Proste w układzie współrzędnych kartkówka LiczBit

24.3 Proste w układzie współrzędnych

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1 (2 pkt)

Wykaż, że czworokąt ABCD, gdzie: a) $A(1, 1)$, $B(6, 1)$, $C(4, 5)$, $D(1, 5)$, jest trapezem prostokątnym, b) $A(-2, 1)$, $B(5, 1)$, $C(3, 4)$, $D(0, 4)$, jest trapezem równoramiennym.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 2 (3 pkt)

Wyznacz współrzędne wierzchołków równoległoboku ABCD, wiedząc, że bok AB zawiera się w prostej $k: y = \frac{1}{3}x + \frac{5}{3}$, bok AD zawiera się w prostej $l: y = -2x + 4$, zaś $S(3, 5)$ jest punktem przecięcia się przekątnych AC i BD.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 3 (3 pkt)

Dane są wierzchołki trójkąta ABC. Wyznacz współrzędne punktu wspólnego symetralnych boków tego trójkąta. $A(1, 1)$, $B(5, 3)$, $C(2, 6)$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Punkt wspólny symetralnych boków trójkąta to środek okręgu opisanego na tym trójkącie (tzw. środek okręgu opisanego lub circumcenter). Aby go wyznaczyć, znajdziemy równania dwóch symetralnych i obliczymy ich punkt przecięcia. 1. Wyznaczamy równanie symetralnej boku AB. a) Obliczamy współrzędne środka odcinka AB, $M_{AB}$:\[M_{AB} = \left(\frac{x_A+x_B}{2}, \frac{y_A+y_B}{2}\right)\]\[M_{AB} = \left(\frac{1+5}{2}, \frac{1+3}{2}\right)\]\[M_{AB} = (3, 2)\]b) Obliczamy współczynnik kierunkowy prostej AB, $a_{AB}$:\[a_{AB} = \frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\]\[a_{AB} = \frac{3-1}{5-1}\]\[a_{AB} = \frac{2}{4}\]\[a_{AB} = \frac{1}{2}\]c) Obliczamy współczynnik kierunkowy symetralnej boku AB, $a_{s_{AB}}$. Symetralna jest prostopadła do boku, więc $a_{s_{AB}} = -\frac{1}{a_{AB}}$:\[a_{s_{AB}} = -\frac{1}{1/2}\]\[a_{s_{AB}} = -2\]d) Wyznaczamy równanie symetralnej $s_{AB}$ przechodzącej przez $M_{AB}(3, 2)$ ze współczynnikiem kierunkowym $a_{s_{AB}} = -2$:\[y - y_{M_{AB}} = a_{s_{AB}}(x - x_{M_{AB}})\]\[y - 2 = -2(x - 3)\]\[y - 2 = -2x + 6\]\[y = -2x + 8 \quad \text{(Równanie 1)}\]2. Wyznaczamy równanie symetralnej boku BC. a) Obliczamy współrzędne środka odcinka BC, $M_{BC}$:\[M_{BC} = \left(\frac{x_B+x_C}{2}, \frac{y_B+y_C}{2}\right)\]\[M_{BC} = \left(\frac{5+2}{2}, \frac{3+6}{2}\right)\]\[M_{BC} = \left(\frac{7}{2}, \frac{9}{2}\right)\]b) Obliczamy współczynnik kierunkowy prostej BC, $a_{BC}$:\[a_{BC} = \frac{y_C-y_B}{x_C-x_B}\]\[a_{BC} = \frac{6-3}{2-5}\]\[a_{BC} = \frac{3}{-3}\]\[a_{BC} = -1\]c) Obliczamy współczynnik kierunkowy symetralnej boku BC, $a_{s_{BC}}$. Symetralna jest prostopadła do boku, więc $a_{s_{BC}} = -\frac{1}{a_{BC}}$:\[a_{s_{BC}} = -\frac{1}{-1}\]\[a_{s_{BC}} = 1\]d) Wyznaczamy równanie symetralnej $s_{BC}$ przechodzącej przez $M_{BC}\left(\frac{7}{2}, \frac{9}{2}\right)$ ze współczynnikiem kierunkowym $a_{s_{BC}} = 1$:\[y - y_{M_{BC}} = a_{s_{BC}}(x - x_{M_{BC}})\]\[y - \frac{9}{2} = 1\left(x - \frac{7}{2}\right)\]\[y = x - \frac{7}{2} + \frac{9}{2}\]\[y = x + \frac{2}{2}\]\[y = x + 1 \quad \text{(Równanie 2)}\]3. Obliczamy punkt przecięcia symetralnych $s_{AB}$ i $s_{BC}$. Rozwiązujemy układ równań:\[\begin{cases} y = -2x + 8 \\ y = x + 1 \end{cases}\]Podstawiamy drugie równanie do pierwszego:\[x + 1 = -2x + 8\]\[3x = 7\]\[x = \frac{7}{3}\]Obliczamy $y$:\[y = x + 1 = \frac{7}{3} + 1 = \frac{7}{3} + \frac{3}{3} = \frac{10}{3}\]Punkt przecięcia symetralnych to $P\left(\frac{7}{3}, \frac{10}{3}\right)$.

