Styczna do wykresu funkcji kartkówka LiczBit

22.12 Styczna do wykresu funkcji

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1 (4 pkt)

Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji $f$ w punkcie $P$, jeśli: a) $f\left(x\right) = 2x^2 - 3x + 1$, $P\left(2, 3\right)$ b) $f\left(x\right) = -x^2 + 5x - 4$, $P\left(3, 2\right)$ c) $f\left(x\right) = \frac{3x-1}{x-2}$, $P\left(x_0, 5\right)$ d) $f\left(x\right) = \frac{x+5}{3x-1}$, $P\left(x_0, 1\right)$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Wskazówki: 1. Pamiętaj, że współczynnik kierunkowy $a$ stycznej jest równy $f'\left(x_0\right)$. 2. W podpunktach c) i d) najpierw rozwiąż równanie $f\left(x_0\right) = y_0$, aby znaleźć $x_0$. 3. Przy obliczaniu pochodnej funkcji wymiernej (ilorazu) użyj wzoru:$$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}.$$4. Po znalezieniu $a$ i $x_0$ użyj wzoru na styczną: $y - y_0 = a\left(x - x_0\right)$. Rozwiązanie: Równanie stycznej do wykresu funkcji $f$ w punkcie $P\left(x_0, y_0\right)$ ma postać:$$y - y_0 = f'\left(x_0\right) \cdot \left(x - x_0\right).$$a) $f\left(x\right) = 2x^2 - 3x + 1$, $P\left(2, 3\right)$. Mamy $x_0 = 2$ i $y_0 = 3$. 1. Obliczamy pochodną funkcji $f\left(x\right)$.$$f'\left(x\right) = \left(2x^2 - 3x + 1\right)' = 4x - 3$$2. Obliczamy współczynnik kierunkowy $a$ stycznej, podstawiając $x_0 = 2$ do pochodnej.$$a = f'\left(2\right) = 4 \cdot \left(2\right) - 3 = 8 - 3 = 5$$3. Podstawiamy współczynnik $a=5$ oraz punkt $P\left(2, 3\right)$ do wzoru na styczną.$$y - 3 = 5 \cdot \left(x - 2\right)$$4. Przekształcamy równanie do postaci kierunkowej $y = ax + b$.$$y - 3 = 5x - 10$$$$y = 5x - 10 + 3$$$$y = 5x - 7$$b) $f\left(x\right) = -x^2 + 5x - 4$, $P\left(3, 2\right)$. Mamy $x_0 = 3$ i $y_0 = 2$. 1. Obliczamy pochodną funkcji $f\left(x\right)$.$$f'\left(x\right) = \left(-x^2 + 5x - 4\right)' = -2x + 5$$2. Obliczamy współczynnik kierunkowy $a$ stycznej, podstawiając $x_0 = 3$ do pochodnej.$$a = f'\left(3\right) = -2 \cdot \left(3\right) + 5 = -6 + 5 = -1$$3. Podstawiamy współczynnik $a=-1$ oraz punkt $P\left(3, 2\right)$ do wzoru na styczną.$$y - 2 = -1 \cdot \left(x - 3\right)$$4. Przekształcamy równanie do postaci kierunkowej.$$y - 2 = -x + 3$$$$y = -x + 3 + 2$$$$y = -x + 5$$c) $f\left(x\right) = \frac{3x-1}{x-2}$, $P\left(x_0, 5\right)$. Mamy $y_0 = 5$. 1. Wyznaczamy $x_0$, wiedząc, że $f\left(x_0\right) = 5$.$$\frac{3x_0-1}{x_0-2} = 5$$Zakładamy, że $x_0 \neq 2$.