Wskazówki:
1. Aby znaleźć ekstrema funkcji, musisz najpierw obliczyć jej pochodną $f'(x)$. Pamiętaj o zastosowaniu wzoru na pochodną ilorazu funkcji: $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
2. Znajdź punkty krytyczne, czyli miejsca, w których $f'(x)=0$. Sprawdź, czy te punkty należą do podanej dziedziny.
3. W podpunkcie a) funkcja ma osobliwość dla $x=-3$. Sprawdź wartości na krańcach $\left\{ -6, -4, -2, 3 \right\}$ oraz w punktach krytycznych.
4. W podpunkcie b) dziedzina jest przedziałem otwartym $\left(1, 5\right)$. Oprócz sprawdzenia wartości w punkcie krytycznym, musisz obliczyć granice funkcji na krańcach przedziału: $\lim_{x \to 1^+} f(x)$ oraz $\lim_{x \to 5^-} f(x)$.
Rozwiązanie:
Rozwiązanie zadania wymaga obliczenia pochodnej funkcji, znalezienia punktów krytycznych oraz porównania wartości funkcji na krańcach przedziałów i w punktach krytycznych.
a) $f(x)=\frac{x^2}{3+x}$, $x \in \left\langle -6, -4 \right\rangle \cup \left\langle -2, 3 \right\rangle$
1. Wyznaczenie pochodnej funkcji $f(x)$
Funkcja $f(x)$ jest ilorazem. Stosujemy wzór na pochodną ilorazu: $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
Niech $u(x) = x^2$, wtedy $u'(x) = 2x$.
Niech $v(x) = 3+x$, wtedy $v'(x) = 1$.$$f'(x) = \frac{\left(2x\right)\left(3+x\right) - \left(x^2\right)\left(1\right)}{\left(3+x\right)^2}$$$$f'(x) = \frac{6x + 2x^2 - x^2}{\left(3+x\right)^2}$$$$f'(x) = \frac{x^2 + 6x}{\left(3+x\right)^2}$$2. Znalezienie punktów krytycznych
Punkty krytyczne to miejsca, gdzie pochodna jest równa zero, czyli licznik jest równy zero (pamiętając, że $x \neq -3$).$$x^2 + 6x = 0$$Wyciągamy $x$ przed nawias:$$x\left(x+6\right) = 0$$Otrzymujemy dwa punkty krytyczne: $x_1 = 0$ oraz $x_2 = -6$.
3. Sprawdzenie przynależności punktów krytycznych do dziedziny
Dziedzina to $D = \left\langle -6, -4 \right\rangle \cup \left\langle -2, 3 \right\rangle$.
$x_1 = 0$: Należy do przedziału $\left\langle -2, 3 \right\rangle$. Zostaje.
$x_2 = -6$: Jest krańcem przedziału $\left\langle -6, -4 \right\rangle$. Zostaje.
4. Obliczenie wartości funkcji na krańcach przedziałów i w punktach krytycznych
Musimy sprawdzić wartości dla $x \in \left\{ -6, -4, -2, 0, 3 \right\}$.
$f(-6) = \frac{\left(-6\right)^2}{3+\left(-6\right)} = \frac{36}{-3} = -12$
$f(-4) = \frac{\left(-4\right)^2}{3+\left(-4\right)} = \frac{16}{-1} = -16$
$f(-2) = \frac{\left(-2\right)^2}{3+\left(-2\right)} = \frac{4}{1} = 4$
$f(0) = \frac{0^2}{3+0} = 0$
$f(3) = \frac{3^2}{3+3} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} = 1.5$
5. Wyznaczenie wartości największej (M) i najmniejszej (m)
Porównując wszystkie wartości: $\left\{ -12, -16, 4, 0, 1.5 \right\}$.
Największa wartość to $M=4$.
Najmniejsza wartość to $m=-16$.
b) $f(x)=\frac{4x}{x^2+4}$, $x \in \left(1, 5\right)$
1. Wyznaczenie pochodnej funkcji $f(x)$
Stosujemy wzór na pochodną ilorazu.
Niech $u(x) = 4x$, wtedy $u'(x) = 4$.
Niech $v(x) = x^2+4$, wtedy $v'(x) = 2x$.$$f'(x) = \frac{\left(4\right)\left(x^2+4\right) - \left(4x\right)\left(2x\right)}{\left(x^2+4\right)^2}$$$$f'(x) = \frac{4x^2 + 16 - 8x^2}{\left(x^2+4\right)^2}$$$$f'(x) = \frac{16 - 4x^2}{\left(x^2+4\right)^2}$$2. Znalezienie punktów krytycznych
Szukamy, kiedy licznik jest równy zero:$$16 - 4x^2 = 0$$$$4\left(4 - x^2\right) = 0$$$$4 - x^2 = 0$$Punkty krytyczne to $x_1 = 2$ oraz $x_2 = -2$.
3. Sprawdzenie przynależności punktów krytycznych do dziedziny
Dziedzina to $D = \left(1, 5\right)$.
$x_1 = 2$: Należy do $\left(1, 5\right)$. Zostaje.
$x_2 = -2$: Nie należy do $\left(1, 5\right)$. Odrzucamy.
4. Obliczenie wartości funkcji w punkcie krytycznym i granic na krańcach otwartego przedziału
Wartość w punkcie krytycznym $x=2$:$$f(2) = \frac{4\cdot 2}{2^2+4} = \frac{8}{8} = 1$$Granica przy lewym krańcu $x \to 1^+$:$$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \frac{4\cdot 1}{1^2+4} = \frac{4}{5} = 0.8$$Granica przy prawym krańcu $x \to 5^-$:$$\lim_{x \to 5^-} f(x) = \frac{4\cdot 5}{5^2+4} = \frac{20}{29}$$5. Wyznaczenie wartości największej (M) i najmniejszej (m)
Ponieważ $f(2)=1$ jest jedynym lokalnym ekstremum wewnątrz przedziału, a granice wynoszą $0.8$ i $\frac{20}{29}$, wartość $M=1$ jest największa.
Funkcja zbliża się do $\frac{20}{29}$, ale nigdy jej nie osiąga, ponieważ przedział jest otwarty. Zatem wartość najmniejsza nie istnieje.
Największa wartość to $M=1$.
Najmniejsza wartość nie istnieje.
