac{3}{5} $$ Z twierdzenia sinusów wiążemy boki $a$ i $b$ z ich przeciwległymi kątami: $$ \dfrac{a}{\sin \alpha} = \dfrac{b}{\sin \beta} \implies a = \dfrac{b \cdot \sin \alpha}{\sin \beta} $$ Podstawiamy dane liczbowe: $$ \begin{aligned} a &= \dfrac{10 \cdot \dfrac{3}{5}}{\dfrac{1}{3}} \\[8pt] &= \dfrac{6}{\dfrac{1}{3}} \\[8pt] &= 6 \cdot 3 = 18\text{ cm} \end{aligned} $$
Podpunkt b) Obliczenie długości boku $c$, gdy $\cos \beta = -0{,}28$, $\cos \gamma = 0{,}96$ oraz $b = 14\text{ cm}$:
Aby wyznaczyć bok $c$ z twierdzenia sinusów: $$ \dfrac{b}{\sin \beta} = \dfrac{c}{\sin \gamma} \implies c = \dfrac{b \cdot \sin \gamma}{\sin \beta} $$ potrzebujemy wartości $\sin \beta$ oraz $\sin \gamma$. Z uwagi na to, że $\beta, \gamma \in (0^\circ, 180^\circ)$, wartości sinusów są dodatnie.

Wyznaczamy $\sin \beta$ z jedynki trygonometrycznej: $$ \begin{aligned} \sin^2 \beta + \cos^2 \beta &= 1 \\[8pt] \sin^2 \beta + (-0{,}28)^2 &= 1 \\[8pt] \sin^2 \beta + 0{,}0784 &= 1 \\[8pt] \sin^2 \beta &= 1 - 0{,}0784 \\[8pt] \sin^2 \beta &= 0{,}9216 \end{aligned} $$ Uwzględniając, że $\sin \beta > 0$: $$ \sin \beta = \sqrt{0{,}9216} = 0{,}96 = \dfrac{24}{25} $$ Wyznaczamy $\sin \gamma$ z jedynki trygonometrycznej: $$ \begin{aligned} \sin^2 \gamma + \cos^2 \gamma &= 1 \\[8pt] \sin^2 \gamma + 0{,}96^2 &= 1 \\[8pt] \sin^2 \gamma + 0{,}9216 &= 1 \\[8pt] \sin^2 \gamma &= 1 - 0{,}9216 \\[8pt] \sin^2 \gamma &= 0{,}0784 \end{aligned} $$ Uwzględniając, że $\sin \gamma > 0$: $$ \sin \gamma = \sqrt{0{,}0784} = 0{,}28 = \dfrac{7}{25} $$ Podstawiamy obliczone wartości do wzoru na bok $c$: $$ \begin{aligned} c &= \dfrac{14 \cdot 0{,}28}{0{,}96} \\[8pt] &= \dfrac{14 \cdot \dfrac{7}{25}}{\dfrac{24}{25}} \\[8pt] &= \dfrac{14 \cdot 7}{24} \\[8pt] &= \dfrac{7 \cdot 7}{12} \\[8pt] &= \dfrac{49}{12} = 4\dfrac{1}{12}\text{ cm} \end{aligned} $$

Odpowiedź:
a) $a = 18\text{ cm}$

b) $c = \dfrac{49}{12}\text{ cm} = 4\dfrac{1}{12}\text{ cm}$

Zadanie 5 (3 pkt)

W trójkącie $ABC$ dane są: $|AC| = 4\sqrt{2}$, $|BC| = 4$ oraz $|\angle A| = 30^\circ$. Oblicz miary pozostałych kątów trójkąta.

