Zadania optymalizacyjne - zadania maturalne LiczBit

Zadania optymalizacyjne – zadania maturalne

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1 (maj 2025) (4 pkt)

Objętość $V$ stożka, jako funkcja wysokości $h$ stożka, wyraża się wzorem $$V(h) = \frac{\pi}{3} \cdot \frac{25h^3}{h^2 - 25}$$ dla $h \in \left(5, +\infty\right)$. Wyznacz wysokość tego z rozważanych stożków, którego objętość jest najmniejsza. Oblicz tę najmniejszą objętość.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Wskazówki: 1. Aby znaleźć najmniejszą wartość funkcji (minimum), musisz użyć rachunku różniczkowego. Zacznij od obliczenia pochodnej funkcji $V(h)$. 2. Pamiętaj o wzorze na pochodną ilorazu funkcji:$$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$$W tym przypadku $u = 25h^3$ i $v = h^2 - 25$. Stałą $\frac{\pi}{3}$ możesz wyłączyć przed pochodną. 3. Przyrównaj pochodną $V'(h)$ do zera, aby znaleźć punkty krytyczne. 4. Sprawdź, dla jakich wartości $h$ pochodna zmienia znak z ujemnego na dodatni. To wskaże minimum lokalne. Pamiętaj, że $h$ musi należeć do dziedziny $\left(5, +\infty\right)$. 5. Po znalezieniu optymalnej wysokości $h_{\text{min}}$, wstaw ją z powrotem do wzoru na $V(h)$, aby obliczyć minimalną objętość. Rozwiązanie: Celem zadania jest znalezienie minimalnej wartości funkcji objętości $V(h)$ w podanej dziedzinie $h \in \left(5, +\infty\right)$. 1. Zapisanie funkcji i stałej Funkcja objętości dana jest wzorem:$$V(h) = \frac{\pi}{3} \cdot \frac{25h^3}{h^2 - 25}$$Ponieważ $\frac{\pi}{3}$ i $25$ to stałe, możemy zapisać funkcję w postaci:$$V(h) = \frac{25\pi}{3} \cdot \frac{h^3}{h^2 - 25}$$2. Obliczenie pochodnej funkcji $V'(h)$ Aby znaleźć ekstrema, musimy obliczyć pochodną $V'(h)$. Użyjemy wzoru na pochodną ilorazu $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$, gdzie $u = h^3$ i $v = h^2 - 25$. Stałą $C = \frac{25\pi}{3}$ wyłączamy przed nawias. Obliczamy pochodne $u$ i $v$:$$u' = \left(h^3\right)' = 3h^2$$$$v' = \left(h^2 - 25\right)' = 2h - 0 = 2h$$Stosujemy wzór na pochodną ilorazu:$$V'(h) = \frac{25\pi}{3} \cdot \left[ \frac{\left(3h^2\right) \left(h^2 - 25\right) - h^3 \left(2h\right)}{\left(h^2 - 25\right)^2} \right]$$3. Uproszczenie licznika pochodnej Wykonujemy mnożenie w liczniku:$$3h^2 \left(h^2 - 25\right) - h^3 \left(2h\right) = 3h^4 - 75h^2 - 2h^4$$Redukujemy wyrazy podobne $\left(3h^4 - 2h^4 = h^4\right)$:$$h^4 - 75h^2$$Wyłączamy $h^2$ przed nawias:$$h^2 \left(h^2 - 75\right)$$Ostateczny wzór na pochodną to:$$V'(h) = \frac{25\pi}{3} \cdot \frac{h^2 \left(h^2 - 75\right)}{\left(h^2 - 25\right)^2}$$4. Znalezienie punktów krytycznych Przyrównujemy pochodną do zera: $V'(h) = 0$. Ponieważ stała $\frac{25\pi}{3}$ jest różna od zera, a mianownik $\left(h^2 - 25\right)^2$ jest różny od zera dla $h \in \left(5, +\infty\right)$, wystarczy, że licznik będzie równy zero:$$h^2 \left(h^2 - 75\right) = 0$$Otrzymujemy dwa przypadki: a) $h^2 = 0 \implies h = 0$. Ta wartość nie należy do dziedziny $h \in \left(5, +\infty\right)$. b) $h^2 - 75 = 0 \implies h^2 = 75$ Ponieważ $h$ musi być dodatnie, bierzemy pierwiastek:$$h = \sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$$Sprawdzamy, czy $h = 5\sqrt{3}$ należy do dziedziny. Ponieważ $5\sqrt{3} \approx 8.66$, a $8.66 > 5$, punkt ten należy do dziedziny. 5. Analiza znaku pochodnej Badamy znak $V'(h)$ w otoczeniu punktu $h = 5\sqrt{3}$. Ponieważ stała $\frac{25\pi}{3}$, $h^2$ i mianownik $\left(h^2 - 25\right)^2$ są zawsze dodatnie dla $h \in \left(5, +\infty\right)$, znak $V'(h)$ zależy tylko od wyrażenia $\left(h^2 - 75\right)$. - Jeżeli $h \in \left(5, 5\sqrt{3}\right)$, to $h^2 < 75$, więc $h^2 - 75 < 0$. Zatem $V'(h) < 0$. Funkcja $V(h)$ maleje. - Jeżeli $h \in \left(5\sqrt{3}, +\infty\right)$, to $h^2 > 75$, więc $h^2 - 75 > 0$. Zatem $V'(h) > 0$. Funkcja $V(h)$ rośnie. Ponieważ funkcja zmienia się z malejącej na rosnącą w punkcie $h = 5\sqrt{3}$, jest to punkt, w którym objętość osiąga minimum. Wysokość stożka o najmniejszej objętości to $h = 5\sqrt{3}$. 6. Obliczenie najmniejszej objętości $V_{\text{min}}$ Wstawiamy $h = 5\sqrt{3}$ do wzoru na $V(h)$. Pamiętamy, że $h^2 = 75$ i $h^3 = h^2 \cdot h = 75 \cdot 5\sqrt{3} = 375\sqrt{3}$.$$V_{\text{min}} = V\left(5\sqrt{3}\right) = \frac{\pi}{3} \cdot \frac{25h^3}{h^2 - 25}$$Podstawiamy wartości:$$V_{\text{min}} = \frac{\pi}{3} \cdot \frac{25 \cdot \left(375\sqrt{3}\right)}{75 - 25}$$$$V_{\text{min}} = \frac{\pi}{3} \cdot \frac{25 \cdot \left(375\sqrt{3}\right)}{50}$$Skracamy $25$ i $50$ (dzielimy przez $25$):$$V_{\text{min}} = \frac{\pi}{3} \cdot \frac{375\sqrt{3}}{2}$$Mnożymy mianowniki $3 \cdot 2 = 6$:$$V_{\text{min}} = \frac{375\sqrt{3}\pi}{6}$$Skracamy ułamek $\frac{375}{6}$ (dzielimy przez $3$):$$375 \div 3 = 125$$$$6 \div 3 = 2$$$$V_{\text{min}} = \frac{125\sqrt{3}\pi}{2}$$

