We wszystkich podpunktach stosujemy wzór na pochodną iloczynu funkcji $f(x) = u(x) \cdot v(x)$, który ma postać $f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$. a) 1. Definiujemy funkcje składowe $u(x)$ i $v(x)$: $u(x) = 3x + 2$ oraz $v(x) = x^4 - 5$. 2. Obliczamy pochodne $u'(x)$ i $v'(x)$: $u'(x) = 3$ oraz $v'(x) = 4x^3$. 3. Stosujemy wzór na pochodną iloczynu:$$f'(x) = 3 \cdot (x^4 - 5) + (3x + 2) \cdot (4x^3)$$4. Upraszczamy wyrażenie, wymnażając nawiasy:$$f'(x) = 3x^4 - 15 + 12x^4 + 8x^3$$5. Redukujemy wyrazy podobne:$$f'(x) = 15x^4 + 8x^3 - 15$$b) 1. Definiujemy funkcje składowe: $u(x) = 2x^3 - x^2 + 3x$ oraz $v(x) = x^2 - x + 2$. 2. Obliczamy pochodne:$$u'(x) = 6x^2 - 2x + 3$$$$v'(x) = 2x - 1$$3. Stosujemy wzór na pochodną iloczynu:$$f'(x) = (6x^2 - 2x + 3)(x^2 - x + 2) + (2x^3 - x^2 + 3x)(2x - 1)$$4. Wymnażamy pierwszy iloczyn $u'v$:$$u'v = 6x^2(x^2 - x + 2) - 2x(x^2 - x + 2) + 3(x^2 - x + 2)$$$$u'v = 6x^4 - 6x^3 + 12x^2 - 2x^3 + 2x^2 - 4x + 3x^2 - 3x + 6$$$$u'v = 6x^4 - 8x^3 + 17x^2 - 7x + 6$$5. Wymnażamy drugi iloczyn $uv'$:$$uv' = 2x^3(2x - 1) - x^2(2x - 1) + 3x(2x - 1)$$$$uv' = 4x^4 - 2x^3 - 2x^3 + x^2 + 6x^2 - 3x$$$$uv' = 4x^4 - 4x^3 + 7x^2 - 3x$$6. Sumujemy wyniki $u'v + uv'$:$$f'(x) = (6x^4 - 8x^3 + 17x^2 - 7x + 6) + (4x^4 - 4x^3 + 7x^2 - 3x)$$$$f'(x) = 10x^4 - 12x^3 + 24x^2 - 10x + 6$$c) 1. Przepisujemy funkcję w postaci potęgowej, aby łatwiej obliczyć pochodne:$$f(x) = (3x^{\frac{1}{2}} - x^3 + 2)(x^2 + x^{-1})$$2. Definiujemy funkcje składowe: $u(x) = 3x^{\frac{1}{2}} - x^3 + 2$ oraz $v(x) = x^2 + x^{-1}$. 3. Obliczamy pochodne:$$u'(x) = 3 \cdot \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} - 3x^2 = \frac{3}{2} x^{-\frac{1}{2}} - 3x^2$$$$v'(x) = 2x - 1 \cdot x^{-1 - 1} = 2x - x^{-2}$$4. Stosujemy wzór na pochodną iloczynu $f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$:$$f'(x) = (\frac{3}{2} x^{-\frac{1}{2}} - 3x^2)(x^2 + x^{-1}) + (3x^{\frac{1}{2}} - x^3 + 2)(2x - x^{-2})$$5. Wymnażamy i upraszczamy (używamy postaci pierwiastkowej/ułamkowej dla końcowego wyniku):$$u'v = \frac{3}{2} x^{-\frac{1}{2}} \cdot x^2 + \frac{3}{2} x^{-\frac{1}{2}} \cdot x^{-1} - 3x^2 \cdot x^2 - 3x^2 \cdot x^{-1}$$$$u'v = \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2}} + \frac{3}{2} x^{-\frac{3}{2}} - 3x^4 - 3x$$$$uv' = 3x^{\frac{1}{2}} \cdot 2x - 3x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{-2} - x^3 \cdot 2x + x^3 \cdot x^{-2} + 2 \cdot 2x - 2 \cdot x^{-2}$$$$uv' = 6x^{\frac{3}{2}} - 3x^{-\frac{3}{2}} - 2x^4 + x + 4x - 2x^{-2}$$$$uv' = 6x^{\frac{3}{2}} - 3x^{-\frac{3}{2}} - 2x^4 + 5x - 2x^{-2}$$6. Sumujemy wyniki $u'v + uv'$:$$f'(x) = (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2}} + 6x^{\frac{3}{2}}) + (\frac{3}{2} x^{-\frac{3}{2}} - 3x^{-\frac{3}{2}}) + (-3x^4 - 2x^4) + (-3x + 5x) - 2x^{-2}$$$$f'(x) = \frac{15}{2} x^{\frac{3}{2}} - \frac{3}{2} x^{-\frac{3}{2}} - 5x^4 + 2x - 2x^{-2}$$7. Zapisujemy wynik w postaci pierwiastków i ułamków:$$f'(x) = \frac{15}{2} x\sqrt{x} - \frac{3}{2x\sqrt{x}} - 5x^4 + 2x - \frac{2}{x^2}$$