24.2 Kąt między niezerowymi wektorami
Kartkówka
Grupa A
Zadanie 1 (4 pkt)
Oblicz:
a) cosinusy kątów wewnętrznych trójkąta ABC, jeśli $A(2, 2)$, $B(7, 3)$, $C(4, 6)$,
b) sinusy kątów wewnętrznych trójkąta ABC, jeśli $A(1, 5)$, $B(-2, 1)$, $C(4, -1)$.
Zadanie 2 (3 pkt)
Wykaż, że jeśli $A(1, 1)$, $B(4, 2)$, $C(2, 3)$, to najmniejszy kąt w trójkącie ABC ma miarę $45^\circ$.
Zadanie 3 (2 pkt)
Wyznacz liczbę $a$, dla której wektory $\vec{u}$ i $\vec{v}$, gdzie $\vec{u}=[3a+1, 2]$ i $\vec{v}=[a-1, -3]$ są:
a) równoległe
b) prostopadłe.
Zadanie 4 (2 pkt)
Wykaż, że punkty $A(-2, -3)$, $B(1, 3)$, $C(4, 9)$ są współliniowe.
Zadanie 5 (4 pkt)
Dane są punkty $A(2, 5)$, $B(4, -1)$. Wyznacz na prostej $k: y = 3x$ punkt $P$ tak, aby kąt $APB$ był prosty.
Grupa B
Zadanie 1 (4 pkt)
Oblicz:
a) cosinusy kątów wewnętrznych trójkąta ABC, jeśli $A(-1, -2)$, $B(5, 1)$, $C(1, 4)$,
b) sinusy kątów wewnętrznych trójkąta ABC, jeśli $A(0, 0)$, $B(5, 12)$, $C(-3, 4)$.
Zadanie 2 (3 pkt)
Wykaż, że jeśli $A(0, 3)$, $B(-1, 2)$, $C(-3, 2)$, to największy kąt w trójkącie ABC ma miarę $135^\circ$.
Zadanie 3 (2 pkt)
Wyznacz liczbę $a$, dla której wektory $\vec{u}$ i $\vec{v}$, gdzie $\vec{u}=[a-2, 3a]$ i $\vec{v}=[4, -2]$ są:
a) równoległe
b) prostopadłe.
Zadanie 4 (2 pkt)
Wykaż, że punkty $A(-1, 8)$, $B(0, 5)$, $C(2, -1)$ są współliniowe.
Zadanie 5 (4 pkt)
Dane są punkty $A(-2, 3)$, $B(4, 1)$. Wyznacz na prostej $k: y = x - 1$ punkt $P$ tak, aby kąt $APB$ był prosty.