Asymptoty wykresu funkcji kartkówka LiczBit

22.8 Asymptoty wykresu funkcji

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1 (3 pkt)

Zbadaj, czy wykres funkcji $f$ ma asymptoty pionowe. Jeśli tak, wyznacz równania tych asymptot: a) $f(x) = \frac{3x-9}{x+4}$ b) $f(x) = \frac{10}{(x+3)^2}$ c) $f(x) = \frac{4}{2x^2+6x}$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Wskazówki: 1. Asymptoty pionowe mogą istnieć tylko w punktach, które nie należą do dziedziny funkcji, czyli w miejscach zerowych mianownika. 2. Aby sprawdzić, czy w punkcie $x_0$ istnieje asymptota pionowa, należy obliczyć granice jednostronne: $\lim_{x \to x_0^+} f(x)$ oraz $\lim_{x \to x_0^-} f(x)$. 3. Jeśli któraś z tych granic wynosi $\pm \infty$, to prosta $x=x_0$ jest asymptotą pionową. 4. W podpunkcie c) najpierw rozłóż mianownik na czynniki ($2x^2+6x = 2x(x+3)$), aby znaleźć wszystkie punkty podejrzane o bycie asymptotami. Rozwiązanie: a) $f(x) = \frac{3x-9}{x+4}$ 1. Wyznaczanie dziedziny. Dziedzina funkcji wymiernej jest zbiorem liczb rzeczywistych z wyłączeniem tych, dla których mianownik jest równy zero. Przyrównujemy mianownik do zera: $x+4 = 0$. Otrzymujemy $x = -4$. Zatem dziedzina to $D_f = R \setminus \{-4\}$. 2. Identyfikacja potencjalnej asymptoty. Potencjalna asymptota pionowa może istnieć w punkcie $x_0 = -4$, ponieważ w tym punkcie funkcja jest nieokreślona. 3. Badanie granic jednostronnych w punkcie $x_0 = -4$. Musimy sprawdzić, do czego dąży funkcja, gdy zbliżamy się do $-4$ z prawej i lewej strony. Granica prawostronna ($x \to -4^+$):$$\lim_{x \to -4^+} f(x) = \lim_{x \to -4^+} \frac{3x-9}{x+4}$$Licznik: Gdy $x$ dąży do $-4$, licznik dąży do $3 \cdot (-4) - 9 = -12 - 9 = -21$. Mianownik: Gdy $x$ dąży do $-4$ z prawej strony (czyli $x > -4$, np. $-3.999$), to $x+4$ jest bardzo małą liczbą dodatnią ($0^+$).$$\lim_{x \to -4^+} f(x) = \frac{-21}{0^+} = -\infty$$Granica lewostronna ($x \to -4^-$):$$\lim_{x \to -4^-} f(x) = \lim_{x \to -4^-} \frac{3x-9}{x+4}$$Licznik: Gdy $x$ dąży do $-4$, licznik dąży do $-21$. Mianownik: Gdy $x$ dąży do $-4$ z lewej strony (czyli $x < -4$, np. $-4.001$), to $x+4$ jest bardzo małą liczbą ujemną ($0^-$).$$\lim_{x \to -4^-} f(x) = \frac{-21}{0^-} = +\infty$$4. Wniosek. Ponieważ granice jednostronne w punkcie $x=-4$ są nieskończone, prosta $x=-4$ jest asymptotą pionową obustronną wykresu funkcji $f$. b) $f(x) = \frac{10}{(x+3)^2}$ 1. Wyznaczanie dziedziny. Przyrównujemy mianownik do zera: $(x+3)^2 = 0$. Otrzymujemy $x+3 = 0$, czyli $x = -3$. Zatem dziedzina to $D_f = R \setminus \{-3\}$. 