Zadanie 2 (maj 2024) (4 pkt)

Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o objętości $3456$, których krawędź podstawy ma długość nie większą niż $8\sqrt{3}$. Pole $P$ powierzchni całkowitej graniastosłupa w zależności od długości $a$ krawędzi podstawy graniastosłupa jest określone wzorem$$P(a) = \frac{a^2 \cdot \sqrt{3}}{2} + \frac{13824\sqrt{3}}{a}$$dla $a \in \left( 0, 8\sqrt{3} \right]$. Wyznacz długość krawędzi podstawy tego z rozważanych graniastosłupów, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Wskazówki: 1. Aby znaleźć najmniejszą wartość funkcji $P(a)$, musisz skorzystać z rachunku różniczkowego, czyli obliczyć pochodną $P'(a)$. 2. Pamiętaj, że $P(a)$ można zapisać jako sumę dwóch składników: $P(a) = \frac{\sqrt{3}}{2} a^2 + 13824\sqrt{3} a^{-1}$. Ułatwi to obliczenie pochodnej. 3. Przyrównaj pochodną $P'(a)$ do zera, aby znaleźć punkty stacjonarne (potencjalne ekstrema). 4. Po znalezieniu punktu krytycznego $a_0$, sprawdź, czy należy on do dziedziny $a \in \left( 0, 8\sqrt{3} \right]$. 5. Jeśli punkt krytyczny $a_0$ leży poza dziedziną, przeanalizuj znak pochodnej $P'(a)$ w całej dziedzinie, aby określić monotoniczność funkcji. Najmniejsza wartość funkcji monotonicznej w przedziale zamkniętym/półotwartym osiągana jest na jednym z jego krańców. Rozwiązanie: Szukamy minimum funkcji $P(a) = \frac{a^2 \cdot \sqrt{3}}{2} + \frac{13824\sqrt{3}}{a}$ w dziedzinie $a \in \left( 0, 8\sqrt{3} \right]$. 1. Obliczanie pochodnej funkcji $P(a)$. Aby ułatwić obliczenia, zapisujemy funkcję w postaci potęgowej:$$P(a) = \frac{\sqrt{3}}{2} a^2 + 13824\sqrt{3} a^{-1}$$Obliczamy pochodną $P'(a)$ korzystając ze wzoru na pochodną potęgi $\left( x^n \right)' = n x^{n-1}$:$$P'(a) = \left( \frac{\sqrt{3}}{2} a^2 \right)' + \left( 13824\sqrt{3} a^{-1} \right)'$$$$P'(a) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2a + 13824\sqrt{3} \cdot \left( -1 \right) a^{-2}$$$$P'(a) = a\sqrt{3} - \frac{13824\sqrt{3}}{a^2}$$2. Szukanie punktów stacjonarnych (miejsc zerowych pochodnej). Przyrównujemy pochodną do zera:$$P'(a) = 0$$$$a\sqrt{3} - \frac{13824\sqrt{3}}{a^2} = 0$$Przenosimy ułamek na prawą stronę:$$a\sqrt{3} = \frac{13824\sqrt{3}}{a^2}$$Dzielimy obie strony przez $\sqrt{3}$ (ponieważ $\sqrt{3} \neq 0$):$$a = \frac{13824}{a^2}$$Mnożymy obie strony przez $a^2$ (pamiętając, że $a \neq 0$):$$a^3 = 13824$$Obliczamy pierwiastek sześcienny:$$a = \sqrt[3]{13824} = 24$$3. Analiza punktu krytycznego w kontekście dziedziny. Znaleziony punkt krytyczny to $a_0 = 24$. Nasza dziedzina to $a \in \left( 0, 8\sqrt{3} \right]$. Musimy porównać $24$ z $8\sqrt{3}$. Podnosimy obie liczby do kwadratu, aby porównać ich wielkość:$$\left( 8\sqrt{3} \right)^2 = 64 \cdot 3 = 192$$$$24^2 = 576$$Ponieważ $576 > 192$, to $24 > 8\sqrt{3}$. Oznacza to, że punkt, w którym funkcja osiąga minimum globalne $\left( a=24 \right)$, leży poza rozważaną dziedziną. 4. Analiza monotoniczności funkcji $P(a)$ w dziedzinie $a \in \left( 0, 8\sqrt{3} \right]$. Zapisujemy pochodną w postaci iloczynowej, aby łatwiej określić jej znak:$$P'(a) = \sqrt{3} \left( a - \frac{13824}{a^2} \right) = \frac{\sqrt{3}}{a^2} \left( a^3 - 13824 \right)$$Wiemy, że $a^3 - 13824 = 0$ dla $a=24$. Ponieważ dla każdego $a$ w naszej dziedzinie $a \in \left( 0, 8\sqrt{3} \right]$ zachodzi $a < 24$, to $a^3 < 13824$. W konsekwencji, wyrażenie w nawiasie $a^3 - 13824$ jest ujemne. Ponieważ $\frac{\sqrt{3}}{a^2}$ jest zawsze dodatnie, to $P'(a) < 0$ dla wszystkich $a \in \left( 0, 8\sqrt{3} \right]$. 5. Wniosek końcowy. Skoro pochodna jest ujemna w całej dziedzinie, funkcja $P(a)$ jest ściśle malejąca na przedziale $\left( 0, 8\sqrt{3} \right]$. Najmniejszą wartość funkcja osiągnie na prawym krańcu tego przedziału, czyli dla $a = 8\sqrt{3}$. 6. Obliczenie najmniejszego pola $P\left( 8\sqrt{3} \right)$. Podstawiamy $a = 8\sqrt{3}$ do wzoru na pole $P(a)$. Obliczamy $a^2$: $a^2 = \left( 8\sqrt{3} \right)^2 = 64 \cdot 3 = 192$.$$P\left( 8\sqrt{3} \right) = \frac{192 \cdot \sqrt{3}}{2} + \frac{13824\sqrt{3}}{8\sqrt{3}}$$Obliczamy pierwszy składnik:$$\frac{192\sqrt{3}}{2} = 96\sqrt{3}$$Obliczamy drugi składnik (skracamy $\sqrt{3}$):$$\frac{13824}{8} = 1728$$Sumujemy wyniki:$$P_{\text{min}} = 1728 + 96\sqrt{3}$$Najmniejsze pole powierzchni całkowitej wynosi $1728 + 96\sqrt{3}$ i jest osiągane dla krawędzi podstawy $a = 8\sqrt{3}$.

Zadanie 3 (maj 2023) (4 pkt)

