Przykład a) Wskazówki W pierwszym równaniu skorzystaj z faktu, że iloczyn dwóch wyrażeń jest równy zero wtedy, gdy przynajmniej jedno z nich jest równe zero. To pozwoli Ci rozbić układ na dwa prostsze przypadki. Drugie równanie przypomina postać równania okręgu: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$. Spróbuj "dopełnić do kwadratu" wyrażenia z $x$ oraz $y$, aby wyznaczyć środek i promień. Rozwiązanie krok po kroku Rozważamy układ: $$\begin{cases} (x - y + 2)(x + y - 4) = 0 \\ x^2 + y^2 - 4x - 4y + 4 = 0 \end{cases}$$ Analiza pierwszego równania: Równanie $(x - y + 2)(x + y - 4) = 0$ jest spełnione, gdy: $x - y + 2 = 0$ lub $x + y - 4 = 0$. Możemy je przekształcić do postaci funkcji liniowej (y = ax + b): $y = x + 2$ (prosta pierwsza) $y = -x + 4$ (prosta druga) Analiza drugiego równania: Przekształcamy $x^2 + y^2 - 4x - 4y + 4 = 0$ do postaci kanonicznej okręgu. Grupujemy wyrazy z $x$ oraz $y$: $(x^2 - 4x) + (y^2 - 4y) + 4 = 0$ Aby otrzymać wzory skróconego mnożenia $(x-2)^2 = x^2 - 4x + 4$ oraz $(y-2)^2 = y^2 - 4y + 4$, musimy dodać odpowiednie liczby. $x^2 - 4x + 4 - 4 + y^2 - 4y + 4 - 4 + 4 = 0$ $(x - 2)^2 - 4 + (y - 2)^2 - 4 + 4 = 0$ $(x - 2)^2 + (y - 2)^2 - 4 = 0$ Przenosimy $-4$ na prawą stronę zmieniając znak na przeciwny: $(x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 4$ Jest to okrąg o środku $S = (2, 2)$ i promieniu $r = \sqrt{4} = 2$. Szukanie punktów wspólnych (Algebraicznie): Przypadek 1: $y = x + 2$ podstawiamy do równania okręgu: $(x - 2)^2 + (x + 2 - 2)^2 = 4$ $(x - 2)^2 + x^2 = 4$ Stosujemy wzór $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$: $x^2 - 4x + 4 + x^2 = 4$ Redukujemy 4 po obu stronach (odejmujemy 4): $2x^2 - 4x = 0$ Wyłączamy $2x$ przed nawias: $2x(x - 2) = 0$ Zatem $x = 0$ lub $x = 2$. Dla $x = 0$: $y = 0 + 2 = 2 \rightarrow$ punkt $P_1 = (0, 2)$ Dla $x = 2$: $y = 2 + 2 = 4 \rightarrow$ punkt $P_2 = (2, 4)$ Przypadek 2: $y = -x + 4$ podstawiamy do równania okręgu: $(x - 2)^2 + (-x + 4 - 2)^2 = 4$ $(x - 2)^2 + (-x + 2)^2 = 4$ Zauważmy, że $(-x + 2)^2$ to to samo co $(x - 2)^2$: $(x - 2)^2 + (x - 2)^2 = 4$ $2(x - 2)^2 = 4$ Dzielimy obie strony przez 2: $(x - 2)^2 = 2$ Wyciągamy pierwiastek kwadratowy: $x - 2 = \sqrt{2}$ lub $x - 2 = -\sqrt{2}$ $x = 2 + \sqrt{2}$ lub $x = 2 - \sqrt{2}$ Dla $x = 2 + \sqrt{2}$: $y = -(2 + \sqrt{2}) + 4 = -2 - \sqrt{2} + 4 = 2 - \sqrt{2} \rightarrow$ punkt $P_3 = (2 + \sqrt{2}, 2 - \sqrt{2})$ Dla $x = 2 - \sqrt{2}$: $y = -(2 - \sqrt{2}) + 4 = -2 + \sqrt{2} + 4 = 2 + \sqrt{2} \rightarrow$ punkt $P_4 = (2 - \sqrt{2}, 2 + \sqrt{2})$ Interpretacja graficzna: Układ przedstawia dwie przecinające się proste oraz okrąg. Rozwiązaniami są cztery punkty, w których proste przecinają okrąg. Przykład b) Wskazówki Zauważ, że drugie równanie podaje gotowy wzór na $y$. Najprostszą metodą będzie metoda podstawiania – wstaw wyrażenie $x^2 - 1$ w miejsce $y$ w pierwszym równaniu. Po podstawieniu otrzymasz równanie z $x^4$. Nie przerażaj się – może uda się coś uprościć lub pogrupować. Rozwiązanie krok po kroku Rozważamy