2. Identyfikacja potencjalnej asymptoty. Potencjalna asymptota pionowa może istnieć w punkcie $x_0 = -3$. 3. Badanie granicy w punkcie $x_0 = -3$. Musimy sprawdzić, do czego dąży funkcja, gdy $x$ zbliża się do $-3$.$$\lim_{x \to -3} f(x) = \lim_{x \to -3} \frac{10}{(x+3)^2}$$Licznik: Jest stałą liczbą $10$. Mianownik: Ponieważ mianownik jest podniesiony do kwadratu, $(x+3)^2$ zawsze dąży do zera z wartości dodatnich ($0^+$), niezależnie od tego, czy $x$ dąży do $-3$ z lewej, czy z prawej strony.$$\lim_{x \to -3} f(x) = \frac{10}{0^+} = +\infty$$4. Wniosek. Ponieważ granica w punkcie $x=-3$ jest nieskończona, prosta $x=-3$ jest asymptotą pionową obustronną wykresu funkcji $f$. c) $f(x) = \frac{4}{2x^2+6x}$ 1. Wyznaczanie dziedziny. Przyrównujemy mianownik do zera: $2x^2+6x = 0$. Wyciągamy wspólny czynnik $2x$ przed nawias: $2x(x+3) = 0$. Równanie to jest spełnione, gdy $2x=0$ (czyli $x=0$) lub gdy $x+3=0$ (czyli $x=-3$). Zatem dziedzina to $D_f = R \setminus \{-3, 0\}$. 2. Identyfikacja potencjalnych asymptot. Potencjalne asymptoty pionowe mogą istnieć w punktach $x_1 = 0$ oraz $x_2 = -3$. 3. Badanie granic dla $x_1 = 0$. Granica prawostronna ($x \to 0^+$):$$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{4}{2x(x+3)}$$Licznik: $4$. Mianownik: Gdy $x \to 0^+$, czynnik $2x$ dąży do $0^+$. Czynnik $x+3$ dąży do $0+3=3$. Iloczyn dąży do $0^+ \cdot 3 = 0^+$.$$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \frac{4}{0^+} = +\infty$$Granica lewostronna ($x \to 0^-$):$$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{4}{2x(x+3)}$$Licznik: $4$. Mianownik: Gdy $x \to 0^-$, czynnik $2x$ dąży do $0^-$. Czynnik $x+3$ dąży do $3$. Iloczyn dąży do $0^- \cdot 3 = 0^-$.$$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \frac{4}{0^-} = -\infty$$4. Wniosek dla $x=0$: Prosta $x=0$ jest asymptotą pionową obustronną. 5. Badanie granic dla $x_2 = -3$. Granica prawostronna ($x \to -3^+$):$$\lim_{x \to -3^+} f(x) = \lim_{x \to -3^+} \frac{4}{2x(x+3)}$$Licznik: $4$. Mianownik: Gdy $x \to -3^+$, czynnik $2x$ dąży do $2 \cdot (-3) = -6$. Czynnik $x+3$ dąży do $0^+$ (bo $x$ jest nieco większe niż $-3$). Iloczyn dąży do $(-6) \cdot 0^+ = 0^-$.$$\lim_{x \to -3^+} f(x) = \frac{4}{0^-} = -\infty$$Granica lewostronna ($x \to -3^-$):$$\lim_{x \to -3^-} f(x) = \lim_{x \to -3^-} \frac{4}{2x(x+3)}$$Licznik: $4$. Mianownik: Gdy $x \to -3^-$, czynnik $2x$ dąży do $-6$. Czynnik $x+3$ dąży do $0^-$ (bo $x$ jest nieco mniejsze niż $-3$). Iloczyn dąży do $(-6) \cdot 0^- = 0^+$.$$\lim_{x \to -3^-} f(x) = \frac{4}{0^+} = +\infty$$6. Wniosek dla $x=-3$: Prosta $x=-3$ jest asymptotą pionową obustronną.