Funkcja $f$ jest określona wzorem $$f(x) = 81^{\log_3 x} + \frac{2 \cdot \log_2 \sqrt{27} \cdot \log_3 2}{3} \cdot x^2 - 6x$$dla każdej liczby dodatniej $x$. Oblicz najmniejszą wartość funkcji $f$ określonej dla każdej liczby dodatniej $x$. Wskazówka: przyjmij, że wzór funkcji $f$ można przedstawić w postaci $f(x) = x^4 + x^2 - 6x$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Wskazówki: 1. Uprość potęgę logarytmiczną $81^{\log_3 x}$ używając własności $a^{\log_a b} = b$. Pamiętaj, że $81 = 3^4$. 2. Uprość współczynnik przy $x^2$. Skorzystaj z własności logarytmów: $\sqrt{27} = 3^{\frac{3}{2}}$, $\log_a \left(b^k\right) = k \cdot \log_a b$ oraz $\log_a b \cdot \log_b a = 1$. 3. Po uproszczeniu wzoru funkcji $f(x)$ do postaci wielomianowej, znajdź jej najmniejszą wartość dla $x > 0$ za pomocą rachunku różniczkowego. 4. Oblicz pochodną $f'(x)$ i znajdź jej miejsca zerowe w dziedzinie $x > 0$. 5. Zbadaj znak pochodnej, aby potwierdzić, że znaleziony punkt jest minimum lokalnym (i globalnym, ponieważ jest jedynym ekstremum w dziedzinie). Rozwiązanie: Zadanie polega na uproszczeniu wzoru funkcji $f(x)$ do postaci wielomianowej, a następnie znalezieniu jej wartości minimalnej przy użyciu pochodnej. 1. Uproszczenie pierwszego składnika: $81^{\log_3 x}$. Musimy sprowadzić podstawę potęgi $\left(81\right)$ do podstawy logarytmu $\left(3\right)$. Wiemy, że $81 = 3^4$.$$81^{\log_3 x} = \left(3^4\right)^{\log_3 x}$$Korzystamy z własności potęg $\left(a^b\right)^c = a^{b \cdot c}$:$$\left(3^4\right)^{\log_3 x} = 3^{4 \cdot \log_3 x}$$Korzystamy z własności logarytmów $k \cdot \log_a b = \log_a \left(b^k\right)$:$$3^{4 \cdot \log_3 x} = 3^{\log_3 \left(x^4\right)}$$Korzystamy z podstawowej tożsamości logarytmicznej $a^{\log_a b} = b$:$$3^{\log_3 \left(x^4\right)} = x^4$$2. Uproszczenie współczynnika przy $x^2$: $C = \frac{2 \cdot \log_2 \sqrt{27} \cdot \log_3 2}{3}$. Najpierw upraszczamy $\log_2 \sqrt{27}$. Zapisujemy $\sqrt{27}$ jako potęgę liczby 3:$$\sqrt{27} = 27^{\frac{1}{2}} = \left(3^3\right)^{\frac{1}{2}} = 3^{\frac{3}{2}}$$Teraz obliczamy logarytm:$$\log_2 \sqrt{27} = \log_2 \left(3^{\frac{3}{2}}\right)$$Korzystamy z własności $\log_a \left(b^k\right) = k \cdot \log_a b$:$$\log_2 \left(3^{\frac{3}{2}}\right) = \frac{3}{2} \cdot \log_2 3$$Podstawiamy to z powrotem do współczynnika $C$:$$C = \frac{2 \cdot \left(\frac{3}{2} \cdot \log_2 3\right) \cdot \log_3 2}{3}$$Upraszczamy licznik. Mnożymy 2 i $\frac{3}{2}$: $2 \cdot \frac{3}{2} = 3$.