Funkcja $f(x)$ jest ciągła w przedziale $\langle -1, 3 \rangle$, jeśli jest ciągła wewnątrz przedziału $(-1, 3)$ oraz w punktach granicznych $x=-1$ i $x=3$. 1. Ciągłość wewnątrz przedziału $(-1, 3)$: W przedziale $(-1, 3)$ funkcja $f(x) = \frac{9-x^2}{4-\sqrt{x+13}}$ jest ilorazem funkcji ciągłych. Wymagamy, aby mianownik był różny od zera i wyrażenie pod pierwiastkiem było nieujemne. Warunki te są spełnione dla $x \in (-1, 3)$. 2. Ciągłość w punkcie $x=-1$ (wyznaczenie $a$): Funkcja jest ciągła w $x=-1$, jeśli $\lim_{x \to -1^+} f(x) = f(-1)$. $f(-1) = a$. Obliczamy granicę prawostronną:$$\lim_{x \to -1^+} f(x) = \lim_{x \to -1^+} \frac{9-x^2}{4-\sqrt{x+13}}$$Podstawiając $x=-1$: Licznik: $9 - (-1)^2 = 8$. Mianownik: $4 - \sqrt{-1+13} = 4 - \sqrt{12} = 4 - 2\sqrt{3}$. Zatem:$$\lim_{x \to -1^+} f(x) = \frac{8}{4 - 2\sqrt{3}} = \frac{4}{2 - \sqrt{3}}$$Usuwamy niewymierność z mianownika:$$\frac{4}{2 - \sqrt{3}} \cdot \frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}} = \frac{4(2 + \sqrt{3})}{4 - 3} = 8 + 4\sqrt{3}$$Aby funkcja była ciągła w $x=-1$, musi zachodzić $a = 8 + 4\sqrt{3}$. 3. Ciągłość w punkcie $x=3$ (wyznaczenie $b$): Funkcja jest ciągła w $x=3$, jeśli $\lim_{x \to 3^-} f(x) = f(3)$. $f(3) = b$. Obliczamy granicę lewostronną:$$\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^-} \frac{9-x^2}{4-\sqrt{x+13}}$$Podstawiając $x=3$ otrzymujemy symbol nieoznaczony $\frac{0}{0}$. Stosujemy mnożenie przez sprzężenie mianownika:$$\lim_{x \to 3^-} \frac{9-x^2}{4-\sqrt{x+13}} = \lim_{x \to 3^-} \frac{(9-x^2)(4+\sqrt{x+13})}{(4-\sqrt{x+13})(4+\sqrt{x+13})}$$$$= \lim_{x \to 3^-} \frac{(3-x)(3+x)(4+\sqrt{x+13})}{16 - (x+13)}$$$$= \lim_{x \to 3^-} \frac{(3-x)(3+x)(4+\sqrt{x+13})}{3 - x}$$Skracamy $(3-x)$:$$= \lim_{x \to 3^-} (3+x)(4+\sqrt{x+13})$$Podstawiamy $x=3$:$$= (3+3)(4+\sqrt{3+13}) = 6 \cdot (4+\sqrt{16}) = 6 \cdot (4+4) = 6 \cdot 8 = 48$$Aby funkcja była ciągła w $x=3$, musi zachodzić $b = 48$. Odpowiedź: $a = 8 + 4\sqrt{3}, b = 48$.