$$3x_0 - 1 = 5 \cdot \left(x_0 - 2\right)$$(Mnożymy obie strony przez $x_0-2$)$$3x_0 - 1 = 5x_0 - 10$$$$10 - 1 = 5x_0 - 3x_0$$$$9 = 2x_0$$$$x_0 = \frac{9}{2}$$Punkt styczności to $P\left(\frac{9}{2}, 5\right)$. 2. Obliczamy pochodną funkcji $f\left(x\right)$ używając wzoru na pochodną ilorazu, gdzie $u = 3x-1$ $\left(u'=3\right)$ i $v = x-2$ $\left(v'=1\right)$.$$f'\left(x\right) = \frac{3 \cdot \left(x-2\right) - \left(3x-1\right) \cdot 1}{\left(x-2\right)^2} = \frac{3x - 6 - 3x + 1}{\left(x-2\right)^2} = \frac{-5}{\left(x-2\right)^2}$$3. Obliczamy współczynnik kierunkowy $a$ dla $x_0 = \frac{9}{2}$.$$a = f'\left(\frac{9}{2}\right) = \frac{-5}{\left(\frac{9}{2}-2\right)^2} = \frac{-5}{\left(\frac{9}{2}-\frac{4}{2}\right)^2} = \frac{-5}{\left(\frac{5}{2}\right)^2} = \frac{-5}{\frac{25}{4}}$$$$a = -5 \cdot \frac{4}{25} = -\frac{20}{25} = -\frac{4}{5}$$4. Podstawiamy $a = -\frac{4}{5}$ oraz punkt $P\left(\frac{9}{2}, 5\right)$ do wzoru na styczną.$$y - 5 = -\frac{4}{5} \cdot \left(x - \frac{9}{2}\right)$$5. Przekształcamy równanie do postaci kierunkowej.$$y = -\frac{4}{5}x + \frac{4}{5} \cdot \frac{9}{2} + 5$$$$y = -\frac{4}{5}x + \frac{18}{5} + \frac{25}{5}$$$$y = -\frac{4}{5}x + \frac{43}{5}$$d) $f\left(x\right) = \frac{x+5}{3x-1}$, $P\left(x_0, 1\right)$. Mamy $y_0 = 1$. 1. Wyznaczamy $x_0$, wiedząc, że $f\left(x_0\right) = 1$.$$\frac{x_0+5}{3x_0-1} = 1$$Zakładamy, że $x_0 \neq \frac{1}{3}$.$$x_0 + 5 = 1 \cdot \left(3x_0 - 1\right)$$$$x_0 + 5 = 3x_0 - 1$$$$5 + 1 = 3x_0 - x_0$$$$6 = 2x_0$$$$x_0 = 3$$Punkt styczności to $P\left(3, 1\right)$. 2. Obliczamy pochodną funkcji $f\left(x\right)$ używając wzoru na pochodną ilorazu, gdzie $u = x+5$ $\left(u'=1\right)$ i $v = 3x-1$ $\left(v'=3\right)$.$$f'\left(x\right) = \frac{1 \cdot \left(3x-1\right) - \left(x+5\right) \cdot 3}{\left(3x-1\right)^2} = \frac{3x - 1 - \left(3x + 15\right)}{\left(3x-1\right)^2}$$$$f'\left(x\right) = \frac{3x - 1 - 3x - 15}{\left(3x-1\right)^2} = \frac{-16}{\left(3x-1\right)^2}$$3. Obliczamy współczynnik kierunkowy $a$ dla $x_0 = 3$.$$a = f'\left(3\right) = \frac{-16}{\left(3 \cdot 3 - 1\right)^2} = \frac{-16}{\left(9 - 1\right)^2} = \frac{-16}{\left(8\right)^2} = \frac{-16}{64}$$Upraszczamy ułamek:$$a = -\frac{1}{4}$$4. Podstawiamy $a = -\frac{1}{4}$ oraz punkt $P\left(3, 1\right)$ do wzoru na styczną.$$y - 1 = -\frac{1}{4} \cdot \left(x - 3\right)$$5. Przekształcamy równanie do postaci kierunkowej.$$y = -\frac{1}{4}x + \frac{3}{4} + 1$$$$y = -\frac{1}{4}x + \frac{3}{4} + \frac{4}{4}$$$$y = -\frac{1}{4}x + \frac{7}{4}$$

