Granica funkcji w punkcie kartkówka LiczBit

22.1 Granica funkcji w punkcie

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1 (3 pkt)

Korzystając z definicji Heinego granicy funkcji w punkcie, oblicz: a) $ \lim_{x \to 3} (2x - 6) $ b) $ \lim_{x \to 1} (5x + 2) $ c) $ \lim_{x \to -2} (3x^2 - 4x + 1) $

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 2 (3 pkt)

Korzystając z definicji Heinego granicy funkcji w punkcie, oblicz: a) $ \lim_{x\to 3} \frac{x^2 - 4}{x - 2} $ b) $ \lim_{x\to -3} \frac{3 + x}{9 - x^2} $ c) $ \lim_{x\to 25} \frac{x - 12}{\sqrt{x} - 4} $

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zgodnie z definicją Heinego, funkcja $f(x)$ ma granicę $L$ w punkcie $x_0$, jeśli dla każdego ciągu $x_n$ zbieżnego do $x_0$, gdzie $x_n \neq x_0$ dla każdego $n$, ciąg wartości funkcji $f(x_n)$ jest zbieżny do $L$. a) Obliczamy $ \lim_{x\to 3} \frac{x^2 - 4}{x - 2} $. Niech $x_n$ będzie dowolnym ciągiem takim, że $x_n \to 3$ i $x_n \neq 3$ dla każdego $n$. Wtedy:\[ \lim_{n\to\infty} f(x_n) = \lim_{n\to\infty} \frac{x_n^2 - 4}{x_n - 2} \]Ponieważ funkcja $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ jest ciągła w punkcie $x=3$ (mianownik $x-2$ jest różny od zera dla $x=3$), możemy podstawić $x=3$:\[ \frac{3^2 - 4}{3 - 2} = \frac{9 - 4}{1} = \frac{5}{1} = 5 \]Zatem, $ \lim_{x\to 3} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = 5 $. b) Obliczamy $ \lim_{x\to -3} \frac{3 + x}{9 - x^2} $. Niech $x_n$ będzie dowolnym ciągiem takim, że $x_n \to -3$ i $x_n \neq -3$ dla każdego $n$. Wtedy:\[ \lim_{n\to\infty} f(x_n) = \lim_{n\to\infty} \frac{3 + x_n}{9 - x_n^2} \]Zauważmy, że dla $x = -3$ otrzymujemy symbol nieoznaczony $ \frac{0}{0} $. Upraszczamy wyrażenie, rozkładając mianownik na czynniki:\[ \frac{3 + x_n}{9 - x_n^2} = \frac{3 + x_n}{(3 - x_n)(3 + x_n)} \]Ponieważ $x_n \neq -3$, możemy skrócić czynnik $(3 + x_n)$:\[ \frac{1}{3 - x_n} \]Teraz obliczamy granicę:\[ \lim_{n\to\infty} \frac{1}{3 - x_n} = \frac{1}{3 - (-3)} = \frac{1}{3 + 3} = \frac{1}{6} \]Zatem, $ \lim_{x\to -3} \frac{3 + x}{9 - x^2} = \frac{1}{6} $. c) Obliczamy $ \lim_{x\to 25} \frac{x - 12}{\sqrt{x} - 4} $. Niech $x_n$ będzie dowolnym ciągiem takim, że $x_n \to 25$ i $x_n \neq 25$ dla każdego $n$. Wtedy:\[ \lim_{n\to\infty} f(x_n) = \lim_{n\to\infty} \frac{x_n - 12}{\sqrt{x_n} - 4} \]Ponieważ funkcja $f(x) = \frac{x - 12}{\sqrt{x} - 4}$ jest ciągła w punkcie $x=25$ (mianownik $ \sqrt{x}-4 $ jest różny od zera dla $x=25$, a wyrażenie pod pierwiastkiem jest dodatnie), możemy podstawić $x=25$:\[ \frac{25 - 12}{\sqrt{25} - 4} = \frac{13}{5 - 4} = \frac{13}{1} = 13 \]Zatem, $ \lim_{x\to 25} \frac{x - 12}{\sqrt{x} - 4} = 13 $.