$$C = \frac{3 \cdot \log_2 3 \cdot \log_3 2}{3}$$Korzystamy z własności zmiany podstawy logarytmu: $\log_a b \cdot \log_b a = 1$. Zatem $\log_2 3 \cdot \log_3 2 = 1$.$$C = \frac{3 \cdot 1}{3} = 1$$3. Zapisanie ostatecznego wzoru funkcji $f(x)$. Po uproszczeniach otrzymujemy:$$f(x) = x^4 + 1 \cdot x^2 - 6x$$$$f(x) = x^4 + x^2 - 6x$$4. Znalezienie najmniejszej wartości za pomocą pochodnej. Dziedziną jest $x \in \left(0, \infty\right)$. Aby znaleźć ekstrema, obliczamy pochodną $f'(x)$:$$f'(x) = \left(x^4 + x^2 - 6x\right)' = 4x^3 + 2x - 6$$5. Znalezienie miejsc zerowych pochodnej. Przyrównujemy pochodną do zera:$$4x^3 + 2x - 6 = 0$$Dzielimy całe równanie przez 2, aby uprościć:$$2x^3 + x - 3 = 0$$Szukamy pierwiastków całkowitych. Sprawdzamy $x=1$:$$2\left(1\right)^3 + 1 - 3 = 2 + 1 - 3 = 0$$Zatem $x=1$ jest pierwiastkiem. Dzielimy wielomian $2x^3 + x - 3$ przez dwumian $\left(x-1\right)$ (lub grupujemy wyrazy):$$2x^3 + x - 3 = 2x^3 - 2x^2 + 2x^2 - 2x + 3x - 3$$$$= 2x^2\left(x-1\right) + 2x\left(x-1\right) + 3\left(x-1\right)$$$$= \left(x-1\right)\left(2x^2 + 2x + 3\right) = 0$$6. Analiza pozostałego czynnika kwadratowego. Badamy wyróżnik $\Delta$ trójmianu $2x^2 + 2x + 3$:$$\Delta = 2^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 4 - 24 = -20$$Ponieważ $\Delta < 0$ i współczynnik przy $x^2$ jest dodatni $\left(2 > 0\right)$, trójmian $2x^2 + 2x + 3$ jest zawsze dodatni dla każdego $x \in \mathbb{R}$. Jedynym miejscem zerowym pochodnej $f'(x)$ jest $x=1$. 7. Określenie, czy $x=1$ jest minimum. Znak pochodnej $f'(x) = \left(x-1\right)\left(2x^2 + 2x + 3\right)$ zależy wyłącznie od znaku czynnika $\left(x-1\right)$ (ponieważ drugi czynnik jest zawsze dodatni). Dla $x \in \left(0, 1\right)$, $x-1 < 0$, więc $f'(x) < 0$. Funkcja maleje. Dla $x \in \left(1, \infty\right)$, $x-1 > 0$, więc $f'(x) > 0$. Funkcja rośnie. W punkcie $x=1$ funkcja przechodzi od malejącej do rosnącej, co oznacza, że osiąga tam minimum globalne w dziedzinie $x > 0$. 8. Obliczenie wartości minimalnej $f(1)$. Podstawiamy $x=1$ do uproszczonego wzoru $f(x) = x^4 + x^2 - 6x$:$$f_{\text{min}} = f\left(1\right) = 1^4 + 1^2 - 6 \cdot 1 = 1 + 1 - 6 = -4$$Najmniejsza wartość funkcji wynosi $-4$.