Zadanie 2 (3 pkt)

Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji $f(x)=\frac{1}{3}x^3-4x+5$ w punkcie $P(3, y_0)$. Następnie wyznacz współrzędne drugiego punktu wspólnego tej stycznej z wykresem funkcji $f$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Wskazówki: 1. Oblicz współrzędną $y_0$ punktu $P(3, y_0)$, podstawiając $x=3$ do wzoru funkcji $f(x)$. 2. Oblicz pochodną $f'(x)$ i znajdź współczynnik kierunkowy stycznej $a = f'(3)$. 3. Wyznacz równanie stycznej $y = ax + b$. 4. Przyrównaj $f(x)$ do równania stycznej, aby otrzymać równanie sześcienne. Pamiętaj, że $x=3$ jest pierwiastkiem podwójnym. 5. Użyj schematu Hornera (dzielenie przez $(x-3)$) dwukrotnie, aby znaleźć trzeci pierwiastek, a następnie oblicz jego współrzędną $y$. Rozwiązanie: 1. Obliczenie współrzędnej $y_0$ punktu styczności $P$. Podstawiamy $x=3$ do wzoru funkcji $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 4x + 5$:$$y_0 = f(3) = \frac{1}{3}(3)^3 - 4(3) + 5$$$$y_0 = \frac{1}{3}(27) - 12 + 5$$$$y_0 = 9 - 12 + 5$$$$y_0 = -3 + 5 = 2$$Zatem punkt styczności to $P(3, 2)$. 2. Obliczenie pochodnej funkcji $f(x)$. Obliczamy pochodną $f'(x)$:$$f'(x) = \left(\frac{1}{3}x^3 - 4x + 5\right)'$$$$f'(x) = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 - 4 \cdot 1 + 0$$$$f'(x) = x^2 - 4$$3. Obliczenie współczynnika kierunkowego $a$ stycznej. Podstawiamy współrzędną $x=3$ do wzoru pochodnej:$$a = f'(3) = (3)^2 - 4$$$$a = 9 - 4 = 5$$4. Wyznaczenie równania stycznej $y = ax + b$. Wiemy, że $a=5$, więc równanie ma postać $y = 5x + b$. Styczna przechodzi przez punkt $P(3, 2)$. Podstawiamy współrzędne punktu $P$:$$2 = 5(3) + b$$$$2 = 15 + b$$Polegając na zasadzie przenoszenia wyrazów na drugą stronę ze zmianą znaku:$$b = 2 - 15$$$$b = -13$$Równanie stycznej to $y = 5x - 13$. 5. Wyznaczenie drugiego punktu wspólnego. Przyrównujemy wzory funkcji i stycznej:$$\frac{1}{3}x^3 - 4x + 5 = 5x - 13$$Mnożymy całe równanie przez 3, aby usunąć ułamki:$$3 \cdot \left(\frac{1}{3}x^3 - 4x + 5\right) = 3 \cdot (5x - 13)$$$$x^3 - 12x + 15 = 15x - 39$$Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę, zmieniając ich znaki:$$x^3 - 12x - 15x + 15 + 39 = 0$$Redukujemy wyrazy podobne:$$x^3 - 27x + 54 = 0$$6. Znalezienie drugiego pierwiastka równania sześciennego. Wiemy, że $x=3$ jest pierwiastkiem podwójnym. Dzielimy wielomian $W(x) = x^3 - 27x + 54$ przez $(x-3)$ za pomocą schematu Hornera:$$\begin{array}{c|cccc} & 1 & 0 & -27 & 54 \\ 3 & 1 & 3 & -18 & 0 \end{array}$$Otrzymujemy iloraz $x^2 + 3x - 18$. Równanie przyjmuje postać $(x-3)(x^2 + 3x - 18) = 0$. Szukamy pierwiastków równania kwadratowego $x^2 + 3x - 18 = 0$. Wiemy, że $x=3$ jest jednym z pierwiastków. Korzystamy z wzorów Viète'a: suma pierwiastków $x_1 + x_2 = -3$. Jeśli $x_1 = 3$, to:$$3 + x_2 = -3$$$$x_2 = -6$$Drugi punkt wspólny ma współrzędną $x=-6$. 7. Obliczenie współrzędnej $y$ drugiego punktu. Podstawiamy $x=-6$ do równania stycznej $y = 5x - 13$:$$y = 5(-6) - 13$$$$y = -30 - 13$$$$y = -43$$Drugi punkt wspólny to $Q(-6, -43)$.

Zadanie 3 (3 pkt)

Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji $f(x) = \frac{x^2}{x-4}$ w punkcie $P(x_0, 16)$. Ile punktów wspólnych z wykresem funkcji $f$ ma ta styczna?

