Zastosowanie analizy matematycznej w rozwiązywaniu zadań z geometrii analitycznej kartkówka LiczBit

24.10 Zastosowanie analizy matematycznej w rozwiązywaniu zadań z geometrii analitycznej

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1 (3 pkt)

Wyznacz współrzędne takiego punktu A, że styczna do wykresu funkcji f w punkcie A jest równoległa do prostej k, jeśli: a) $f(x) = 3x^2 - 5x + 2, k: x + y - 3 = 0$ b) $f(x) = \frac{2x+1}{x-3}, k: 7x + y + 1 = 0$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Warunkiem równoległości stycznej do prostej $k$ jest równość ich współczynników kierunkowych. Współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji $f$ w punkcie $A(x_0, y_0)$ jest równy wartości pochodnej $f'(x_0)$. a) $f(x) = 3x^2 - 5x + 2, k: x + y - 3 = 0$ Krok 1: Wyznaczamy współczynnik kierunkowy $a$ prostej $k$. Przekształcamy równanie prostej do postaci kierunkowej $y = ax + b$.\[x + y - 3 = 0 \implies y = -x + 3\]Współczynnik kierunkowy prostej $k$ wynosi $a=-1$. Krok 2: Obliczamy pochodną funkcji $f(x)$.\[f'(x) = (3x^2 - 5x + 2)' = 6x - 5\]Krok 3: Porównujemy wartość pochodnej w punkcie $x_0$ z współczynnikiem kierunkowym prostej $k$.\[f'(x_0) = a\]\[6x_0 - 5 = -1\]Krok 4: Rozwiązujemy równanie, aby znaleźć $x_0$.\[6x_0 = 4\]\[x_0 = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\]Krok 5: Obliczamy rzędną $y_0 = f(x_0)$.\[y_0 = f\left(\frac{2}{3}\right) = 3\left(\frac{2}{3}\right)^2 - 5\left(\frac{2}{3}\right) + 2 = 3\left(\frac{4}{9}\right) - \frac{10}{3} + 2 = \frac{4}{3} - \frac{10}{3} + \frac{6}{3} = 0\]Krok 6: Podajemy współrzędne punktu $A$.\[A = \left(\frac{2}{3}, 0\right)\]b) $f(x) = \frac{2x+1}{x-3}, k: 7x + y + 1 = 0$ Krok 1: Wyznaczamy współczynnik kierunkowy $a$ prostej $k$.\[7x + y + 1 = 0 \implies y = -7x - 1\]Współczynnik kierunkowy prostej $k$ wynosi $a = -7$. Krok 2: Obliczamy pochodną funkcji $f(x)$.\[f'(x) = \frac{(2x+1)'(x-3) - (2x+1)(x-3)'}{(x-3)^2} = \frac{2(x-3) - (2x+1)1}{(x-3)^2} = \frac{2x-6-2x-1}{(x-3)^2} = \frac{-7}{(x-3)^2}\]Krok 3: Porównujemy wartość pochodnej w punkcie $x_0$ z współczynnikiem kierunkowym prostej $k$.\[f'(x_0) = a\]\[\frac{-7}{(x_0-3)^2} = -7\]Krok 4: Rozwiązujemy równanie, aby znaleźć $x_0$.\[(x_0-3)^2 = 1\]\[x_0-3 = 1 \quad \lor \quad x_0-3 = -1\]\[x_0 = 4 \quad \lor \quad x_0 = 2\]Krok 5: Obliczamy rzędne $y_0$ dla obu wartości $x_0$. Dla $x_0 = 4$: $y_0 = f(4) = \frac{2(4)+1}{4-3} = \frac{9}{1} = 9$. Punkt $A_1 = (4, 9)$. Dla $x_0 = 2$: $y_0 = f(2) = \frac{2(2)+1}{2-3} = \frac{5}{-1} = -5$. Punkt $A_2 = (2, -5)$. Krok 6: Podajemy współrzędne punktów. Są dwa takie punkty: $A_1 = (4, 9)$ i $A_2 = (2, -5)$.

Zadanie 2 (3 pkt)