Zadanie 4 (4 pkt)

Punkty $D, E, F$ są spodkami wysokości, poprowadzonymi odpowiednio na boki $AB, BC$ i $AC$. Wiedząc, że $A(1, 2)$, $B(7, 2)$, $C(3, 8)$, oblicz współrzędne punktów $D, E, F$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Obliczamy współrzędne punktu $D$. Punkt $D$ jest spodkiem wysokości z wierzchołka $C$ na bok $AB$. Współrzędne punktów $A(1, 2)$ i $B(7, 2)$ wskazują, że bok $AB$ leży na prostej poziomej $y = 2$. Wysokość z punktu $C(3, 8)$ na prostą $AB$ będzie prostą pionową przechodzącą przez $C$. Zatem równanie prostej zawierającej wysokość to $x = 3$. Punkt $D$ jest przecięciem prostych $y=2$ i $x=3$. Stąd współrzędne punktu $D$ to $D(3, 2)$. Obliczamy współrzędne punktu $E$. Punkt $E$ jest spodkiem wysokości z wierzchołka $A$ na bok $BC$. Najpierw wyznaczamy równanie prostej $BC$. Współrzędne punktów $B(7, 2)$ i $C(3, 8)$. Współczynnik kierunkowy prostej $BC$:\[a_{BC} = \frac{8 - 2}{3 - 7} = \frac{6}{-4} = -\frac{3}{2}\]Równanie prostej $BC$:\[y - y_B = a_{BC}(x - x_B)\]\[y - 2 = -\frac{3}{2}(x - 7)\]\[y - 2 = -\frac{3}{2}x + \frac{21}{2}\]\[y = -\frac{3}{2}x + \frac{25}{2}\]Następnie wyznaczamy równanie prostej zawierającej wysokość $AE$. Prosta $AE$ jest prostopadła do prostej $BC$ i przechodzi przez punkt $A(1, 2)$. Współczynnik kierunkowy prostej $AE$:\[a_{AE} = -\frac{1}{a_{BC}} = -\frac{1}{-\frac{3}{2}} = \frac{2}{3}\]Równanie prostej $AE$:\[y - y_A = a_{AE}(x - x_A)\]\[y - 2 = \frac{2}{3}(x - 1)\]\[y - 2 = \frac{2}{3}x - \frac{2}{3}\]\[y = \frac{2}{3}x + \frac{4}{3}\]Obliczamy punkt przecięcia $E$ prostych $BC$ i $AE$:\[-\frac{3}{2}x + \frac{25}{2} = \frac{2}{3}x + \frac{4}{3}\]Mnożymy przez 6, aby usunąć mianowniki:\[-9x + 75 = 4x + 8\]\[67 = 13x\]\[x_E = \frac{67}{13}\]Podstawiamy $x_E$ do równania prostej $AE$:\[y_E = \frac{2}{3} \cdot \frac{67}{13} + \frac{4}{3} = \frac{134}{39} + \frac{52}{39} = \frac{186}{39} = \frac{62}{13}\]Stąd współrzędne punktu $E$ to $E\left(\frac{67}{13}, \frac{62}{13}\right)$. Obliczamy współrzędne punktu $F$. Punkt $F$ jest spodkiem wysokości z wierzchołka $B$ na bok $AC$. Najpierw wyznaczamy równanie prostej $AC$. Współrzędne punktów $A(1, 2)$ i $C(3, 8)$. Współczynnik kierunkowy prostej $AC$:\[a_{AC} = \frac{8 - 2}{3 - 1} = \frac{6}{2} = 3\]Równanie prostej $AC$:\[y - y_A = a_{AC}(x - x_A)\]\[y - 2 = 3(x - 1)\]\[y = 3x - 1\]Następnie wyznaczamy równanie prostej zawierającej wysokość $BF$. Prosta $BF$ jest prostopadła do prostej $AC$ i przechodzi przez punkt $B(7, 2)$. Współczynnik kierunkowy prostej $BF$:\[a_{BF} = -\frac{1}{a_{AC}} = -\frac{1}{3}\]Równanie prostej $BF$:\[y - y_B = a_{BF}(x - x_B)\]\[y - 2 = -\frac{1}{3}(x - 7)\]\[y - 2 = -\frac{1}{3}x + \frac{7}{3}\]\[y = -\frac{1}{3}x + \frac{13}{3}\]Obliczamy punkt przecięcia $F$ prostych $AC$ i $BF$:\[3x - 1 = -\frac{1}{3}x + \frac{13}{3}\]Mnożymy przez 3, aby usunąć mianowniki:\[9x - 3 = -x + 13\]\[10x = 16\]\[x_F = \frac{16}{10} = \frac{8}{5}\]Podstawiamy $x_F$ do równania prostej $AC$:\[y_F = 3 \cdot \frac{8}{5} - 1 = \frac{24}{5} - \frac{5}{5} = \frac{19}{5}\]Stąd współrzędne punktu $F$ to $F\left(\frac{8}{5}, \frac{19}{5}\right).$