Zadanie 2 (3 pkt)

Zbadaj, czy wykres funkcji $f$ ma asymptoty pionowe. Jeśli tak, wyznacz równania tych asymptot: a) $f(x) = \frac{x^2 - 5x + 6}{(x+1)(x-3)}$ b) $f(x) = \frac{x-3}{|x^2 - 9|}$ c) $f(x) = \frac{x^2 + 5x + 4}{2x^2 + 5x + 2}$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

a) 1. Wyznaczamy dziedzinę funkcji. Mianownik musi być różny od zera, więc potencjalne asymptoty pionowe mogą wystąpić w punktach $x=-1$ oraz $x=3$. 2. Rozkładamy licznik na czynniki: $x^2 - 5x + 6 = 0$. $\Delta = 25 - 24 = 1$. Pierwiastki to $x_1 = 2$, $x_2 = 3$. Zatem $x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)$. 3. Upraszczamy funkcję: $f(x) = \frac{(x-2)(x-3)}{(x+1)(x-3)}$. Dla $x \ne 3$, $f(x) = \frac{x-2}{x+1}$. 4. Badamy granicę w punkcie $x=3$:$$\lim_{x \to 3} f(x) = \lim_{x \to 3} \frac{x-2}{x+1} = \frac{3-2}{3+1} = \frac{1}{4}$$Ponieważ granica jest skończona, w $x=3$ mamy nieciągłość usuwalną, a nie asymptotę pionową. 5. Badamy granicę w punkcie $x=-1$: Licznik dąży do $N(-1) = (-1)^2 - 5\cdot(-1) + 6 = 12$. Mianownik dąży do $0$. Badamy znaki. $\lim_{x \to -1^+} f(x)$. Licznik $\to 12$. Mianownik $(x+1)(x-3) \to 0^+ \cdot (-4) = 0^-$.$$\lim_{x \to -1^+} f(x) = \frac{12}{0^-} = -\infty$$Ponieważ granica jednostronna jest nieskończona, funkcja ma asymptotę pionową o równaniu $x=-1$. b) 1. Wyznaczamy dziedzinę funkcji. Mianownik jest równy zero, gdy $x^2 - 9 = 0$, czyli dla $x=3$ oraz $x=-3$. Są to potencjalne asymptoty pionowe. 2. Rozkładamy mianownik na czynniki: $|x^2 - 9| = |(x-3)(x+3)| = |x-3| |x+3|$. 3. Badamy granicę w punkcie $x=3$:$$\lim_{x \to 3} f(x) = \lim_{x \to 3} \frac{x-3}{|x-3||x+3|}$$Granica prawostronna ($x \to 3^+$): $|x-3| = x-3$.$$\lim_{x \to 3^+} \frac{x-3}{(x-3)|x+3|} = \lim_{x \to 3^+} \frac{1}{|x+3|} = \frac{1}{6}$$Granica lewostronna ($x \to 3^-$): $|x-3| = -(x-3)$.$$\lim_{x \to 3^-} \frac{x-3}{-(x-3)|x+3|} = \lim_{x \to 3^-} \frac{-1}{|x+3|} = -\frac{1}{6}$$Ponieważ granice jednostronne są skończone, w $x=3$ mamy nieciągłość typu skok, a nie asymptotę pionową. 4. Badamy granicę w punkcie $x=-3$: Licznik dąży do $N(-3) = -3-3 = -6$. Mianownik $|x^2 - 9|$ dąży do $0^+$.$$\lim_{x \to -3} f(x) = \frac{-6}{0^+} = -\infty$$Funkcja ma asymptotę pionową o równaniu $x=-3$. c) 1. Wyznaczamy dziedzinę funkcji, znajdując pierwiastki mianownika: $2x^2 + 5x + 2 = 0$.$$\Delta = 5^2 - 4\cdot 2 \cdot 2 = 9$$Pierwiastki to $x_1 = \frac{-5 - 3}{4} = -2$ oraz $x_2 = \frac{-5 + 3}{4} = -\frac{1}{2}$. Potencjalne asymptoty pionowe to $x=-2$ i $x=-\frac{1}{2}$. 2. Sprawdzamy wartości licznika w tych punktach. Dla $x=-2$: $N(-2) = (-2)^2 + 5\cdot(-2) + 4 = 4 - 10 + 4 = -2$. Ponieważ $N(-2) \ne 0$ i $D(-2) = 0$, $x=-2$ jest asymptotą pionową. 3. Dla $x=-\frac{1}{2}$: $N(-\frac{1}{2}) = (-\frac{1}{2})^2 + 5\cdot(-\frac{1}{2}) + 4 = \frac{1}{4} - \frac{5}{2} + 4 = \frac{1}{4} - \frac{10}{4} + \frac{16}{4} = \frac{7}{4}$. Ponieważ $N(-\frac{1}{2}) \ne 0$ i $D(-\frac{1}{2}) = 0$, $x=-\frac{1}{2}$ jest asymptotą pionową. 4. Funkcja ma dwie asymptoty pionowe: $x=-2$ i $x=-\frac{1}{2}$.