Zadanie 4 (maj 2022) (7 pkt)

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty równoramienne o obwodzie równym $18$. a) Wykaż, że pole $P$ każdego z tych trójkątów, jako funkcja długości $b$ ramienia, wyraża się wzorem $$P(b) = \frac{\left(18 - 2b\right) \cdot \sqrt{18b - 81}}{2}.$$b) Wyznacz dziedzinę funkcji $P$. c) Oblicz długości boków tego z rozpatrywanych trójkątów, który ma największe pole.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Wskazówki: 1. Oznacz długość ramienia jako $b$, a podstawy jako $a$. Wykorzystaj wzór na obwód $\left(2b + a = 18\right)$ do wyrażenia $a$ za pomocą $b$. 2. Aby obliczyć pole trójkąta $P = \frac{1}{2} a \cdot h$, musisz wyznaczyć wysokość $h$. Skorzystaj z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym utworzonym przez ramię $b$, wysokość $h$ i połowę podstawy $\frac{a}{2}$. 3. Dziedzina jest określona przez warunki istnienia trójkąta (długości boków muszą być dodatnie) oraz przez warunek istnienia pierwiastka (wyrażenie pod pierwiastkiem musi być nieujemne). Pamiętaj o nierówności trójkąta $\left(2b > a\right)$. 4. Aby znaleźć maksimum funkcji pola $P(b)$, najłatwiej jest badać pochodną kwadratu tej funkcji, $f(b) = \left[P(b)\right]^2$. To upraszcza różniczkowanie, ponieważ unikasz pochodnej pierwiastka. 5. Znajdź miejsca zerowe pochodnej $f'(b)$ i zbadaj jej znak, aby określić, gdzie funkcja $P(b)$ osiąga maksimum w wyznaczonej dziedzinie. Rozwiązanie: a) Wykazanie wzoru na pole $P(b)$: 1. Oznaczamy boki trójkąta. Niech $b$ będzie długością ramienia (są dwa takie boki), a $a$ długością podstawy. 2. Korzystamy ze wzoru na obwód $L$: $L = 2b + a$. Wiemy, że $L = 18$, więc$$2b + a = 18.$$3. Wyznaczamy długość podstawy $a$ w zależności od $b$:$$a = 18 - 2b.$$4. Aby obliczyć pole trójkąta równoramiennego $P$, używamy wzoru $P = \frac{1}{2} a \cdot h$, gdzie $h$ to wysokość opuszczona na podstawę $a$. Wysokość $h$ dzieli trójkąt na dwa przystające trójkąty prostokątne o przyprostokątnych $h$ i $\frac{a}{2}$, oraz przeciwprostokątnej $b$. 5. Stosujemy twierdzenie Pitagorasa:$$h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = b^2.$$Stąd$$h = \sqrt{b^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2}.$$6. Podstawiamy wyrażenie na $\frac{a}{2}$. Ponieważ $a = 18 - 2b$, to$$\frac{a}{2} = \frac{18 - 2b}{2} = 9 - b.$$7. Obliczamy wysokość $h$:$$h = \sqrt{b^2 - \left(9 - b\right)^2}.$$8. Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia $\left(A - B\right)^2 = A^2 - 2AB + B^2$ dla $\left(9 - b\right)^2$:$$\left(9 - b\right)^2 = 9^2 - 2 \cdot 9 \cdot b + b^2 = 81 - 18b + b^2.$$9. Podstawiamy to do wzoru na $h$:$$h = \sqrt{b^2 - \left(81 - 18b + b^2\right)}.$$10. Usuwamy nawias, zmieniając znaki wewnątrz:$$h = \sqrt{b^2 - 81 + 18b - b^2}.$$11. Redukujemy wyrazy podobne ($b^2$ się skraca):$$h = \sqrt{18b - 81}.$$12. Podstawiamy $a = 18 - 2b$ i $h = \sqrt{18b - 81}$ do wzoru na pole $P = \frac{1}{2} a \cdot h$:$$P(b) = \frac{1}{2} \cdot \left(18 - 2b\right) \cdot \sqrt{18b - 81}.$$13. Zapisujemy to w postaci ułamka, co daje wymagany wzór:$$P(b) = \frac{\left(18 - 2b\right) \cdot \sqrt{18b - 81}}{2}.