Zadanie 5 (3 pkt)

W trójkącie równoramiennym $ABC$, $|AC| = |BC|$, dane są: $A(1, 1)$, $C(2, 8)$. Wiedząc, że bok $AB$ zawiera się w prostej $k: x + 2y - 3 = 0$, oblicz współrzędne punktu $B$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Grupa B

Zadanie 1 (2 pkt)

Wykaż, że czworokąt ABCD, gdzie: a) $A(-3, 0)$, $B(-1, 4)$, $C(-6, 4)$, $D(-7, 2)$, jest trapezem prostokątnym, b) $A(-3, 5)$, $B(0, 2)$, $C(-2, 2)$, $D(-3, 3)$, jest trapezem równoramiennym.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 2 (3 pkt)

Wyznacz współrzędne wierzchołków równoległoboku ABCD, wiedząc, że bok AB zawiera się w prostej $k: y = 2x - 1$, bok AD zawiera się w prostej $l: y = -\frac{1}{2}x + 4$, zaś $S(4, 3)$ jest punktem przecięcia się przekątnych AC i BD.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 3 (3 pkt)

Dane są wierzchołki trójkąta ABC. Wyznacz współrzędne punktu wspólnego symetralnych boków tego trójkąta. $A(-3, 2)$, $B(5, 2)$, $C(1, 6)$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 4 (4 pkt)

Punkty $D, E, F$ są spodkami wysokości, poprowadzonymi odpowiednio na boki $AB, BC$ i $AC$. Wiedząc, że $A(-2, 1)$, $B(4, 3)$, $C(2, 7)$, oblicz współrzędne punktów $D, E, F$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 5 (3 pkt)

W trójkącie równoramiennym $ABC$, $|AC| = |BC|$, dane są: $A(5, 0)$, $C(1, 2)$. Wiedząc, że bok $AB$ zawiera się w prostej $k: 3x + y - 15 = 0$, oblicz współrzędne punktu $B$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

24.3 Proste w układzie współrzędnych

Grupa A

Zadanie 1 (2 pkt)

Zadanie 2 (3 pkt)

Zadanie 3 (3 pkt)

Zadanie 4 (4 pkt)

Zadanie 5 (3 pkt)

Grupa B

Zadanie 1 (2 pkt)

Zadanie 2 (3 pkt)

Zadanie 3 (3 pkt)

Zadanie 4 (4 pkt)

Zadanie 5 (3 pkt)

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Witaj na Liczbit 👋