Zadanie 3 (2 pkt)

Wyznacz wartości parametrów $a, b$, dla których wykres funkcji $$f(x)=\frac{x^2+3x+1}{x^2+ax+b}$$ ma dwie asymptoty pionowe o równaniach $x=1$ i $x=5$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 4 (2 pkt)

Zadaj, czy istnieją takie wartości parametrów $a, b$, dla których wykres funkcji $f(x)=\frac{x^2+bx+a}{x^2+ax+b}$ ma dwie asymptoty pionowe o równaniach $x=1$ i $x=-3$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

1. Ustalenie warunków na parametry a i b. Aby proste $x=1$ i $x=-3$ były asymptotami pionowymi, muszą to być miejsca zerowe mianownika $D(x) = x^2+ax+b$. Zatem mianownik musi być równy iloczynowi $(x-1)(x-(-3))$.$$x^2+ax+b = (x-1)(x+3)$$$$x^2+ax+b = x^2 + 3x - x - 3$$$$x^2+ax+b = x^2 + 2x - 3$$Porównując współczynniki wielomianów, otrzymujemy układ równań:$$\begin{cases} a = 2 \\ b = -3 \end{cases}$$2. Weryfikacja funkcji dla znalezionych parametrów. Podstawiamy $a=2$ i $b=-3$ do wzoru funkcji $f(x)$.$$f(x) = \frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 + 2x - 3}$$3. Rozkład licznika i mianownika na czynniki. Rozkładamy licznik $N(x) = x^2 - 3x + 2$. Obliczamy miejsca zerowe:$$\Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$$$$x_1 = \frac{3 - 1}{2} = 1$$$$x_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2$$Zatem $N(x) = (x-1)(x-2)$. Rozkładamy mianownik $D(x) = x^2 + 2x - 3$. Miejsca zerowe to $1$ i $-3$. Zatem $D(x) = (x-1)(x+3)$. Funkcja upraszcza się dla $x \neq 1$ do postaci:$$f(x) = \frac{(x-1)(x-2)}{(x-1)(x+3)} = \frac{x-2}{x+3}$$Zauważamy, że $x=1$ jest wspólnym pierwiastkiem licznika i mianownika, co oznacza, że w tym punkcie występuje luka, a nie asymptota pionowa. 4. Sprawdzenie asymptoty $x=-3$. Obliczamy granice jednostronne funkcji w punkcie $x=-3$ (gdzie mianownik dąży do zera, a licznik do $-5$):$$\lim_{x \to -3^+} f(x) = \lim_{x \to -3^+} \frac{x-2}{x+3} = \left[ \frac{-3-2}{0^+} \right] = \frac{-5}{0^+} = -\infty$$$$\lim_{x \to -3^-} f(x) = \lim_{x \to -3^-} \frac{x-2}{x+3} = \left[ \frac{-3-2}{0^-} \right] = \frac{-5}{0^-} = +\infty$$Prosta $x=-3$ jest asymptotą pionową obustronną. 5. Sprawdzenie asymptoty $x=1$. Obliczamy granice jednostronne funkcji w punkcie $x=1$:$$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} \frac{x-2}{x+3} = \left[ \frac{1-2}{1+3} \right] = \frac{-1}{4}$$$$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} \frac{x-2}{x+3} = \left[ \frac{1-2}{1+3} \right] = \frac{-1}{4}$$Ponieważ granice jednostronne są skończone, prosta $x=1$ nie jest asymptotą pionową. 6. Wniosek końcowy. Nie istnieją takie wartości parametrów $a$ i $b$, dla których wykres funkcji $f$ ma dwie asymptoty pionowe o równaniach $x=1$ i $x=-3$.