układ: $$\begin{cases} (x - 1)^2 + y^2 = 10 \\ y = x^2 - 1 \end{cases}$$ Podstawiamy drugie równanie do pierwszego: $(x - 1)^2 + (x^2 - 1)^2 = 10$ Rozwijamy wzory skróconego mnożenia: Dla $(x - 1)^2$: $x^2 - 2x + 1$ Dla $(x^2 - 1)^2$: $(x^2)^2 - 2 \cdot x^2 \cdot 1 + 1^2 = x^4 - 2x^2 + 1$ Otrzymujemy: $x^2 - 2x + 1 + x^4 - 2x^2 + 1 = 10$ Porządkujemy równanie: $x^4 - x^2 - 2x + 2 = 10$ Przenosimy 10 na lewą stronę ze zmianą znaku: $x^4 - x^2 - 2x - 8 = 0$ Szukamy pierwiastków (metoda zgadywania dla wielomianów): Sprawdzamy $x = 2$: $2^4 - 2^2 - 2(2) - 8 = 16 - 4 - 4 - 8 = 0$ Zatem $x = 2$ jest rozwiązaniem. Obliczamy $y$ dla $x = 2$: $y = 2^2 - 1 = 4 - 1 = 3$ Mamy punkt $P_1 = (2, 3)$. Sprawdzamy $x = -1$: $(-1)^4 - (-1)^2 - 2(-1) - 8 = 1 - 1 + 2 - 8 = -6 \neq 0$ Sprawdzamy $x = -2$: $(-2)^4 - (-2)^2 - 2(-2) - 8 = 16 - 4 + 4 - 8 = 8 \neq 0$ W przypadku równania $x^4 - x^2 - 2x - 8 = 0$ możemy spróbować rozkładu: $(x - 2)(x^3 + 2x^2 + 3x + 4) = 0$ Dalsze rozwiązania rzeczywiste mogą nie istnieć lub być niewymierne. Skupmy się na interpretacji. Interpretacja graficzna: Pierwsze równanie to okrąg o środku $S = (1, 0)$ i promieniu $r = \sqrt{10} \approx 3.16$. Drugie równanie to parabola o wierzchołku $W = (0, -1)$ skierowana ramionami do góry. Rozwiązania to punkty przecięcia paraboli z okręgiem. Przykład c) Wskazówki W pierwszym równaniu $x^2 + xy = 2x$ spróbuj przenieść wszystko na jedną stronę i wyłączyć $x$ przed nawias. To da Ci dwie możliwości: $x = 0$ lub pewną zależność między $x$ a $y$. W drugim równaniu zauważ, że prawa strona $y^2 - 4y + 4$ to wzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicy. Rozwiązanie krok po kroku Rozważamy układ: $$\begin{cases} x^2 + xy = 2x \\ x = y^2 - 4y + 4 \end{cases}$$ Przekształcamy pierwsze równanie: $x^2 + xy - 2x = 0$ Wyłączamy $x$ przed nawias: $x(x + y - 2) = 0$ Stąd mamy dwie drogi: $x = 0$ lub $x + y - 2 = 0$. Przekształcamy drugie równanie: $x = (y - 2)^2$ (korzystając ze wzoru $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$) Rozważamy dwa przypadki z pierwszego równania: Przypadek 1: $x = 0$ Podstawiamy do drugiego równania: $0 = (y - 2)^2$ Pierwiastkujemy obie strony: $0 = y - 2$ Przenosimy $-2$ ze zmianą znaku: $y = 2$ Otrzymujemy punkt $P_1 = (0, 2)$. Przypadek 2: $x + y - 2 = 0$ Wyznaczamy $x$: $x = 2 - y$ Podstawiamy do drugiego równania $x = (y - 2)^2$: $2 - y = (y - 2)^2$ Zauważmy, że $2 - y = -(y - 2)$: $-(y - 2) = (y - 2)^2$ Przenosimy wszystko na prawą stronę: $0 = (y - 2)^2 + (y - 2)$ Wyłączamy wspólny czynnik $(y - 2)$ przed nawias: $0 = (y - 2)[(y - 2) + 1]$ $0 = (y - 2)(y - 1)$ Zatem $y = 2$ lub $y = 1$. Dla $y = 2$: $x = 2 - 2 = 0$ (to już mamy: punkt $P_1 = (0, 2)$) Dla $y = 1$: $x = 2 - 1 = 1$ Otrzymujemy drugi punkt $P_2 = (1, 1)$. Interpretacja graficzna: Pierwsze równanie przedstawia sumę dwóch prostych: pionowej $x = 0$ (oś OY) oraz ukośnej $y = -x + 2$. Drugie równanie to parabola "leżąca" (oś symetrii jest pozioma) o wierzchołku $W = (0, 2)$. Rozwiązania to punkty, w których parabola przecina te dwie proste.