Wskazówki:

W trójkącie $ABC$ naprzeciw kąta $A$ leży bok $BC$, a naprzeciw kąta $B$ leży bok $AC$. Zastosuj twierdzenie sinusów, aby wyznaczyć $\sin(\angle B)$.
Pamiętaj, że dla kąta wewnętrznego trójkąta $\beta \in (0^\circ, 180^\circ)$ równanie typu $\sin \beta = m$ może posiadać dwa rozwiązania: kąt ostry $\beta$ oraz kąt rozwarty $180^\circ - \beta$.
Dla każdego możliwego kąta $B$ sprawdź warunek sumy kątów w trójkącie i wyznacz miarę trzeciego kąta: $|\angle C| = 180^\circ - (|\angle A| + |\angle B|)$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i wyznaczenie wartości $\sin(\angle B)$ z twierdzenia sinusów:
W trójkącie $ABC$ bok $BC$ leży naprzeciw kąta o mierze $30^\circ$, a bok $AC$ naprzeciw poszukiwanego kąta $B$. Zauważmy, że odległość punktu $C$ od prostej zawierającej podstawę wynosi $|AC| \cdot \sin 30^\circ = 4\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} = 2\sqrt{2} \approx 2{,}83$. Ponieważ długość boku $|BC| = 4$ jest większa od tej wysokości, ale mniejsza od boku $|AC| = 4\sqrt{2} \approx 5{,}66$, ramię $BC$ przecina prostą podstawy w dwóch różnych punktach ($B_1$ oraz $B_2$), tworząc dwa możliwe trójkąty spełniające warunki zadania.

Z twierdzenia sinusów zachodzi proporcja: $$ \dfrac{|BC|}{\sin(\angle A)} = \dfrac{|AC|}{\sin(\angle B)} \implies \sin(\angle B) = \dfrac{|AC| \cdot \sin(\angle A)}{|BC|} $$ Podstawiamy dane z treści zadania ($|AC| = 4\sqrt{2}$, $|BC| = 4$, $\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}$): $$ \begin{aligned} \sin(\angle B) &= \dfrac{4\sqrt{2} \cdot \dfrac{1}{2}}{4} \\[8pt] &= \dfrac{2\sqrt{2}}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \end{aligned} $$
Rozwiązanie równania trygonometrycznego dla kąta $B$:
Kąt wewnętrzny trójkąta spełnia warunek $|\angle B| \in (0^\circ, 180^\circ)$. Rozwiązujemy równanie: $$ \sin(\angle B) = \dfrac{\sqrt{2}}{2} $$ W zadanym przedziale funkcja sinus przyjmuje wartość $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ w dwóch punktach: $$ |\angle B_1| = 45^\circ \quad \text{oraz} \quad |\angle B_2| = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ $$
Wyznaczenie miary kąta $C$ dla obu przypadków:
Suma miar kątów w dowolnym trójkącie wynosi $180^\circ$. Sprawdzamy oba wyznaczone warianty:

Przypadek I – gdy kąt $B$ jest ostry ($|\angle B| = 45^\circ$):
Obliczamy miarę kąta przy wierzchołku $C$: $$ \begin{aligned} |\angle C| &= 180^\circ - (|\angle A| + |\angle B|) \\[8pt] &= 180^\circ - (30^\circ + 45^\circ) \\[8pt] &= 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ \end{aligned} $$ W trójkącie kąty wynoszą $30^\circ, 45^\circ, 105^\circ$.

Przypadek II – gdy kąt $B$ jest rozwarty ($|\angle B| = 135^\circ$):
Suma kątów $|\angle A| + |\angle B| = 30^\circ + 135^\circ = 165^\circ < 180^\circ$, co oznacza, że taki trójkąt istnieje. Obliczamy miarę kąta przy wierzchołku $C$: $$ \begin{aligned} |\angle C| &= 180^\circ - (|\angle A| + |\angle B|) \\[8pt] &= 180^\circ - (30^\circ + 135^\circ) \\[8pt] &= 180^\circ - 165^\circ = 15^\circ \end{aligned} $$ W trójkącie kąty wynoszą $30^\circ, 135^\circ, 15^\circ$.

Grupa B

Zadanie 1 (3 pkt)

Oblicz promień okręgu opisanego na trójkącie $ABC$, jeśli: a) $|AC| = 10$ oraz $|\angle CBA| = 30^\circ$ b) $|BC| = \sqrt{6}$ oraz $|\angle BAC| = 135^\circ$ c) $|\angle A| = 15^\circ, |\angle B| = 15^\circ, |AB| = 2\sqrt{3}$ d) $|\angle B| + |\angle C| = 120^\circ, |BC| = 9$