$$b) Wyznaczenie dziedziny funkcji $P$. Dziedzina funkcji $P(b)$ jest określona przez warunki, które muszą być spełnione, aby trójkąt istniał i miał dodatnie pole. 1. Długości boków muszą być dodatnie: $b > 0$ (ramię) oraz $a > 0$ (podstawa).$$a = 18 - 2b > 0.$$Przenosimy $2b$ na prawą stronę: $18 > 2b$. Dzielimy przez $2$: $b < 9$. Zatem $b \in \left(0, 9\right)$. 2. Warunek istnienia pierwiastka (wyrażenie pod pierwiastkiem musi być nieujemne):$$18b - 81 \ge 0.$$Przenosimy $81$ na prawą stronę: $18b \ge 81$. Dzielimy przez $18$: $b \ge \frac{81}{18}$. Skracamy ułamek przez $9$: $b \ge \frac{9}{2} = 4.5$. 3. Nierówność trójkąta: Suma długości dwóch krótszych boków musi być większa niż długość boku najdłuższego. W trójkącie równoramiennym wystarczy sprawdzić, czy $b + b > a$.$$2b > 18 - 2b.$$Przenosimy $2b$ na lewą stronę: $4b > 18$. Dzielimy przez $4$: $b > \frac{18}{4} = 4.5$. 4. Łączymy wszystkie warunki: $b \in \left(0, 9\right)$, $b \ge 4.5$ oraz $b > 4.5$. Warunek $b > 4.5$ jest ostrzejszy niż $b \ge 4.5$. Dziedziną jest część wspólna:$$b \in \left(4.5, 9\right).$$c) Obliczenie długości boków trójkąta o największym polu. 1. Funkcja pola to$$P(b) = \frac{18 - 2b}{2} \cdot \sqrt{18b - 81} = \left(9 - b\right) \sqrt{18b - 81}.$$2. Aby znaleźć maksimum, badamy kwadrat funkcji $P(b)$, ponieważ $P(b) \ge 0$ na całej dziedzinie, a maksymalizacja $P(b)$ jest równoważna maksymalizacji $f(b) = \left[P(b)\right]^2$. To upraszcza liczenie pochodnej.$$f(b) = \left[ \left(9 - b\right) \sqrt{18b - 81} \right]^2 = \left(9 - b\right)^2 \left(18b - 81\right).$$3. Obliczamy pochodną $f'(b)$ korzystając ze wzoru na pochodną iloczynu $\left(u \cdot v\right)' = u'v + uv'$. Niech $u = \left(9 - b\right)^2$ i $v = 18b - 81$. Pochodna $u$: $u' = 2 \cdot \left(9 - b\right) \cdot \left(-1\right) = -2\left(9 - b\right)$. Pochodna $v$: $v' = 18$. 4. Obliczamy $f'(b)$:$$f'(b) = u'v + uv' = -2\left(9 - b\right)\left(18b - 81\right) + \left(9 - b\right)^2 \left(18\right).$$5. Wyłączamy wspólny czynnik $18\left(9 - b\right)$:$$f'(b) = \left(9 - b\right) \left[ -2\left(18b - 81\right) + 18\left(9 - b\right) \right].$$6. Upraszczamy wyrażenie w nawiasie kwadratowym:$$-2\left(18b - 81\right) + 18\left(9 - b\right) = -36b + 162 + 162 - 18b = 324 - 54b.$$7. Zatem pochodna wynosi:$$f'(b) = \left(9 - b\right) \left(324 - 54b\right).$$8. Wyłączamy $54$ z drugiego nawiasu: $324 - 54b = 54\left(6 - b\right)$.$$f'(b) = 54\left(9 - b\right)\left(6 - b\right).$$9. Szukamy miejsc zerowych pochodnej: $f'(b) = 0$. Stąd $b = 9$ lub $b = 6$. 10. Analizujemy znak pochodnej w dziedzinie $b \in \left(4.5, 9\right)$. Dla $b \in \left(4.5, 9\right)$, czynnik $\left(9 - b\right)$ jest zawsze dodatni. Znak pochodnej zależy od czynnika $\left(6 - b\right)$. - Jeśli $4.5 < b < 6$, to $6 - b > 0$, więc $f'(b) > 0$. Funkcja rośnie. - Jeśli $6 < b < 9$, to $6 - b < 0$, więc $f'(b) < 0$. Funkcja maleje. Maksimum lokalne (i globalne w tej dziedzinie) osiągane jest dla $b = 6$. 11. Obliczamy długości boków dla $b = 6$: ramię $b = 6$. Podstawa $a = 18 - 2b = 18 - 2 \cdot 6 = 18 - 12 = 6$. 12. Trójkąt o największym polu ma boki równe $6, 6$ i $6$ (jest to trójkąt równoboczny).