Zadanie 3 (3 pkt)

Korzystając z definicji Heinego granicy funkcji w punkcie, oblicz $\lim_{x \to x_0} f(x)$, jeśli: a) $f(x)=\frac{-x^2+x+6}{x+2}$, $x_0=-2$ b) $f(x)=\frac{x^2-x-6}{x^2-4x+3}$, $x_0=3$ c) $f(x)=\frac{2x+5}{x^2+x+1}$, $x_0=1$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

a) Mamy funkcję $f(x)=\frac{-x^2+x+6}{x+2}$ i punkt $x_0=-2$. Najpierw sprawdzamy wartość funkcji dla $x=x_0$: $f(-2) = \frac{-(-2)^2+(-2)+6}{-2+2} = \frac{-4-2+6}{0} = \frac{0}{0}$. Jest to symbol nieoznaczony, więc musimy uprościć wyrażenie. Rozkładamy licznik na czynniki. Ponieważ $x_0=-2$ jest pierwiastkiem licznika, $(x+2)$ musi być jednym z czynników.\[-x^2+x+6 = -(x^2-x-6) = -(x+2)(x-3)\]Zatem\[f(x) = \frac{-(x+2)(x-3)}{x+2}\]Dla $x \neq -2$ możemy uprościć wyrażenie do $f(x) = -(x-3) = -x+3$. Zgodnie z definicją Heinego, rozważmy dowolny ciąg $(x_n)$ taki, że $x_n \to -2$ i $x_n \neq -2$ dla każdego $n$. Wtedy\[\lim_{n \to \infty} f(x_n) = \lim_{n \to \infty} (-x_n+3)\]Ponieważ $x_n \to -2$, możemy podstawić tę wartość do wyrażenia:\[\lim_{n \to \infty} (-x_n+3) = -(-2)+3 = 2+3 = 5\]Zatem\[\lim_{x \to -2} \frac{-x^2+x+6}{x+2} = 5\]b) Mamy funkcję $f(x)=\frac{x^2-x-6}{x^2-4x+3}$ i punkt $x_0=3$. Najpierw sprawdzamy wartość funkcji dla $x=x_0$: $f(3) = \frac{3^2-3-6}{3^2-4(3)+3} = \frac{9-3-6}{9-12+3} = \frac{0}{0}$. Jest to symbol nieoznaczony, więc musimy uprościć wyrażenie. Rozkładamy licznik i mianownik na czynniki. Ponieważ $x_0=3$ jest pierwiastkiem zarówno licznika, jak i mianownika, $(x-3)$ musi być jednym z czynników. Licznik: $x^2-x-6 = (x-3)(x+2)$. Mianownik: $x^2-4x+3 = (x-3)(x-1)$. Zatem\[f(x) = \frac{(x-3)(x+2)}{(x-3)(x-1)}\]Dla $x \neq 3$ możemy uprościć wyrażenie do $f(x) = \frac{x+2}{x-1}$. Zgodnie z definicją Heinego, rozważmy dowolny ciąg $(x_n)$ taki, że $x_n \to 3$ i $x_n \neq 3$ dla każdego $n$. Wtedy\[\lim_{n \to \infty} f(x_n) = \lim_{n \to \infty} \frac{x_n+2}{x_n-1}\]Ponieważ $x_n \to 3$, możemy podstawić tę wartość do wyrażenia:\[\lim_{n \to \infty} \frac{x_n+2}{x_n-1} = \frac{3+2}{3-1} = \frac{5}{2}\]Zatem\[\lim_{x \to 3} \frac{x^2-x-6}{x^2-4x+3} = \frac{5}{2}\]c) Mamy funkcję $f(x)=\frac{2x+5}{x^2+x+1}$ i punkt $x_0=1$. Najpierw sprawdzamy wartość funkcji dla $x=x_0$: $f(1) = \frac{2(1)+5}{1^2+1+1} = \frac{2+5}{1+1+1} = \frac{7}{3}$. Ponieważ mianownik nie jest równy zero, funkcja jest ciągła w punkcie $x_0=1$. Granica funkcji jest równa wartości funkcji w tym punkcie. Zgodnie z definicją Heinego, rozważmy dowolny ciąg $(x_n)$ taki, że $x_n \to 1$ i $x_n \neq 1$ dla każdego $n$. Wtedy\[\lim_{n \to \infty} f(x_n) = \lim_{n \to \infty} \frac{2x_n+5}{x_n^2+x_n+1}\]Ponieważ $x_n \to 1$, możemy podstawić tę wartość do wyrażenia:\[\lim_{n \to \infty} \frac{2x_n+5}{x_n^2+x_n+1} = \frac{2(1)+5}{1^2+1+1} = \frac{7}{3}\]Zatem\[\lim_{x \to 1} \frac{2x+5}{x^2+x+1} = \frac{7}{3}\]

Zadanie 4 (2 pkt)

Korzystając z definicji Heinego granicy funkcji w punkcie, oblicz $\lim_{x \to x_0} f(x)$, jeśli: a) $f(x) = \frac{x^3 - 8}{x - 2}$, $x_0 = 2$ b) $f(x) = \frac{x^3 - 8}{x - 2}$, $x_0 = 1$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 5 (2 pkt)

Wskaż dwa ciągi $(a_n)$ i $(b_n)$, dla których $\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} b_n = x_0$ oraz $\lim_{n \to \infty} f(a_n) \neq \lim_{n \to \infty} f(b_n)$, i na tej podstawie wykaż, że nie istnieje granica funkcji $f$ w punkcie $x_0$, jeśli: a) $f(x) = \frac{|x-2|}{x-2}, x_0 = 2$ b) $f(x) = \frac{x+3}{|x+3|}, x_0 = -3$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Aby wykazać, że granica funkcji nie istnieje w danym punkcie, posłużymy się definicją Heinego granicy funkcji. Zgodnie z nią, jeżeli znajdziemy dwa ciągi $(a_n)$ i $(b_n)$ zbieżne do punktu $x_0$, dla których granice wartości funkcji $f(a_n)$ i $f(b_n)$ są różne, to granica funkcji $f$ w punkcie $x_0$ nie istnieje. a) Dla $f(x) = \frac{|x-2|}{x-2}$ i $x_0 = 2$: Wybierzmy ciąg $(a_n)$ zbieżny do 2 z prawej strony, np. $a_n = 2 + \frac{1}{n}$. Wtedy $\lim_{n \to \infty} a_n = 2$. Obliczmy granicę $f(a_n)$:\[ \lim_{n \to \infty} f(a_n) = \lim_{n \to \infty} \frac{|(2 + \frac{1}{n}) - 2|}{(2 + \frac{1}{n}) - 2} = \lim_{n \to \infty} \frac{|\frac{1}{n}|}{\frac{1}{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}} = 1 \]Wybierzmy ciąg $(b_n)$ zbieżny do 2 z lewej strony, np. $b_n = 2 - \frac{1}{n}$. Wtedy $\lim_{n \to \infty} b_n = 2$. Obliczmy granicę $f(b_n)$:\[ \lim_{n \to \infty} f(b_n) = \lim_{n \to \infty} \frac{|(2 - \frac{1}{n}) - 2|}{(2 - \frac{1}{n}) - 2} = \lim_{n \to \infty} \frac{|-\frac{1}{n}|}{-\frac{1}{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n}}{-\frac{1}{n}} = -1 \]Ponieważ $\lim_{n \to \infty} f(a_n) \neq \lim_{n \to \infty} f(b_n)$, granica funkcji $f$ w punkcie $x_0 = 2$ nie istnieje. b) Dla $f(x) = \frac{x+3}{|x+3|}$ i $x_0 = -3$: Wybierzmy ciąg $(a_n)$ zbieżny do -3 z prawej strony, np. $a_n = -3 + \frac{1}{n}$. Wtedy $\lim_{n \to \infty} a_n = -3$. Obliczmy granicę $f(a_n)$:\[ \lim_{n \to \infty} f(a_n) = \lim_{n \to \infty} \frac{(-3 + \frac{1}{n}) + 3}{|(-3 + \frac{1}{n}) + 3|} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n}}{|\frac{1}{n}|} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}} = 1 \]Wybierzmy ciąg $(b_n)$ zbieżny do -3 z lewej strony, np. $b_n = -3 - \frac{1}{n}$. Wtedy $\lim_{n \to \infty} b_n = -3$. Obliczmy granicę $f(b_n)$:\[ \lim_{n \to \infty} f(b_n) = \lim_{n \to \infty} \frac{(-3 - \frac{1}{n}) + 3}{|(-3 - \frac{1}{n}) + 3|} = \lim_{n \to \infty} \frac{-\frac{1}{n}}{|-\frac{1}{n}|} = \lim_{n \to \infty} \frac{-\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}} = -1 \]Ponieważ $\lim_{n \to \infty} f(a_n) \neq \lim_{n \to \infty} f(b_n)$, granica funkcji $f$ w punkcie $x_0 = -3$ nie istnieje.