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Wskazówki: 1. Zacznij od znalezienia $x_0$ z warunku $f(x_0) = 16$. Pamiętaj o dziedzinie funkcji. 2. Oblicz pochodną $f'(x)$ używając wzoru na pochodną ilorazu$$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$$ 3. Współczynnik kierunkowy stycznej $a$ to $f'(x_0)$. 4. Równanie stycznej ma postać $y - y_0 = a(x - x_0)$. 5. Aby znaleźć punkty wspólne, porównaj $f(x)$ z otrzymanym równaniem stycznej. Rozwiązanie: 1. Znalezienie współrzędnej $x_0$ punktu styczności. Punkt $P(x_0, 16)$ leży na wykresie funkcji $f(x) = \frac{x^2}{x-4}$. Oznacza to, że $f(x_0) = 16$. Dziedzina funkcji to $x \neq 4$.$$\frac{x_0^2}{x_0-4} = 16$$Mnożymy obie strony przez mianownik $(x_0-4)$:$$x_0^2 = 16(x_0-4)$$Wykonujemy mnożenie:$$x_0^2 = 16x_0 - 64$$Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę:$$x_0^2 - 16x_0 + 64 = 0$$Stosujemy wzór skróconego mnożenia:$$(x_0 - 8)^2 = 0$$Rozwiązaniem jest $x_0 = 8$. Punkt styczności to $P(8, 16)$. 2. Obliczenie pochodnej funkcji $f(x)$. Funkcja $f(x) = \frac{x^2}{x-4}$. Stosujemy wzór na pochodną ilorazu. Niech $u = x^2$, $u' = 2x$. Niech $v = x-4$, $v' = 1$.$$f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{(2x)(x-4) - (x^2)(1)}{(x-4)^2}$$Upraszczamy licznik:$$f'(x) = \frac{2x^2 - 8x - x^2}{(x-4)^2} = \frac{x^2 - 8x}{(x-4)^2}$$3. Obliczenie współczynnika kierunkowego $a$. Podstawiamy $x_0 = 8$ do wzoru pochodnej:$$a = f'(8) = \frac{8^2 - 8 \cdot 8}{(8-4)^2}$$$$a = \frac{64 - 64}{4^2} = \frac{0}{16} = 0$$Współczynnik kierunkowy stycznej wynosi $a=0$. 4. Wyznaczenie równania stycznej. Korzystamy ze wzoru $y - y_0 = a(x - x_0)$. Podstawiamy $x_0=8$, $y_0=16$ i $a=0$:$$y - 16 = 0(x - 8)$$$$y = 16$$Równanie stycznej to $y = 16$. 5. Liczba punktów wspólnych. Porównujemy funkcję $f(x)$ i styczną $y=16$:$$\frac{x^2}{x-4} = 16$$To równanie jest identyczne z tym z Kroku 1: $x^2 - 16x + 64 = 0$, czyli $(x-8)^2 = 0$. Jedynym rozwiązaniem jest $x=8$. 6. Wniosek. Styczna $y=16$ ma jeden punkt wspólny z wykresem funkcji $f(x)$.

Zadanie 4 (3 pkt)

Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji $f(x)=\frac{x^2}{x+3}$ w punkcie $P(x_0, -12)$. Ile punktów wspólnych z wykresem funkcji $f$ ma ta styczna?

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Wskazówki: 1. Użyj współrzędnej $y_0 = -12$ do wyznaczenia $x_0$, rozwiązując równanie $f(x_0) = -12$. 2. Oblicz pochodną funkcji $f'(x)$ (skorzystaj ze wzoru na pochodną ilorazu: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$). 3. Wyznacz współczynnik kierunkowy stycznej $a = f'(x_0)$. 4. Użyj wzoru na równanie stycznej: $y - y_0 = a(x - x_0)$. 5. Aby znaleźć punkty wspólne, rozwiąż równanie $f(x) = y_{styczna}$. Rozwiązanie: 1. Wyznaczenie współrzędnej $x_0$. Znamy współrzędną $y_0 = -12$ i wiemy, że punkt $P(x_0, y_0)$ leży na wykresie funkcji $f(x)$. Musimy rozwiązać równanie $f(x_0) = -12$. Pamiętamy o dziedzinie funkcji $D_f: x \neq -3$.$$f(x_0) = \frac{x_0^2}{x_0+3} = -12$$Mnożymy obie strony przez mianownik $(x_0+3)$, pamiętając, że $x_0 \neq -3$:$$x_0^2 = -12(x_0+3)$$Wykonujemy mnożenie po prawej stronie:$$x_0^2 = -12x_0 - 36$$Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę, zmieniając znaki, aby otrzymać równanie kwadratowe:$$x_0^2 + 12x_0 + 36 = 0$$Zauważamy, że jest to wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. W tym przypadku $a=x_0$ i $b=6$.$$(x_0 + 6)^2 = 0$$Rozwiązaniem jest $x_0 = -6$. Punkt styczności to $P(-6, -12)$. 2. Obliczenie pochodnej funkcji $f'(x)$. Korzystamy ze wzoru na pochodną ilorazu: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. Tutaj $u = x^2$, więc $u' = 2x$. Natomiast $v = x+3$, więc $v' = 1$.$$f'(x) = \frac{(x^2)'(x+3) - x^2(x+3)'}{(x+3)^2}$$$$f'(x) = \frac{2x(x+3) - x^2(1)}{(x+3)^2}$$Upraszczamy licznik:$$f'(x) = \frac{2x^2 + 6x - x^2}{(x+3)^2}$$$$f'(x) = \frac{x^2 + 6x}{(x+3)^2}$$3. Wyznaczenie współczynnika kierunkowego stycznej $a$. Współczynnik kierunkowy $a$ jest równy wartości pochodnej w punkcie styczności $x_0 = -6$.$$a = f'(-6) = \frac{(-6)^2 + 6(-6)}{(-6+3)^2}$$$$a = \frac{36 - 36}{(-3)^2} = \frac{0}{9} = 0$$4. Wyznaczenie równania stycznej. Korzystamy ze wzoru $y - y_0 = a(x - x_0)$. Mamy $x_0 = -6$, $y_0 = -12$ i $a = 0$.$$y - (-12) = 0(x - (-6))$$$$y + 12 = 0$$$$y = -12$$Równanie stycznej to $y = -12$. 5. Określenie liczby punktów wspólnych. Szukamy punktów, w których wykres funkcji $f(x)$ przecina się ze styczną $y = -12$. Musimy rozwiązać równanie $f(x) = -12$.$$\frac{x^2}{x+3} = -12$$To równanie zostało już rozwiązane w kroku 1. Otrzymaliśmy równanie kwadratowe:$$x^2 + 12x + 36 = 0$$$$(x + 6)^2 = 0$$Jedynym rozwiązaniem jest $x = -6$. Ponieważ jest to pierwiastek podwójny, oznacza to, że prosta jest styczna do wykresu w tym punkcie i nie ma innych punktów wspólnych. Odpowiedź: Styczna ma równanie $y = -12$ i ma $1$ punkt wspólny z wykresem funkcji $f$.