Zadanie 5 (maj 2021) (7 pkt)

Pewien zakład otrzymał zamówienie na wykonanie prostopadłościennego zbiornika (całkowicie otwartego od góry) o pojemności $144 \text{ m}^3$. Dno zbiornika ma być kwadratem. Żaden z wymiarów zbiornika (krawędzi prostopadłościanu) nie może przekraczać $9$ metrów. Całkowity koszt wykonania zbiornika ustalono w następujący sposób: - $100 \text{ zł}$ za $1 \text{ m}^2$ dna - $75 \text{ zł}$ za $1 \text{ m}^2$ ściany bocznej. Oblicz wymiary zbiornika, dla którego tak ustalony koszt wykonania będzie najmniejszy.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Wskazówki: 1. Zdefiniuj wymiary zbiornika (np. $a$ dla krawędzi podstawy i $h$ dla wysokości). 2. Wykorzystaj informację o objętości $V=144$ do wyrażenia wysokości $h$ za pomocą $a$: $h = \frac{144}{a^2}$. 3. Ułóż funkcję kosztu $K(a)$, która zależy tylko od jednej zmiennej $a$. Pamiętaj, że pole powierzchni bocznej to $4ah$. 4. Określ dziedzinę funkcji $K(a)$, uwzględniając ograniczenia $a \le 9$ i $h \le 9$. To doprowadzi do przedziału $a \in \left[ 4, 9 \right]$. 5. Znajdź minimum funkcji $K(a)$ w określonej dziedzinie, obliczając pochodną $K'(a)$ i przyrównując ją do zera. 6. Sprawdź warunki brzegowe dziedziny. Rozwiązanie: 1. Definicja zmiennych i wzorów geometrycznych. Oznaczamy długość krawędzi kwadratowego dna jako $a$ (w metrach) oraz wysokość zbiornika jako $h$ (w metrach). Objętość prostopadłościanu $V$ wynosi $V = a^2 h$. Zgodnie z treścią zadania $V = 144 \text{ m}^3$, zatem $a^2 h = 144$. Pole powierzchni dna $P_{\text{dno}} = a^2$. Pole powierzchni bocznej (cztery ściany) $P_{\text{boczna}} = 4ah$. 2. Wyznaczenie dziedziny zmiennej $a$. Musimy uwzględnić, że wymiary muszą być dodatnie ($a > 0$ i $h > 0$) oraz nie mogą przekraczać $9$ metrów ($a \le 9$ i $h \le 9$). Z równania objętości $a^2 h = 144$ wyznaczamy $h$:$$h = \frac{144}{a^2}$$Nakładamy ograniczenie na wysokość: $h \le 9$, czyli$$\frac{144}{a^2} \le 9$$Mnożymy obie strony przez $a^2$ (które jest dodatnie): $144 \le 9a^2$. Dzielimy przez $9$:$$a^2 \ge \frac{144}{9} = 16$$Ponieważ $a$ musi być dodatnie, otrzymujemy $a \ge 4$. Łącząc wszystkie warunki ($a \ge 4$ i $a \le 9$), dziedzina $D$ dla zmiennej $a$ to przedział $D = \left[ 4, 9 \right]$. 3. Ustalenie funkcji kosztu $K(a)$. Koszt całkowity $K$ to suma kosztu dna i kosztu ścian bocznych. Koszt dna: $K_{\text{dno}} = 100 \cdot P_{\text{dno}} = 100a^2$. Koszt ścian bocznych: $K_{\text{boczna}} = 75 \cdot P_{\text{boczna}} = 75 \cdot 4ah = 300ah$. Całkowity koszt:$$K(a, h) = 100a^2 + 300ah$$Podstawiamy $h = \frac{144}{a^2}$ do funkcji kosztu, aby otrzymać funkcję jednej zmiennej $a$:$$K(a) = 100a^2 + 300a \left( \frac{144}{a^2} \right)$$$$K(a) = 100a^2 + \frac{43200}{a}$$4. Obliczenie pochodnej funkcji kosztu $K'(a)$. Szukamy minimum funkcji $K(a)$ w dziedzinie $D=\left[ 4, 9 \right]$. Obliczamy pochodną $K'(a)$. Pamiętamy, że $\frac{1}{a} = a^{-1}$.$$K'(a) = \left( 100a^2 + 43200a^{-1} \right)'$$$$K'(a) = 200a - 43200a^{-2} = 200a - \frac{43200}{a^2}$$5. Znalezienie punktów krytycznych. Przyrównujemy pochodną do zera:$$200a - \frac{43200}{a^2} = 0$$$$200a = \frac{43200}{a^2}$$Mnożymy obie strony przez $a^2$:$$200a^3 = 43200$$Dzielimy przez $200$:$$a^3 = \frac{43200}{200} = 216$$Obliczamy pierwiastek sześcienny:$$a = \sqrt[3]{216} = 6$$Sprawdzamy, czy $a=6$ należy do dziedziny $D=\left[ 4, 9 \right]$. Tak, należy. 6. Weryfikacja minimum globalnego. Analizujemy znak pochodnej. $K'(a) = \frac{200a^3 - 43200}{a^2}$. Dla $a \in D$, $a^2 > 0$. Znak zależy od licznika. Dla $a < 6$, $K'(a) < 0$ (funkcja maleje). Dla $a > 6$, $K'(a) > 0$ (funkcja rośnie). Zatem w punkcie $a=6$ funkcja osiąga minimum globalne w dziedzinie $D$. 7. Obliczenie wymiarów. Krawędź podstawy $a = 6$ metrów. Obliczamy wysokość $h$:$$h = \frac{144}{a^2} = \frac{144}{6^2} = \frac{144}{36} = 4 \text{ metry}$$Wymiary zbiornika to $6 \text{ m} \times 6 \text{ m} \times 4 \text{ m}$.

