Wskazówki:
1. Aby funkcja miała pochodną w danym punkcie $x_0$, musi być w tym punkcie najpierw ciągła. Sprawdź, czy wartość funkcji w $x_0$ jest równa granicy lewostronnej i granicy prawostronnej w tym punkcie:$$f(x_0) = \lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x)$$2. Jeśli funkcja jest ciągła, oblicz pochodne cząstkowe dla obu wzorów funkcji.
3. Pochodna lewostronna $f'_{-}(x_0)$ to wartość pochodnej dla wzoru obowiązującego dla $x \le x_0$.
4. Pochodna prawostronna $f'_{+}(x_0)$ to wartość pochodnej dla wzoru obowiązującego dla $x > x_0$.
5. Pochodna funkcji w punkcie $x_0$ istnieje tylko wtedy, gdy pochodna lewostronna jest równa pochodnej prawostronnej, czyli $f'_{-}(x_0) = f'_{+}(x_0)$.
Rozwiązanie:
Aby zbadać istnienie pochodnej funkcji $f$ w punkcie $x_0$, musimy sprawdzić dwa warunki: ciągłość funkcji w $x_0$ oraz równość pochodnych jednostronnych.
a)$$f(x)=\begin{cases} 2x^2+5x, & \text{jeśli } x \le 1 \\ 9x-2, & \text{jeśli } x > 1 \end{cases} \quad x_0 = 1$$1. Sprawdzenie ciągłości w $x_0=1$:
Obliczamy wartość funkcji w punkcie, granicę lewostronną i prawostronną. Jeśli są równe, funkcja jest ciągła.
Wartość funkcji dla $x=1$ (korzystamy z górnego wzoru, bo $x \le 1$):$$f(1) = 2 \cdot 1^2 + 5 \cdot 1 = 2 + 5 = 7$$Granica lewostronna (dla $x \to 1^-$, czyli $x < 1$, korzystamy z górnego wzoru):$$\lim_{x \to 1^-} f(x) = 2 \cdot 1^2 + 5 \cdot 1 = 7$$Granica prawostronna (dla $x \to 1^+$, czyli $x > 1$, korzystamy z dolnego wzoru):$$\lim_{x \to 1^+} f(x) = 9 \cdot 1 - 2 = 9 - 2 = 7$$Ponieważ $f(1) = \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = 7$, funkcja jest ciągła w $x_0=1$.
2. Obliczenie pochodnych jednostronnych:
Pochodna lewostronna (dla $x \le 1$): Obliczamy pochodną wzoru $2x^2+5x$. Pochodna $2x^2$ to $4x$, a pochodna $5x$ to $5$. Zatem $f'(x) = 4x+5$.
Obliczamy wartość pochodnej w punkcie $x_0=1$:$$f'_{-}(1) = 4 \cdot 1 + 5 = 9$$Pochodna prawostronna (dla $x > 1$): Obliczamy pochodną wzoru $9x-2$. Pochodna $9x$ to $9$, a pochodna stałej $-2$ to $0$. Zatem $f'(x) = 9$.
Obliczamy wartość pochodnej w punkcie $x_0=1$:$$f'_{+}(1) = 9$$3. Porównanie pochodnych jednostronnych:
Ponieważ $f'_{-}(1) = 9$ i $f'_{+}(1) = 9$, pochodne jednostronne są równe. Pochodna funkcji $f$ w punkcie $x_0=1$ istnieje i wynosi $9$.
b)$$f(x)=\begin{cases} 4x+1, & \text{jeśli } x \le -1 \\ 5x+2, & \text{jeśli } x > -1 \end{cases} \quad x_0 = -1$$1. Sprawdzenie ciągłości w $x_0=-1$:
Wartość funkcji dla $x=-1$ (górny wzór):$$f(-1) = 4 \cdot (-1) + 1 = -4 + 1 = -3$$Granica lewostronna (górny wzór):$$\lim_{x \to -1^-} f(x) = 4 \cdot (-1) + 1 = -3$$Granica prawostronna (dolny wzór):$$\lim_{x \to -1^+} f(x) = 5 \cdot (-1) + 2 = -5 + 2 = -3$$Funkcja jest ciągła w $x_0=-1$.
2. Obliczenie pochodnych jednostronnych:
Pochodna lewostronna (dla $x \le -1$): Pochodna $4x+1$ to $f'(x) = 4$. Zatem$$f'_{-}(-1) = 4$$Pochodna prawostronna (dla $x > -1$): Pochodna $5x+2$ to $f'(x) = 5$. Zatem$$f'_{+}(-1) = 5$$3. Porównanie pochodnych jednostronnych:
Ponieważ $f'_{-}(-1) = 4$ i $f'_{+}(-1) = 5$, pochodne jednostronne są różne ($4 \neq 5$). Pochodna funkcji $f$ w punkcie $x_0=-1$ nie istnieje.
c)$$f(x)=\begin{cases} x^2-4, & \text{jeśli } x \le 2 \\ 3x+1, & \text{jeśli } x > 2 \end{cases} \quad x_0 = 2$$1. Sprawdzenie ciągłości w $x_0=2$:
Wartość funkcji dla $x=2$ (górny wzór):$$f(2) = 2^2 - 4 = 4 - 4 = 0$$Granica lewostronna (górny wzór):$$\lim_{x \to 2^-} f(x) = 2^2 - 4 = 0$$Granica prawostronna (dolny wzór):$$\lim_{x \to 2^+} f(x) = 3 \cdot 2 + 1 = 6 + 1 = 7$$Ponieważ granica lewostronna ($0$) jest różna od granicy prawostronnej ($7$), funkcja jest nieciągła w $x_0=2$.
2. Wniosek:
Jeśli funkcja nie jest ciągła w punkcie, to nie może mieć w nim pochodnej. Pochodna funkcji $f$ w punkcie $x_0=2$ nie istnieje.