Zadanie 5 (3 pkt)

Wykaż, że prosta k jest asymptotą ukośną wykresu funkcji f, jeśli: a) $f(x)=\frac{x^2+3x-4}{x}$, $k: x-y+3=0$ b) $f(x)=\frac{2x^3}{5x-x^2}$, $k: 2x+y+10=0$ c) $f(x)=\sqrt{4x^2-1}$, $k: 2x-y=0$ - asymptota ukośna

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Aby prosta $k: y=ax+b$ była asymptotą ukośną funkcji $f(x)$, muszą być spełnione warunki:$$a = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x}$$$$b = \lim_{x \to \pm \infty} (f(x) - ax)$$a) $f(x)=\frac{x^2+3x-4}{x}$, $k: x-y+3=0$ Prostą $k$ zapisujemy w postaci kierunkowej: $y = x+3$. Zatem musimy wykazać, że $a=1$ i $b=3$. 1. Obliczamy współczynnik $a$:$$a = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{\frac{x^2+3x-4}{x}}{x} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^2+3x-4}{x^2}$$Dzielimy licznik i mianownik przez najwyższą potęgę $x^2$:$$a = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{1+\frac{3}{x}-\frac{4}{x^2}}{1} = \frac{1+0-0}{1} = 1$$Współczynnik $a=1$ jest zgodny z prostą $k$. 2. Obliczamy współczynnik $b$:$$b = \lim_{x \to \pm \infty} (f(x) - ax) = \lim_{x \to \pm \infty} \left(\frac{x^2+3x-4}{x} - 1 \cdot x\right)$$Sprowadzamy do wspólnego mianownika:$$b = \lim_{x \to \pm \infty} \left(\frac{x^2+3x-4 - x^2}{x}\right) = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{3x-4}{x}$$Dzielimy licznik i mianownik przez $x$:$$b = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{3-\frac{4}{x}}{1} = \frac{3-0}{1} = 3$$Współczynnik $b=3$ jest zgodny z prostą $k$. Prosta $k$ jest asymptotą ukośną obustronną. b) $f(x)=\frac{2x^3}{5x-x^2}$, $k: 2x+y+10=0$ Prostą $k$ zapisujemy w postaci kierunkowej: $y = -2x-10$. Zatem musimy wykazać, że $a=-2$ i $b=-10$. 1. Obliczamy współczynnik $a$:$$a = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{\frac{2x^3}{5x-x^2}}{x} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{2x^3}{5x^2-x^3}$$Dzielimy licznik i mianownik przez najwyższą potęgę $x^3$:$$a = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{2}{\frac{5}{x}-1} = \frac{2}{0-1} = -2$$Współczynnik $a=-2$ jest zgodny z prostą $k$. 2. Obliczamy współczynnik $b$:$$b = \lim_{x \to \pm \infty} (f(x) - ax) = \lim_{x \to \pm \infty} \left(\frac{2x^3}{5x-x^2} - (-2)x\right) = \lim_{x \to \pm \infty} \left(\frac{2x^3}{5x-x^2} + 2x\right)$$Sprowadzamy do wspólnego mianownika:$$b = \lim_{x \to \pm \infty} \left(\frac{2x^3 + 2x(5x-x^2)}{5x-x^2}\right) = \lim_{x \to \pm \infty} \left(\frac{2x^3 + 10x^2 - 2x^3}{5x-x^2}\right)$$$$b = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{10x^2}{5x-x^2}$$Dzielimy licznik i mianownik przez $x^2$:$$b = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{10}{\frac{5}{x}-1} = \frac{10}{0-1} = -10$$Współczynnik $b=-10$ jest zgodny z prostą $k$. Prosta $k$ jest asymptotą ukośną obustronną. c) $f(x)=\sqrt{4x^2-1}$, $k: 2x-y=0$ - asymptota ukośna prawostronna Prostą $k$ zapisujemy w postaci kierunkowej: $y = 2x$. Zatem musimy wykazać, że $a=2$ i $b=0$ dla $x \to \infty$. 1. Obliczamy współczynnik $a$ dla $x \to \infty$:$$a = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{4x^2-1}}{x}$$Ponieważ $x \to \infty$, $x>0$, więc $x = \sqrt{x^2}$.$$a = \lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{4x^2-1}{x^2}} = \lim_{x \to \infty} \sqrt{4 - \frac{1}{x^2}} = \sqrt{4-0} = 2$$Współczynnik $a=2$ jest zgodny z prostą $k$. 2. Obliczamy współczynnik $b$ dla $x \to \infty$:$$b = \lim_{x \to \infty} (f(x) - ax) = \lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x^2-1} - 2x)$$Stosujemy mnożenie przez sprzężenie:$$b = \lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{4x^2-1} - 2x)(\sqrt{4x^2-1} + 2x)}{\sqrt{4x^2-1} + 2x} = \lim_{x \to \infty} \frac{(4x^2-1) - (2x)^2}{\sqrt{4x^2-1} + 2x}$$$$b = \lim_{x \to \infty} \frac{4x^2-1 - 4x^2}{\sqrt{4x^2-1} + 2x} = \lim_{x \to \infty} \frac{-1}{\sqrt{4x^2-1} + 2x}$$Ponieważ mianownik dąży do nieskończoności:$$b = \frac{-1}{\infty} = 0$$Współczynnik $b=0$ jest zgodny z prostą $k$. Prosta $k$ jest asymptotą ukośną prawostronną.

