Grupa A

Nr Treść Zadania
1 Wykaż, że jeżeli $a = \log_5 15$ oraz $b = \log_{\sqrt{5}} 16$, to $\log_3 20 = \frac{b+4}{4a-4}$.
2 Liczba $X$ jest o $20\%$ większa od liczby $Y$. Liczba $Z$ jest o $25\%$ mniejsza od liczby $Y$. O ile procent liczba $X$ jest większa od liczby $Z$?
3 Oblicz wartość wyrażenia: $$\left[ \left( \frac{27}{8} \right)^{-\frac{2}{3}} + (0.25)^{-1.5} \right] \cdot 4^{\frac{1}{2}}$$
4 Dane są funkcje liniowe $f(x) = -\frac{1}{2}x + 3$ oraz $g(x) = 2x - 7$. Wyznacz współrzędne punktu przecięcia wykresów tych funkcji oraz zbiór wszystkich argumentów $x$, dla których $f(x) > g(x)$.
5 Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x) = \frac{3ax+4}{x-2}$, gdzie $x \ne 2$. Ponadto wiadomo, że $f(1) = -1$. Wyznacz wartość parametru $a$, a następnie oblicz współrzędne punktu przecięcia wykresu funkcji $f$ z osią OY i określ, czy funkcja posiada miejsca zerowe.
6 Obwód prostokąta wynosi 50 cm. Jeden z boków jest o $20\%$ dłuższy od drugiego. Oblicz pole prostokąta.
7 Mamy dwa roztwory soli. Pierwszy ma $10\%$ stężenia, drugi $30\%$ stężenia. Ile kilogramów każdego roztworu należy zmieszać, aby otrzymać $10$ kg roztworu o stężeniu $22\%$?
8 Oblicz wartość wyrażenia: $$\log_3 54 - \log_3 2 + \log_2 \sqrt{8}$$
9 Rozwiąż nierówność: $|2x - 5| \ge 3$.
10 Trzech pracowników, Adam, Bartek i Czesław, wykonuje pewną pracę. Adam i Bartek razem wykonują ją w 6 godzin. Bartek i Czesław razem wykonują ją w 8 godzin. Adam i Czesław razem wykonują ją w 12 godzin. Ile godzin zajęłoby każdemu z nich wykonanie tej pracy samodzielnie?

Grupa B

Nr Treść Zadania
1 Wykaż, że jeżeli $a = \log_7 14$ oraz $b = \log_{\sqrt{7}} 27$, to $\log_2 63 = \frac{b+3}{3a-3}$.
2 Liczba $A$ jest o $10\%$ mniejsza od liczby $B$. Liczba $C$ jest o $20\%$ większa od liczby $B$. O ile procent liczba $C$ jest większa od liczby $A$?
3 Oblicz wartość wyrażenia: $$\left[ (0.125)^{\frac{2}{3}} + \left( \frac{1}{4} \right)^{-1.5} \right] \cdot 9^{-\frac{1}{2}}$$
4 Dane są funkcje liniowe $f(x) = \frac{1}{3}x - 2$ oraz $g(x) = -x + 6$. Wyznacz współrzędne punktu przecięcia wykresów tych funkcji oraz zbiór wszystkich argumentów $x$, dla których $g(x) \ge f(x)$.
5 Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x) = \frac{2x+b}{x+3}$, gdzie $x \ne -3$. Ponadto wiadomo, że $f(-1) = 0$. Wyznacz wartość parametru $b$, a następnie oblicz współrzędne punktu przecięcia wykresu funkcji $f$ z osią OY i określ dziedzinę funkcji.
6 Obwód trójkąta równoramiennego wynosi 32 cm. Podstawa jest o 4 cm krótsza od ramienia. Oblicz długości boków tego trójkąta.
7 Mamy dwa stopy metali. Pierwszy zawiera $60\%$ miedzi, drugi $20\%$ miedzi. Ile kilogramów każdego stopu należy połączyć, aby uzyskać $8$ kg stopu zawierającego $45\%$ miedzi?
8 Oblicz wartość wyrażenia: $$\log_5 75 - \log_5 3 + \log_4 \sqrt{64}$$
9 Rozwiąż równanie: $|3x + 4| = 7$.
10 Ojciec jest trzy razy starszy od syna. Za 10 lat ojciec będzie dwa razy starszy od syna. Ile lat ma obecnie każdy z nich?