Grupa B

Zadanie 1 (3 pkt)

Korzystając z definicji Heinego granicy funkcji w punkcie, oblicz: a) $ \lim_{x \to -1} (5x + 5) $ b) $ \lim_{x \to 2} (3x - 7) $ c) $ \lim_{x \to 1} (x^2 + 3x - 5) $

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 2 (3 pkt)

Korzystając z definicji Heinego granicy funkcji w punkcie, oblicz: a) $ \lim_{x\to 4} \frac{x^2 - 9}{x - 3} $ b) $ \lim_{x\to -5} \frac{5 + x}{25 - x^2} $ c) $ \lim_{x\to 4} \frac{x - 1}{\sqrt{x} - 1} $

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 3 (3 pkt)

Korzystając z definicji Heinego granicy funkcji w punkcie, oblicz $\lim_{x \to x_0} f(x)$, jeśli: a) $f(x)=\frac{-x^2-3x+4}{x-1}$, $x_0=1$ b) $f(x)=\frac{x^2+3x-4}{x^2+6x+8}$, $x_0=-4$ c) $f(x)=\frac{x^2+3x}{2x^2-x+3}$, $x_0=-2$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 4 (2 pkt)

Korzystając z definicji Heinego granicy funkcji w punkcie, oblicz $\lim_{x \to x_0} f(x)$, jeśli: a) $f(x) = \frac{x^3 + 27}{x + 3}$, $x_0 = -3$ b) $f(x) = \frac{x^3 + 27}{x + 3}$, $x_0 = 0$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 5 (3 pkt)

Wskaż dwa ciągi $(a_n)$ i $(b_n)$, dla których $\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} b_n = x_0$ oraz $\lim_{n \to \infty} f(a_n) \neq \lim_{n \to \infty} f(b_n)$, i na tej podstawie wykaż, że nie istnieje granica funkcji $f$ w punkcie $x_0$, jeśli: a) $f(x) = \frac{x-10}{|x-10|}, x_0 = 10$ b) $f(x) = \frac{|x+1|}{x+1}, x_0 = -1$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

22.1 Granica funkcji w punkcie

Grupa A

Zadanie 1 (3 pkt)

Zadanie 2 (3 pkt)

Zadanie 3 (3 pkt)

Zadanie 4 (2 pkt)

Zadanie 5 (2 pkt)

Grupa B

Zadanie 1 (3 pkt)

Zadanie 2 (3 pkt)

Zadanie 3 (3 pkt)

Zadanie 4 (2 pkt)

Zadanie 5 (3 pkt)

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Witaj na Liczbit 👋