Grupa B

Zadanie 1 (3 pkt)

Zbadaj, czy wykres funkcji $f$ ma asymptoty pionowe. Jeśli tak, wyznacz równania tych asymptot: a) $f(x) = \frac{4x+12}{x+1}$ b) $f(x) = \frac{7}{(x-4)^2}$ c) $f(x) = \frac{1}{4x^2-16x}$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 2 (3 pkt)

Zbadaj, czy wykres funkcji $f$ ma asymptoty pionowe. Jeśli tak, wyznacz równania tych asymptot: a) $f(x) = \frac{x^2 + 4x + 3}{(x-2)(x+1)}$ b) $f(x) = \frac{x+5}{|x^2 - 25|}$ c) $f(x) = \frac{x^2 - 4x + 3}{4x^2 - 12x + 8}$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 3 (2 pkt)

Wyznacz wartości parametrów $a, b$, dla których wykres funkcji $$f(x)=\frac{x^2-5x+10}{x^2+ax+b}$$ ma dwie asymptoty pionowe o równaniach $x=-2$ i $x=4$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 4 (2 pkt)

Zadaj, czy istnieją takie wartości parametrów $a, b$, dla których wykres funkcji $f(x)=\frac{x^2+bx+a}{x^2+ax+b}$ ma dwie asymptoty pionowe o równaniach $x=3$ i $x=-4$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 5 (3 pkt)

Wykaż, że prosta k jest asymptotą ukośną wykresu funkcji f, jeśli: a) $f(x)=\frac{2x^2-x+1}{x}$, $k: 2x-y-1=0$ b) $f(x)=\frac{4x^3+16x^2}{x^2+2x}$, $k: 4x-y+8=0$ c) $f(x)=\sqrt{x^2+16}$, $k: -x-y=0$ - asymptota ukośna lewostronna

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

22.8 Asymptoty wykresu funkcji

Grupa A

Zadanie 1 (3 pkt)

Zadanie 2 (3 pkt)

Zadanie 3 (2 pkt)

Zadanie 4 (2 pkt)

Zadanie 5 (3 pkt)

Grupa B

Zadanie 1 (3 pkt)

Zadanie 2 (3 pkt)

Zadanie 3 (2 pkt)

Zadanie 4 (2 pkt)

Zadanie 5 (3 pkt)

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Witaj na Liczbit 👋