Zadanie 5 (3 pkt)

Styczna do wykresu funkcji $g(x) = x^3 - 3x^2 + 4x + 1$, $x \in \mathbb{R}$, w punkcie $D$ przecina ten wykres w punkcie $C(0, 1)$, różnym od punktu $D$. a) Wyznacz współrzędne punktu $D$. b) Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji $g$ w punkcie $D$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Wskazówki: 1. Oblicz pochodną $g'(x) = 3x^2 - 6x + 4$. Współczynnik kierunkowy stycznej $m$ w punkcie $D(x_D, y_D)$ to $m = g'(x_D)$. 2. Skorzystaj z faktu, że styczna przechodzi przez $C(0, 1)$. Ponieważ $x_C=0$, wyraz wolny $b$ w równaniu $y=mx+b$ jest równy $y_C$. 3. Ułóż równanie, przyrównując $g(x_D)$ do wartości stycznej w $x_D$. Powinieneś otrzymać równanie sześcienne, które można sprowadzić do postaci $x_D^2 (-2x_D + 3) = 0$. 4. Pamiętaj, że punkt $D$ musi być różny od $C$, więc $x_D \neq 0$. Rozwiązanie: 1. Obliczenie pochodnej funkcji $g(x)$. Funkcja to $g(x) = x^3 - 3x^2 + 4x + 1$. Obliczamy pochodną:$$g'(x) = (x^3 - 3x^2 + 4x + 1)'$$$$g'(x) = 3x^2 - 6x + 4$$2. Wyznaczenie współczynnika kierunkowego $m$ i wyrazu wolnego $b$. Współczynnik kierunkowy $m$ stycznej w punkcie $D(x_D, y_D)$ to $m = g'(x_D) = 3x_D^2 - 6x_D + 4$. Równanie stycznej ma postać $y = mx + b$. Ponieważ styczna przechodzi przez $C(0, 1)$, podstawiamy $x=0$ i $y=1$:$$1 = m \cdot 0 + b$$$$b = 1$$Równanie stycznej $t$ to: $y = (3x_D^2 - 6x_D + 4) x + 1$. 3. Ułożenie i rozwiązanie równania na $x_D$. Punkt $D(x_D, g(x_D))$ leży na stycznej. Przyrównujemy $g(x_D)$ do wartości stycznej w $x_D$:$$g(x_D) = (3x_D^2 - 6x_D + 4) x_D + 1$$$$x_D^3 - 3x_D^2 + 4x_D + 1 = 3x_D^3 - 6x_D^2 + 4x_D + 1$$Przenosimy wszystkie składniki na prawą stronę (zmieniamy znaki):$$0 = 3x_D^3 - x_D^3 - 6x_D^2 + 3x_D^2 + 4x_D - 4x_D + 1 - 1$$$$0 = 2x_D^3 - 3x_D^2$$4. Wyznaczenie $x_D$. Wyłączamy wspólny czynnik $x_D^2$:$$x_D^2 (2x_D - 3) = 0$$Otrzymujemy rozwiązania: $x_D = 0$ lub $2x_D - 3 = 0 \implies x_D = \frac{3}{2}$. Ponieważ punkt $D$ musi być różny od $C(0, 1)$, odrzucamy $x_D = 0$. Zatem $x_D = \frac{3}{2}$. 5. Obliczenie współrzędnej $y_D$ (Odpowiedź a). Podstawiamy $x_D = \frac{3}{2}$ do wzoru funkcji $g(x)$:$$y_D = g\left(\frac{3}{2}\right) = \left(\frac{3}{2}\right)^3 - 3\left(\frac{3}{2}\right)^2 + 4\left(\frac{3}{2}\right) + 1$$$$y_D = \frac{27}{8} - 3\left(\frac{9}{4}\right) + 6 + 1$$$$y_D = \frac{27}{8} - \frac{27}{4} + 7$$Sprowadzamy do wspólnego mianownika 8:$$y_D = \frac{27}{8} - \frac{54}{8} + \frac{56}{8}$$$$y_D = \frac{27 - 54 + 56}{8} = \frac{29}{8}$$Współrzędne punktu $D$ to $\left(\frac{3}{2}, \frac{29}{8}\right)$. 6. Obliczenie współczynnika kierunkowego $m$ (Krok do b). Podstawiamy $x_D = \frac{3}{2}$ do wzoru na $m$ z kroku 2:$$m = g'\left(\frac{3}{2}\right) = 3\left(\frac{3}{2}\right)^2 - 6\left(\frac{3}{2}\right) + 4$$$$m = 3\left(\frac{9}{4}\right) - 9 + 4$$$$m = \frac{27}{4} - 5$$$$m = \frac{27}{4} - \frac{20}{4} = \frac{7}{4}$$7. Wyznaczenie równania stycznej (Odpowiedź b). Korzystamy z równania $y = mx + b$, gdzie $m=\frac{7}{4}$ i $b=1$: Równanie stycznej to $y = \frac{7}{4}x + 1$.

Grupa B

Zadanie 1 (4 pkt)

Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji $f$ w punkcie $P$, jeśli: a) $f\left(x\right) = 3x^2 - 5x + 2$, $P\left(1, 0\right)$ b) $f\left(x\right) = -4x^2 - 2x + 1$, $P\left(-1, -1\right)$ c) $f\left(x\right) = \frac{5x-3}{x-1}$, $P\left(x_0, 7\right)$ d) $f\left(x\right) = \frac{2x+1}{x+4}$, $P\left(x_0, 3\right)$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 2 (3 pkt)

Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji $f(x)=\frac{1}{4}x^3-3x+2$ w punkcie $P(-4, y_0)$. Następnie wyznacz współrzędne drugiego punktu wspólnego tej stycznej z wykresem funkcji $f$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 3 (3 pkt)

Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji $f(x) = \frac{x^2}{x+1}$ w punkcie $P(x_0, \frac{4}{3})$. Ile punktów wspólnych z wykresem funkcji $f$ ma ta styczna?

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 4 (3 pkt)

Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji $f(x)=\frac{x^2}{x-1}$ w punkcie $P(x_0, \frac{9}{2})$. Ile punktów wspólnych z wykresem funkcji $f$ ma ta styczna?

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 5 (3 pkt)

Styczna do wykresu funkcji $h(x) = x^3 + 3x^2 - 5x + 7$, $x \in \mathbb{R}$, w punkcie $F$ przecina ten wykres w punkcie $E(1, 6)$, różnym od punktu $F$. a) Wyznacz współrzędne punktu $F$. b) Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji $h$ w punkcie $F$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

22.12 Styczna do wykresu funkcji

Grupa A

Zadanie 1 (4 pkt)

Zadanie 2 (3 pkt)

Zadanie 3 (3 pkt)

Zadanie 4 (3 pkt)

Zadanie 5 (3 pkt)

Grupa B

Zadanie 1 (4 pkt)

Zadanie 2 (3 pkt)

Zadanie 3 (3 pkt)

Zadanie 4 (3 pkt)

Zadanie 5 (3 pkt)

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Witaj na Liczbit 👋