Wyznacz współrzędne takiego punktu A, że styczna do wykresu funkcji f w punkcie A jest prostopadła do prostej k, jeśli: a) $f(x) = 2x^2 - 3x + 1$, $k: x + 5y - 3 = 0$ b) $f(x) = \frac{x+2}{x-2}$, $k: x - 4y + 20 = 0$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Celem zadania jest znalezienie punktu $A = (x_0, y_0)$ na wykresie funkcji $f$, w którym styczna do wykresu jest prostopadła do danej prostej $k$. Współczynnik kierunkowy stycznej w punkcie $x_0$ jest równy wartości pochodnej $f'(x_0)$. Dwie proste są prostopadłe, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych wynosi $-1$. a) $f(x) = 2x^2 - 3x + 1$, $k: x + 5y - 3 = 0$ Krok 1: Wyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej $k$.\[x + 5y - 3 = 0 \implies 5y = -x + 3 \implies y = -\frac{1}{5}x + \frac{3}{5}\]Współczynnik kierunkowy prostej $k$ wynosi $a_k = -\frac{1}{5}$. Krok 2: Wyznaczamy współczynnik kierunkowy stycznej.\[a_s \cdot a_k = -1 \implies a_s \cdot \left(-\frac{1}{5}\right) = -1 \implies a_s = 5\]Krok 3: Obliczamy pochodną funkcji $f(x)$.\[f'(x) = (2x^2 - 3x + 1)' = 4x - 3\]Krok 4: Znajdujemy pierwszą współrzędną punktu $A$.\[f'(x_0) = a_s \implies 4x_0 - 3 = 5 \implies 4x_0 = 8 \implies x_0 = 2\]Krok 5: Znajdujemy drugą współrzędną punktu $A$.\[y_0 = f(2) = 2(2)^2 - 3(2) + 1 = 8 - 6 + 1 = 3\]Punkt $A$ ma współrzędne $(2, 3)$. b) $f(x) = \frac{x+2}{x-2}$, $k: x - 4y + 20 = 0$ Krok 1: Wyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej $k$.\[x - 4y + 20 = 0 \implies -4y = -x - 20 \implies y = \frac{1}{4}x + 5\]Współczynnik kierunkowy prostej $k$ wynosi $a_k = \frac{1}{4}$. Krok 2: Wyznaczamy współczynnik kierunkowy stycznej.\[a_s \cdot a_k = -1 \implies a_s \cdot \frac{1}{4} = -1 \implies a_s = -4\]Krok 3: Obliczamy pochodną funkcji $f(x)$.\[f'(x) = \left(\frac{x+2}{x-2}\right)' = \frac{(1)(x-2) - (x+2)(1)}{(x-2)^2} = \frac{x-2-x-2}{(x-2)^2} = \frac{-4}{(x-2)^2}\]Krok 4: Znajdujemy pierwszą współrzędną punktu $A$.\[f'(x_0) = a_s \implies \frac{-4}{(x_0-2)^2} = -4\]\[1 = (x_0-2)^2\]Stąd $x_0-2 = 1$ lub $x_0-2 = -1$. Rozwiązując, otrzymujemy $x_0 = 3$ lub $x_0 = 1$. Krok 5: Znajdujemy drugą współrzędną dla każdego $x_0$. Dla $x_0 = 3$:\[y_0 = f(3) = \frac{3+2}{3-2} = \frac{5}{1} = 5\]Punkt $A_1 = (3, 5)$. Dla $x_0 = 1$:\[y_0 = f(1) = \frac{1+2}{1-2} = \frac{3}{-1} = -3\]Punkt $A_2 = (1, -3)$. Istnieją dwa takie punkty.

Zadanie 3 (2 pkt)

Wykaż, że styczna do paraboli o równaniu $y = x^2 - 5x + 3$, poprowadzona w punkcie $P$ o odciętej 3, ogranicza wraz z osiami układu współrzędnych trójkąt o polu równym 18.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 4 (4 pkt)

Oblicz pole trójkąta ograniczonego ujemnymi półosiami układu współrzędnych i tą styczną do wykresu funkcji $f(x) = \frac{x+1}{x-1}$, która jest równoległa do prostej o równaniu $2x + y + 5 = 0$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 5 (4 pkt)

Do paraboli o równaniu $y = x^2$ poprowadzono styczną w punkcie o odciętej ujemnej, która wraz z osiami układu współrzędnych ograniczyła trójkąt o polu równym 2. Wyznacz równanie tej stycznej.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Grupa B

Zadanie 1 (3 pkt)

Wyznacz współrzędne takiego punktu A, że styczna do wykresu funkcji f w punkcie A jest równoległa do prostej k, jeśli: a) $f(x) = -x^2 + 6x - 5, k: 2x - y + 7 = 0$ b) $f(x) = \frac{x+5}{x+2}, k: x + 3y - 9 = 0$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 2 (3 pkt)

Wyznacz współrzędne takiego punktu A, że styczna do wykresu funkcji f w punkcie A jest prostopadła do prostej k, jeśli: a) $f(x) = -x^2 + 4x + 5$, $k: x - 2y + 4 = 0$ b) $f(x) = \frac{2x-1}{x+1}$, $k: 3x + y - 2 = 0$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 3 (2 pkt)

Wykaż, że styczna do paraboli o równaniu $y = -x^2 + 2x + 1$, poprowadzona w punkcie $P$ o odciętej -1, ogranicza wraz z osiami układu współrzędnych trójkąt o polu równym 0,5.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 4 (4 pkt)

Oblicz pole trójkąta ograniczonego ujemnymi półosiami układu współrzędnych i tą styczną do wykresu funkcji $f(x) = \frac{2-x}{x+2}$, która jest równoległa do prostej o równaniu $x + y - 5 = 0$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 5 (4 pkt)

Do paraboli o równaniu $y = -x^2$ poprowadzono styczną w punkcie o odciętej dodatniej, która wraz z osiami układu współrzędnych ograniczyła trójkąt o polu równym 2. Wyznacz równanie tej stycznej.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi