Wskazówki:
a) Dziedzina $g(x)$ wymaga, aby $x \ge 4$. Zatem dla $g \circ f$, $f(x)$ musi być większe lub równe 4. Rozwiąż nierówność $\left(x+2\right)^2 \ge 4$, używając różnicy kwadratów.
b) Pamiętaj, że dla $f \circ g$, argument funkcji $f$ (czyli $g(x)$) musi być nieujemny. Rozwiąż $3x+9 \ge 0$.
c) Dziedzina $g(x)$ to $x>0$. Dla $g \circ f$ musisz rozwiązać nierówność wymierną $f(x) > 0$. Dla $f \circ g$ musisz wykluczyć $x$ takie, że $g(x) = -3$ (bo $D_f$ wymaga $x \ne -3$).
Rozwiązanie:
Rozwiązanie dla a) $f(x) = \left(x + 2\right)^2$, $g(x) = \sqrt{x-4}$
1. Wyznaczanie dziedzin funkcji bazowych.
$D_f = \mathbb{R}$.
$D_g$: $x - 4 \ge 0$, czyli $x \ge 4$.$$D_g = \left[4, \infty\right)$$2. Wyznaczanie złożenia $h_1(x) = g \circ f = g(f(x))$.
Podstawiamy wzór funkcji $f(x)$ do funkcji $g(x)$:$$h_1(x) = g\left(\left(x+2\right)^2\right) = \sqrt{\left(x+2\right)^2 - 4}$$3. Wyznaczanie dziedziny $D_{h_1}$.
Musimy spełnić warunek $f(x) \in D_g$, czyli $f(x) \ge 4$.
Rozwiązujemy nierówność:$$\left(x+2\right)^2 \ge 4$$Przenosimy 4 na lewą stronę:$$\left(x+2\right)^2 - 4 \ge 0$$Stosujemy wzór na różnicę kwadratów $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, gdzie $a=\left(x+2\right)$ i $b=2$.$$\left(\left(x+2\right) - 2\right)\left(\left(x+2\right) + 2\right) \ge 0$$Upraszczamy nawiasy:$$\left(x\right)\left(x+4\right) \ge 0$$Szukamy miejsc zerowych: $x=0$ i $x=-4$. Jest to nierówność kwadratowa z ramionami skierowanymi w górę. Jest ona spełniona na zewnątrz pierwiastków.$$D_{h_1} = \left(-\infty, -4\right] \cup \left[0, \infty\right)$$4. Wyznaczanie złożenia $h_2(x) = f \circ g = f(g(x))$.
Podstawiamy wzór funkcji $g(x)$ do funkcji $f(x)$:$$h_2(x) = f\left(\sqrt{x-4}\right) = \left(\sqrt{x-4} + 2\right)^2$$5. Wyznaczanie dziedziny $D_{h_2}$.
$x$ musi należeć do dziedziny $g$, czyli $x \ge 4$. Ponieważ $D_f = \mathbb{R}$, drugi warunek jest zawsze spełniony.$$D_{h_2} = \left[4, \infty\right)$$Rozwiązanie dla b) $f(x) = \sqrt{x}$, $g(x) = 3x + 9$
1. Wyznaczanie dziedzin funkcji bazowych.$$D_f = \left[0, \infty\right)$$$$D_g = \mathbb{R}$$2. Wyznaczanie złożenia $h_1(x) = g \circ f = g(f(x))$.$$h_1(x) = g\left(\sqrt{x}\right) = 3\sqrt{x} + 9$$3. Wyznaczanie dziedziny $D_{h_1}$.
$x \in D_f$, czyli $x \ge 0$. Oraz $f(x) \in D_g$, co jest zawsze prawdą dla $x \ge 0$.$$D_{h_1} = \left[0, \infty\right)$$4. Wyznaczanie złożenia $h_2(x) = f \circ g = f(g(x))$.$$h_2(x) = f\left(3x + 9\right) = \sqrt{3x + 9}$$5. Wyznaczanie dziedziny $D_{h_2}$.
$g(x)$ musi należeć do $D_f$, czyli $g(x) \ge 0$.
Rozwiązujemy nierówność:$$3x + 9 \ge 0$$Odejmujemy 9 od obu stron:$$3x \ge -9$$Dzielimy przez 3:$$x \ge -3$$$$D_{h_2} = \left[-3, \infty\right)$$Rozwiązanie dla c) $f(x) = \frac{x-2}{x+3}$, $g(x) = \frac{2}{\sqrt{x}}$
1. Wyznaczanie dziedzin funkcji bazowych.
$D_f$: $x + 3 \ne 0$, czyli $x \ne -3$.$$D_f = \mathbb{R} \setminus \left\{-3\right\}$$$D_g$: $x > 0$.$$D_g = \left(0, \infty\right)$$2. Wyznaczanie złożenia $h_1(x) = g \circ f = g(f(x))$.$$h_1(x) = g\left(\frac{x-2}{x+3}\right) = \frac{2}{\sqrt{\frac{x-2}{x+3}}}$$3. Wyznaczanie dziedziny $D_{h_1}$.
$x \in D_f$, czyli $x \ne -3$. Oraz $f(x) \in D_g$, czyli $f(x) > 0$.
Musimy rozwiązać nierówność wymierną:$$\frac{x-2}{x+3} > 0$$Iloczyn $\left(x-2\right)\left(x+3\right)$ musi być większy od zera. Miejsca zerowe to $x=2$ i $x=-3$. Nierówność jest spełniona na zewnątrz pierwiastków.$$D_{h_1} = \left(-\infty, -3\right) \cup \left(2, \infty\right)$$4. Wyznaczanie złożenia $h_2(x) = f \circ g = f(g(x))$.$$h_2(x) = f\left(\frac{2}{\sqrt{x}}\right) = \frac{\frac{2}{\sqrt{x}}-2}{\frac{2}{\sqrt{x}}+3}$$5. Wyznaczanie dziedziny $D_{h_2}$.
$x \in D_g$, czyli $x > 0$. Oraz $g(x) \in D_f$, czyli $g(x) \ne -3$.
Musimy sprawdzić, kiedy $g(x) = -3$:$$\frac{2}{\sqrt{x}} = -3$$Ponieważ $\sqrt{x}$ jest zawsze dodatnie (dla $x>0$), to $\frac{2}{\sqrt{x}}$ jest zawsze dodatnie. Liczba dodatnia nigdy nie może być równa liczbie ujemnej ($-3$). Zatem ten warunek jest spełniony dla wszystkich $x \in D_g$.$$D_{h_2} = \left(0, \infty\right)$$