Grupa B

Zadanie 1 (4 pkt)

Objętość $V$ stożka, jako funkcja wysokości $h$ stożka, wyraża się wzorem $$V(h) = \frac{\pi}{3} \cdot \frac{9h^3}{h^2 - 16}$$ dla $h \in \left(4, +\infty\right)$. Wyznacz wysokość tego z rozważanych stożków, którego objętość jest najmniejsza. Oblicz tę najmniejszą objętość.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 2 (4 pkt)

Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o objętości $432$, których krawędź podstawy ma długość nie większą niż $6\sqrt{3}$. Pole $P$ powierzchni całkowitej graniastosłupa w zależności od długości $a$ krawędzi podstawy graniastosłupa jest określone wzorem$$P(a) = \frac{a^2 \cdot \sqrt{3}}{2} + \frac{1728\sqrt{3}}{a}$$dla $a \in \left( 0, 6\sqrt{3} \right]$. Wyznacz długość krawędzi podstawy tego z rozważanych graniastosłupów, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 3 (4 pkt)

Funkcja $f$ jest określona wzorem $$f(x) = 16^{\log_2 x} + \frac{2 \cdot \log_2 \sqrt{27} \cdot \log_3 2}{\frac{3}{2}} \cdot x^2 - 8x$$dla każdej liczby dodatniej $x$. Oblicz najmniejszą wartość funkcji $f$ określonej dla każdej liczby dodatniej $x$. Wskazówka: przyjmij, że wzór funkcji $f$ można przedstawić w postaci $f(x) = x^4 + 2x^2 - 8x$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 4 (7 pkt)

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty równoramienne o obwodzie równym $24$. a) Wykaż, że pole $P$ każdego z tych trójkątów, jako funkcja długości $b$ ramienia, wyraża się wzorem $$P(b) = \frac{\left(24 - 2b\right) \cdot \sqrt{24b - 144}}{2}.$$b) Wyznacz dziedzinę funkcji $P$. c) Oblicz długości boków tego z rozpatrywanych trójkątów, który ma największe pole.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 5 (7 pkt)

Pewien zakład otrzymał zamówienie na wykonanie prostopadłościennego zbiornika (całkowicie otwartego od góry) o pojemności $64 \text{ m}^3$. Dno zbiornika ma być kwadratem. Żaden z wymiarów zbiornika (krawędzi prostopadłościanu) nie może przekraczać $8$ metrów. Całkowity koszt wykonania zbiornika ustalono w następujący sposób: - $100 \text{ zł}$ za $1 \text{ m}^2$ dna - $50 \text{ zł}$ za $1 \text{ m}^2$ ściany bocznej. Oblicz wymiary zbiornika, dla którego tak ustalony koszt wykonania będzie najmniejszy.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią