a) Rozwiązujemy równanie $ \cos x - 2\sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = -\frac{1}{2} $ w przedziale $ (0, 2\pi) $. Korzystamy ze wzoru redukcyjnego $ \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = \cos x $. Podstawiamy do równania:\[ \cos x - 2\cos x = -\frac{1}{2} \]\[ -\cos x = -\frac{1}{2} \]\[ \cos x = \frac{1}{2} \]Szukamy rozwiązań w przedziale $ (0, 2\pi) $. Pierwsze rozwiązanie to $ x = \frac{\pi}{3} $. Drugie rozwiązanie to $ x = 2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3} $. b) Rozwiązujemy równanie $ \cos^4 x - \sin^4 x = \cos 6x $ w przedziale $ \langle0, 2\pi\rangle $. Korzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $ oraz tożsamości trygonometrycznych $ \cos^2 x - \sin^2 x = \cos 2x $ i $ \cos^2 x + \sin^2 x = 1 $. Lewa strona równania:\[ \cos^4 x - \sin^4 x = (\cos^2 x - \sin^2 x)(\cos^2 x + \sin^2 x) \]\[ = (\cos 2x)(1) \]\[ = \cos 2x \]Równanie przyjmuje postać:\[ \cos 2x = \cos 6x \]To równanie jest spełnione, gdy $ 6x = 2x + 2k\pi $ lub $ 6x = -2x + 2k\pi $, gdzie $ k \in \mathbb{Z} $. Przypadek 1: $ 6x = 2x + 2k\pi $\[ 4x = 2k\pi \]\[ x = \frac{k\pi}{2} \]Dla $ k \in \{0, 1, 2, 3, 4\} $ otrzymujemy rozwiązania w przedziale $ \langle0, 2\pi\rangle $: $ x_0 = 0 $ $ x_1 = \frac{\pi}{2} $ $ x_2 = \pi $ $ x_3 = \frac{3\pi}{2} $ $ x_4 = 2\pi $ Przypadek 2: $ 6x = -2x + 2k\pi $\[ 8x = 2k\pi \]\[ x = \frac{k\pi}{4} \]Dla $ k \in \{0, 1, ..., 8\} $ otrzymujemy rozwiązania w przedziale $ \langle0, 2\pi\rangle $: $ x_0 = 0 $ $ x_1 = \frac{\pi}{4} $ $ x_2 = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2} $ $ x_3 = \frac{3\pi}{4} $ $ x_4 = \frac{4\pi}{4} = \pi $ $ x_5 = \frac{5\pi}{4} $ $ x_6 = \frac{6\pi}{4} = \frac{3\pi}{2} $ $ x_7 = \frac{7\pi}{4} $ $ x_8 = \frac{8\pi}{4} = 2\pi $ Łącząc i usuwając duplikaty, otrzymujemy wszystkie rozwiązania w przedziale $ \langle0, 2\pi\rangle $: $ 0, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}, \pi, \frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}, \frac{7\pi}{4}, 2\pi $. c) Rozwiązujemy równanie $ \sin 2x - \sin 8x = \cos 5x $ w przedziale $ (0, \pi) $. Korzystamy ze wzoru na różnicę sinusów: $ \sin A - \sin B = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right) $. Dla $ A=2x $ i $ B=8x $:\[ \sin 2x - \sin 8x = 2\cos\left(\frac{2x+8x}{2}\right)\sin\left(\frac{2x-8x}{2}\right) \]\[ = 2\cos(5x)\sin(-3x) \]Ponieważ $ \sin(-\alpha) = -\sin\alpha $, mamy:\[ = -2\cos(5x)\sin(3x) \]Równanie przyjmuje postać:\[ -2\cos(5x)\sin(3x) = \cos 5x \]Przenosimy wszystko na jedną stronę i wyłączamy $ \cos 5x $ przed nawias:\[ \cos 5x + 2\cos 5x \sin 3x = 0 \]\[ \cos 5x (1 + 2\sin 3x) = 0 \]To równanie jest spełnione, gdy $ \cos 5x = 0 $ lub $ 1 + 2\sin 3x = 0 $. Przypadek 1: $ \cos 5x = 0 $\[ 5x = \frac{\pi}{2} + k\pi \]\[ x = \frac{\pi}{10} + \frac{k\pi}{5} \]Szukamy rozwiązań w przedziale $ (0, \pi) $: Dla $ k=0: x = \frac{\pi}{10} $ Dla $ k=1: x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi}{5} = \frac{3\pi}{10} $ Dla $ k=2: x = \frac{\pi}{10} + \frac{2\pi}{5} = \frac{5\pi}{10} = \frac{\pi}{2} $ Dla $ k=3: x = \frac{\pi}{10} + \frac{3\pi}{5} = \frac{7\pi}{10} $ Dla $ k=4: x = \frac{\pi}{10} + \frac{4\pi}{5} = \frac{9\pi}{10} $ Dla $ k=5: x = \frac{\pi}{10} + \frac{5\pi}{5} = \frac{11\pi}{10} $ (poza przedziałem) Przypadek 2: $ 1 + 2\sin 3x = 0 $\[ 2\sin 3x = -1 \]\[ \sin 3x = -\frac{1}{2} \]Szukamy rozwiązań dla $ 3x $. W przedziale $ (-\infty, \infty) $ ogólne rozwiązania dla $ \sin \alpha = -\frac{1}{2} $ to: $ \alpha = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi $ lub $ \alpha = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi $. Podstawiamy $ \alpha = 3x $: Podprzypadek 2a: $ 3x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi $\[ x = -\frac{\pi}{18} + \frac{2k\pi}{3} \]Szukamy rozwiązań w przedziale $ (0, \pi) $: Dla $ k=1: x = -\frac{\pi}{18} + \frac{2\pi}{3} = -\frac{\pi}{18} + \frac{12\pi}{18} = \frac{11\pi}{18} $ Podprzypadek 2b: $ 3x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi $\[ x = \frac{7\pi}{18} + \frac{2k\pi}{3} \]Szukamy rozwiązań w przedziale $ (0, \pi) $: Dla $ k=0: x = \frac{7\pi}{18} $ Łącząc wszystkie unikalne rozwiązania z obu przypadków i sortując je rosnąco: $ \frac{\pi}{10}, \frac{3\pi}{10}, \frac{7\pi}{18}, \frac{\pi}{2}, \frac{11\pi}{18}, \frac{7\pi}{10}, \frac{9\pi}{10} $.