Wskazówki: a) Przypomnij sobie kanoniczne równanie okręgu o środku w punkcie $S=\left(a, b\right)$ i promieniu $r$: $\left(x - a\right)^2 + \left(y - b\right)^2 = r^2$. b) Zauważ, że $x^2$ można zapisać jako $\left(x - 0\right)^2$, a $y^2$ jako $\left(y - 0\right)^2$. c) Pamiętaj, że promień $r$ to pierwiastek kwadratowy z liczby po prawej stronie równania, czyli z $r^2$. d) Wyrażenia typu $\left(3 + x\right)^2$ można zapisać jako $\left(x - \left(-3\right)\right)^2$, a $\left(4 - y\right)^2$ jako $\left(y - 4\right)^2$. Pamiętaj, że $\left(A - B\right)^2 = \left(B - A\right)^2$ e) Wyrażenia typu $\left(-x - 5\right)^2$ można przekształcić, wyciągając $-1$ przed nawias: $\left(-1 \cdot \left(x + 5\right)\right)^2 = \left(-1\right)^2 \cdot \left(x + 5\right)^2 = \left(x + 5\right)^2$. Analogicznie postępuj z $\left(-2 - y\right)^2$. Rozwiązanie: Aby rozwiązać to zadanie, musimy skorzystać z kanonicznego równania okręgu. Standardowe równanie okręgu o środku w punkcie $S=\left(a, b\right)$ i promieniu $r$ wygląda tak: $\left(x - a\right)^2 + \left(y - b\right)^2 = r^2$. a) $x^2 + y^2 = 4$ 1. Porównujemy dane równanie z kanonicznym równaniem okręgu. Widzimy, że brakuje nam odejmowania od $x$ i $y$. Możemy to uzupełnić, pamiętając, że odejmowanie zera nic nie zmienia. Zatem $x^2$ to to samo co $\left(x - 0\right)^2$, a $y^2$ to to samo co $\left(y - 0\right)^2$. 2. Nasze równanie przyjmuje postać: $\left(x - 0\right)^2 + \left(y - 0\right)^2 = 4$. 3. Teraz możemy łatwo odczytać współrzędne środka $S$. Porównując $\left(x - a\right)^2$ z $\left(x - 0\right)^2$, widzimy, że $a = 0$. Porównując $\left(y - b\right)^2$ z $\left(y - 0\right)^2$, widzimy, że $b = 0$. Zatem środek okręgu to $S=\left(0, 0\right)$. 4. Aby znaleźć promień $r$, musimy porównać prawą stronę równania. Mamy $r^2 = 4$. Aby znaleźć $r$, musimy obliczyć pierwiastek kwadratowy z $4$. Pierwiastek kwadratowy z $4$ to $2$ (promień musi być liczbą dodatnią). Zatem $r = 2$. Odpowiedź dla a): $S=\left(0, 0\right)$, $r=2$. b) $\left(x - 2\right)^2 + y^2 = 6,25$ 1. Ponownie porównujemy dane równanie z kanonicznym równaniem okręgu: $\left(x - a\right)^2 + \left(y - b\right)^2 = r^2$. 2. Część z $x$ jest już w odpowiedniej formie: $\left(x - 2\right)^2$. Z tego od razu widzimy, że $a = 2$. 3. Część z $y$ to $y^2$. Tak jak w poprzednim przykładzie, możemy to zapisać jako $\left(y - 0\right)^2$. Zatem $b = 0$. 4. Współrzędne środka $S$ to $S=\left(2, 0\right)$. 5. Prawa strona równania to $r^2 = 6,25$. Aby znaleźć $r$, musimy obliczyć pierwiastek kwadratowy z $6,25$. Pamiętamy, że $6,25$ to $\frac{625}{100}$. Pierwiastek z $625$ to $25$, a pierwiastek z $100$ to $10$. Zatem pierwiastek z $6,25$ to $2,5$ (bo $2,5 \cdot 2,5 = 6,25$). Promień $r = 2,5$. Odpowiedź dla b): $S=\left(2, 0\right)$, $r=2,5$. c) $\left(3 + x\right)^2 + \left(4 - y\right)^2 = 49$ 1. Porównujemy z kanonicznym równaniem okręgu: $\left(x - a\right)^2 + \left(y - b\right)^2 = r^2$. 2. Rozpatrzmy pierwszy człon: $\left(3 + x\right)^2$. Musimy go dopasować do formy $\left(x - a\right)^2$. Wiemy, że dodawanie jest przemienne, więc $\left(3 + x\right)$ to to samo co $\left(x + 3\right)$. Aby zapisać to jako odejmowanie, możemy napisać $\left(x - \left(-3\right)\right)^2$. Zatem $a = -3$. 3. Rozpatrzmy drugi człon: $\left(4 - y\right)^2$. Musimy go dopasować do formy $\left(y - b\right)^2$. Pamiętamy, że kwadrat liczby ujemnej jest taki sam jak kwadrat liczby dodatniej, np. $\left(-3\right)^2 = 9$ i $3^2 = 9$. Zatem $\left(4 - y\right)^2$ jest równe $\left(-\left(y - 4\right)\right)^2$, co z kolei jest równe $\left(y - 4\right)^2$. Zatem $b = 4$. 4. Współrzędne środka $S$ to $S=\left(-3, 4\right)$. 5. Prawa strona równania to $r^2 = 49$. Aby znaleźć $r$, obliczamy pierwiastek kwadratowy z $49$. Pierwiastek z $49$ to $7$. Zatem $r = 7$. Odpowiedź dla c): $S=\left(-3, 4\right)$, $r=7$. d) $\left(-x - 5\right)^2 + \left(-2 - y\right)^2 = 100$ 1. Porównujemy z kanonicznym równaniem okręgu: $\left(x - a\right)^2 + \left(y - b\right)^2 = r^2$. 2. Rozpatrzmy pierwszy człon: $\left(-x - 5\right)^2$. Aby dopasować go do formy $\left(x - a\right)^2$, wyciągamy $-1$ przed nawias wewnątrz nawiasu kwadratowego: $\left(-1 \cdot \left(x + 5\right)\right)^2$. Następnie korzystamy z własności potęgowania $\left(A \cdot B\right)^2 = A^2 \cdot B^2$. Mamy więc $\left(-1\right)^2 \cdot \left(x + 5\right)^2$. Ponieważ $\left(-1\right)^2 = 1$, to otrzymujemy $1 \cdot \left(x + 5\right)^2$, czyli po prostu $\left(x + 5\right)^2$. Teraz możemy zapisać $\left(x + 5\right)^2$ jako $\left(x - \left(-5\right)\right)^2$. Zatem $a = -5$. 3. Rozpatrzmy drugi człon: $\left(-2 - y\right)^2$. Postępujemy analogicznie: $\left(-1 \cdot \left(2 + y\right)\right)^2 = \left(-1\right)^2 \cdot \left(2 + y\right)^2 = \left(2 + y\right)^2$. Następnie zapisujemy $\left(2 + y\right)^2$ jako $\left(y + 2\right)^2$, a to jako $\left(y - \left(-2\right)\right)^2$. Zatem $b = -2$. 4. Współrzędne środka $S$ to $S=\left(-5, -2\right)$. 5. Prawa strona równania to $r^2 = 100$. Aby znaleźć $r$, obliczamy pierwiastek kwadratowy z $100$. Pierwiastek z $100$ to $10$. Zatem $r = 10$. Odpowiedź dla d): $S=\left(-5, -2\right)$, $r=10$.