Wzajemne położenie dwóch okręgów kartkówka LiczBit

24.7 Wzajemne położenie dwóch okręgów

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1 (2 pkt)

Określ wzajemne położenie okręgów $o_1$ i $o_2$, jeśli: a) $o_1: x^2 + y^2 - 2x - 4y + 1 = 0$ oraz $o_2: x^2 + y^2 - 8x - 12y + 43 = 0$ b) $o_1: x^2 + y^2 + 2x + 2y + 1 = 0$ oraz $o_2: x^2 + y^2 - 6x - 4y + 12 = 0$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 2 (4 pkt)

Dla jakich wartości parametru m, $m \in \mathbb{R}$, okręgi $o_1: (x - m)^2 + (y - 1)^2 = 18$ oraz $o_2: (x - 2m)^2 + (y + 1)^2 = 2$ są wewnętrznie styczne? Dla znalezionych wartości $m$ oblicz współrzędne punktu styczności.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 3 (4 pkt)

Dla jakich wartości parametru $m$, $m \in R$, okręgi $o_1: (x - m)^2 + (y + 2)^2 = 18$ oraz $o_2: (x + 2)^2 + (y - m)^2 = 2$ są zewnętrznie styczne? Dla znalezionych wartości $m$ oblicz współrzędne punktu styczności.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

1. Analiza równań okręgów Odczytujemy środki i promienie obu okręgów z ich równań kanonicznych. Dla okręgu $o_1: (x - m)^2 + (y + 2)^2 = 18$: Środek $S_1 = (m, -2)$ Promień $r_1 = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ Dla okręgu $o_2: (x + 2)^2 + (y - m)^2 = 2$: Środek $S_2 = (-2, m)$ Promień $r_2 = \sqrt{2}$ 2. Warunek styczności zewnętrznej Dwa okręgi są zewnętrznie styczne, gdy odległość między ich środkami jest równa sumie ich promieni.\[|S_1S_2| = r_1 + r_2\]3. Obliczenie odległości między środkami\[|S_1S_2| = \sqrt{(-2 - m)^2 + (m - (-2))^2} = \sqrt{(-(m+2))^2 + (m+2)^2} = \sqrt{2(m+2)^2} = |m+2|\sqrt{2}\]4. Obliczenie sumy promieni\[r_1 + r_2 = 3\sqrt{2} + \sqrt{2} = 4\sqrt{2}\]5. Rozwiązanie równania dla parametru m\[|m+2|\sqrt{2} = 4\sqrt{2}\]\[|m+2| = 4\]Stąd mamy dwie możliwości: $m + 2 = 4 \implies m = 2$ $m + 2 = -4 \implies m = -6$ 6. Obliczenie punktu styczności dla $m = 2$ Tworzymy układ równań dla $m=2$:\[\begin{cases} (x - 2)^2 + (y + 2)^2 = 18 \\ (x + 2)^2 + (y - 2)^2 = 2 \end{cases}\]Odejmujemy równania stronami, aby znaleźć równanie prostej przechodzącej przez punkty wspólne: $(x^2 - 4x + 4 + y^2 + 4y + 4) - (x^2 + 4x + 4 + y^2 - 4y + 4) = 18 - 2$ $-8x + 8y = 16$ $y - x = 2 \implies y = x + 2$ Podstawiamy $y = x+2$ do drugiego równania:\[(x + 2)^2 + (x + 2 - 2)^2 = 2\]\[(x + 2)^2 + x^2 = 2\]\[x^2 + 4x + 4 + x^2 = 2\]\[2x^2 + 4x + 2 = 0\]\[x^2 + 2x + 1 = 0 \implies (x+1)^2 = 0 \implies x = -1\]Wtedy $y = -1 + 2 = 1$. Punkt styczności to $P_1 = (-1, 1)$. 7. Obliczenie punktu styczności dla $m = -6$ Tworzymy układ równań dla $m=-6$:\[\begin{cases} (x + 6)^2 + (y + 2)^2 = 18 \\ (x + 2)^2 + (y + 6)^2 = 2 \end{cases}\]Odejmując stronami, otrzymujemy równanie prostej $y-x = \frac{8}{m+2}$. Dla $m=-6$: $y-x = \frac{8}{-4} = -2 \implies y = x-2$. Podstawiamy $y = x-2$ do drugiego równania:\[(x + 2)^2 + (x - 2 + 6)^2 = 2\]\[(x + 2)^2 + (x + 4)^2 = 2\]\[(x^2 + 4x + 4) + (x^2 + 8x + 16) = 2\]\[2x^2 + 12x + 20 = 2\]\[2x^2 + 12x + 18 = 0\]\[x^2 + 6x + 9 = 0 \implies (x+3)^2 = 0 \implies x = -3\]Wtedy $y = -3 - 2 = -5$. Punkt styczności to $P_2 = (-3, -5)$.

Zadanie 4 (3 pkt)

Punkty A i B są punktami wspólnymi okręgów $o_1$ o środku $S_1(0, 0)$ i promieniu $r_1 = 5$ oraz $o_2$ o środku $S_2(6, 0)$ i promieniu $r_2 = 5$. Wyznacz długość cięciwy AB.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 5 (5 pkt)

Wyznacz współrzędne punktów wspólnych dwóch okręgów $o_1 : x^2 + y^2 - 4x - 6y + 9 = 0$ i $o_2 : x^2 + y^2 - 10x - 2y + 17 = 0$ (o ile istnieją).

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Grupa B

Zadanie 1 (2 pkt)

Określ wzajemne położenie okręgów $o_1$ i $o_2$, jeśli: a) $o_1: x^2 + y^2 - 4x - 6y - 12 = 0$ oraz $o_2: x^2 + y^2 - 10x - 14y - 26 = 0$ b) $o_1: x^2 + y^2 - 2x + 4y + 1 = 0$ oraz $o_2: x^2 + y^2 - 2x + 4y - 11 = 0$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 2 (4 pkt)

Dla jakich wartości parametru m, $m \in \mathbb{R}$, okręgi $o_1: (x - m)^2 + (y - 2m)^2 = 45$ oraz $o_2: (x + 1)^2 + (y + 2)^2 = 5$ są wewnętrznie styczne? Dla znalezionych wartości $m$ oblicz współrzędne punktu styczności.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 3 (4 pkt)

Dla jakich wartości parametru $m$, $m \in R$, okręgi $o_1: (x - m)^2 + y^2 = 50$ oraz $o_2: x^2 + (y - m)^2 = 8$ są zewnętrznie styczne? Dla znalezionych wartości $m$ oblicz współrzędne punktu styczności.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 4 (3 pkt)

Punkty A i B są punktami wspólnymi okręgów $o_1$ o środku $S_1(0, 0)$ i promieniu $r_1 = 5$ oraz $o_2$ o środku $S_2(8, 0)$ i promieniu $r_2 = 5$. Wyznacz długość cięciwy AB.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 5 (5 pkt)

Wyznacz współrzędne punktów wspólnych dwóch okręgów $o_1 : x^2 + y^2 - 2x - 8y + 13 = 0$ i $o_2 : x^2 + y^2 - 8x - 2y + 7 = 0$ (o ile istnieją).

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi