| 1 |
Wykaż, że jeżeli $a = \log_5 15$ oraz $b = \log_{\sqrt{5}} 16$, to $\log_3 20 = \frac{b+4}{4a-4}$. |
1. Wyznaczamy $\log_5 3$ z wyrażenia na $a$:
$$ a = \log_5 15 = \log_5 (5 \cdot 3) = \log_5 5 + \log_5 3 = 1 + \log_5 3 $$
Zatem $\log_5 3 = a - 1$.
2. Wyznaczamy $\log_5 2$ z wyrażenia na $b$:
$$ b = \log_{\sqrt{5}} 16 $$
Stosujemy wzór na zmianę podstawy logarytmu: $\log_x y = \frac{\log_z y}{\log_z x}$.
$$ b = \frac{\log_5 16}{\log_5 \sqrt{5}} = \frac{\log_5 2^4}{\log_5 5^{\frac{1}{2}}} = \frac{4\log_5 2}{\frac{1}{2}} = 8\log_5 2 $$
Zatem $\log_5 2 = \frac{b}{8}$.
3. Wyrażamy $\log_3 20$ za pomocą logarytmów o podstawie $5$:
$$ \log_3 20 = \frac{\log_5 20}{\log_5 3} = \frac{\log_5 (4 \cdot 5)}{\log_5 3} = \frac{\log_5 (2^2 \cdot 5)}{\log_5 3} = \frac{\log_5 2^2 + \log_5 5}{\log_5 3} = \frac{2\log_5 2 + 1}{\log_5 3} $$
4. Podstawiamy wcześniej wyznaczone wartości:
$$ \log_3 20 = \frac{2 \cdot \frac{b}{8} + 1}{a-1} = \frac{\frac{b}{4} + 1}{a-1} $$
5. Upraszczamy wyrażenie:
$$ \frac{\frac{b}{4} + 1}{a-1} = \frac{\frac{b+4}{4}}{a-1} = \frac{b+4}{4(a-1)} = \frac{b+4}{4a-4} $$
6. Otrzymaliśmy żądaną tożsamość, co kończy dowód. |
Dowód został przeprowadzony w rozwiązaniu. |
| 2 |
Liczba $X$ jest o $20\%$ większa od liczby $Y$. Liczba $Z$ jest o $25\%$ mniejsza od liczby $Y$. O ile procent liczba $X$ jest większa od liczby $Z$? |
Zapiszmy zależności między liczbami:
Liczba $X$ jest o $20\%$ większa od liczby $Y$, więc $X = Y + 0.20Y = 1.20Y$.
Liczba $Z$ jest o $25\%$ mniejsza od liczby $Y$, więc $Z = Y - 0.25Y = 0.75Y$.
Chcemy dowiedzieć się, o ile procent liczba $X$ jest większa od liczby $Z$. Obliczamy różnicę $X-Z$ i dzielimy ją przez $Z$, a następnie mnożymy przez $100\%$.
$$ \frac{X-Z}{Z} \cdot 100\% $$
Podstawiamy wyrażenia na $X$ i $Z$ w zależności od $Y$:
$$ \frac{1.20Y - 0.75Y}{0.75Y} \cdot 100\% $$
Upraszczamy licznik:
$$ \frac{0.45Y}{0.75Y} \cdot 100\% $$
Skracamy $Y$ (zakładamy, że $Y \ne 0$):
$$ \frac{0.45}{0.75} \cdot 100\% $$
Wykonujemy dzielenie:
$$ \frac{45}{75} \cdot 100\% = \frac{3}{5} \cdot 100\% = 0.6 \cdot 100\% = 60\% $$ |
Liczba $X$ jest o $60\%$ większa od liczby $Z$. |
| 3 |
Oblicz wartość wyrażenia: $$\left[ \left( \frac{27}{8} \right)^{-\frac{2}{3}} + (0.25)^{-1.5} \right] \cdot 4^{\frac{1}{2}}$$ |
Obliczamy każdy składnik wyrażenia osobno.
Pierwszy składnik: $\left( \frac{27}{8} \right)^{-\frac{2}{3}}$
Odwracamy podstawę ze względu na ujemny wykładnik:
$$ \left( \frac{8}{27} \right)^{\frac{2}{3}} $$
To oznacza pierwiastek sześcienny, a następnie podniesienie do kwadratu:
$$ \left( \sqrt[3]{\frac{8}{27}} \right)^2 = \left( \frac{2}{3} \right)^2 = \frac{4}{9} $$
Drugi składnik: $(0.25)^{-1.5}$
Zamieniamy $0.25$ na ułamek $\frac{1}{4}$ i $1.5$ na $\frac{3}{2}$:
$$ \left( \frac{1}{4} \right)^{-\frac{3}{2}} $$
Odwracamy podstawę:
$$ 4^{\frac{3}{2}} $$
To oznacza pierwiastek kwadratowy, a następnie podniesienie do potęgi trzeciej:
$$ (\sqrt{4})^3 = 2^3 = 8 $$
Trzeci składnik (mnożnik): $4^{\frac{1}{2}}$
To oznacza pierwiastek kwadratowy:
$$ \sqrt{4} = 2 $$
Teraz podstawiamy obliczone wartości do oryginalnego wyrażenia:
$$ \left[ \frac{4}{9} + 8 \right] \cdot 2 $$
Wspólny mianownik dla sumy w nawiasie:
$$ \left[ \frac{4}{9} + \frac{72}{9} \right] \cdot 2 $$
$$ \frac{76}{9} \cdot 2 $$
Wykonujemy mnożenie:
$$ \frac{152}{9} $$ |
Wartość wyrażenia wynosi $\frac{152}{9}$. |
| 4 |
Dane są funkcje liniowe $f(x) = -\frac{1}{2}x + 3$ oraz $g(x) = 2x - 7$. Wyznacz współrzędne punktu przecięcia wykresów tych funkcji oraz zbiór wszystkich argumentów $x$, dla których $f(x) > g(x)$. |
Aby wyznaczyć współrzędne punktu przecięcia, należy przyrównać wzory funkcji:
$$ f(x) = g(x) $$
$$ -\frac{1}{2}x + 3 = 2x - 7 $$
Przenosimy wyrazy z $x$ na jedną stronę, a stałe na drugą:
$$ 3 + 7 = 2x + \frac{1}{2}x $$
$$ 10 = \frac{5}{2}x $$
Aby znaleźć $x$, mnożymy obie strony przez $\frac{2}{5}$:
$$ x = 10 \cdot \frac{2}{5} $$
$$ x = 4 $$
Teraz podstawiamy $x=4$ do jednego z wzorów funkcji, aby znaleźć $y$. Użyjmy $g(x)$:
$$ y = g(4) = 2(4) - 7 = 8 - 7 = 1 $$
Współrzędne punktu przecięcia to $(4,1)$.
Następnie rozwiązujemy nierówność $f(x) > g(x)$:
$$ -\frac{1}{2}x + 3 > 2x - 7 $$
Przenosimy wyrazy z $x$ na jedną stronę, a stałe na drugą:
$$ 3 + 7 > 2x + \frac{1}{2}x $$
$$ 10 > \frac{5}{2}x $$
Mnożymy obie strony przez $\frac{2}{5}$:
$$ x < 10 \cdot \frac{2}{5} $$
$$ x < 4 $$
Zbiór argumentów $x$, dla których $f(x) > g(x)$, to $x \in (-\infty, 4)$. |
Współrzędne punktu przecięcia to $(4,1)$. Nierówność $f(x) > g(x)$ jest spełniona dla $x \in (-\infty, 4)$. |
| 5 |
Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x) = \frac{3ax+4}{x-2}$, gdzie $x \ne 2$. Ponadto wiadomo, że $f(1) = -1$. Wyznacz wartość parametru $a$, a następnie oblicz współrzędne punktu przecięcia wykresu funkcji $f$ z osią OY i określ, czy funkcja posiada miejsca zerowe. |
Aby wyznaczyć parametr $a$, korzystamy z informacji, że $f(1) = -1$. Podstawiamy $x=1$ i $f(x)=-1$ do wzoru funkcji:
$$ -1 = \frac{3a(1)+4}{1-2} $$
$$ -1 = \frac{3a+4}{-1} $$
Mnożymy obie strony przez -1:
$$ 1 = 3a+4 $$
$$ 3a = 1 - 4 $$
$$ 3a = -3 $$
$$ a = -1 $$
Wzór funkcji $f$ po podstawieniu $a=-1$ to $f(x) = \frac{-3x+4}{x-2}$.
Teraz obliczamy współrzędne punktu przecięcia wykresu funkcji $f$ z osią OY. Punkt ten ma współrzędną $x=0$. Podstawiamy $x=0$ do wzoru funkcji:
$$ f(0) = \frac{-3(0)+4}{0-2} = \frac{4}{-2} = -2 $$
Współrzędne punktu przecięcia z osią OY to $(0, -2)$.
Na koniec określamy, czy funkcja posiada miejsca zerowe. Miejsca zerowe występują, gdy wartość funkcji $f(x)$ jest równa 0. Dla funkcji wymiernej, miejsce zerowe występuje, gdy licznik jest równy 0 (i $x$ należy do dziedziny funkcji).
$$ -3x+4 = 0 $$
$$ -3x = -4 $$
$$ x = \frac{4}{3} $$
Sprawdzamy, czy $x=\frac{4}{3}$ należy do dziedziny funkcji. Dziedzina funkcji $f(x) = \frac{-3x+4}{x-2}$ to $x \ne 2$. Ponieważ $\frac{4}{3} \ne 2$, to $x=\frac{4}{3}$ jest miejscem zerowym funkcji. |
Wartość parametru $a=-1$. Współrzędne punktu przecięcia z osią OY to $(0, -2)$. Funkcja posiada miejsce zerowe $x = \frac{4}{3}$. |
| 6 |
Obwód prostokąta wynosi 50 cm. Jeden z boków jest o $20\%$ dłuższy od drugiego. Oblicz pole prostokąta. |
Oznaczmy długości boków prostokąta jako $a$ i $b$.
Obwód prostokąta wynosi $2(a+b) = 50$ cm, co oznacza, że $a+b = 25$.
Zgodnie z treścią zadania, jeden z boków jest o $20\%$ dłuższy od drugiego. Załóżmy, że $a$ jest dłuższym bokiem:
$$ a = b + 0.20b = 1.2b $$
Teraz podstawiamy to wyrażenie na $a$ do równania obwodu:
$$ 1.2b + b = 25 $$
$$ 2.2b = 25 $$
$$ b = \frac{25}{2.2} = \frac{250}{22} = \frac{125}{11} \text{ cm} $$
Teraz obliczamy długość boku $a$:
$$ a = 1.2 \cdot \frac{125}{11} = \frac{6}{5} \cdot \frac{125}{11} = \frac{6 \cdot 25}{11} = \frac{150}{11} \text{ cm} $$
Pole prostokąta $P$ to iloczyn długości boków:
$$ P = a \cdot b = \frac{150}{11} \cdot \frac{125}{11} = \frac{18750}{121} \text{ cm}^2 $$ |
Pole prostokąta wynosi $\frac{18750}{121}$ cm$^2$. |
| 7 |
Mamy dwa roztwory soli. Pierwszy ma $10\%$ stężenia, drugi $30\%$ stężenia. Ile kilogramów każdego roztworu należy zmieszać, aby otrzymać $10$ kg roztworu o stężeniu $22\%$? |
Oznaczmy:
$x$ - masa roztworu $10\%$ (w kg)
$y$ - masa roztworu $30\%$ (w kg)
Zgodnie z treścią zadania, całkowita masa otrzymanego roztworu ma wynosić $10$ kg:
$$ x + y = 10 \quad (1) $$
Całkowita ilość soli w roztworze końcowym to $22\%$ z $10$ kg, czyli $0.22 \cdot 10 = 2.2$ kg. Suma soli z obu roztworów musi być równa tej wartości:
$$ 0.10x + 0.30y = 2.2 \quad (2) $$
Rozwiązujemy układ równań. Z równania (1) wyznaczamy $y$:
$$ y = 10 - x $$
Podstawiamy to do równania (2):
$$ 0.1x + 0.3(10 - x) = 2.2 $$
$$ 0.1x + 3 - 0.3x = 2.2 $$
Upraszczamy:
$$ -0.2x = 2.2 - 3 $$
$$ -0.2x = -0.8 $$
$$ x = \frac{-0.8}{-0.2} $$
$$ x = 4 \text{ kg} $$
Teraz obliczamy $y$:
$$ y = 10 - x = 10 - 4 = 6 \text{ kg} $$
Należy zmieszać 4 kg roztworu $10\%$ i 6 kg roztworu $30\%$. |
Należy zmieszać 4 kg roztworu $10\%$ i 6 kg roztworu $30\%$. |
| 8 |
Oblicz wartość wyrażenia: $$\log_3 54 - \log_3 2 + \log_2 \sqrt{8}$$ |
Obliczamy każdy człon wyrażenia osobno, korzystając z własności logarytmów.
Pierwsze dwa człony: $\log_3 54 - \log_3 2$
Korzystamy z własności różnicy logarytmów o tej samej podstawie: $\log_a M - \log_a N = \log_a \left( \frac{M}{N} \right)$.
$$ \log_3 54 - \log_3 2 = \log_3 \left( \frac{54}{2} \right) = \log_3 27 $$
Ponieważ $3^3 = 27$, to $\log_3 27 = 3$.
Trzeci człon: $\log_2 \sqrt{8}$
Zapisujemy pierwiastek jako potęgę: $\sqrt{8} = 8^{\frac{1}{2}}$.
$$ \log_2 8^{\frac{1}{2}} $$
Zapisujemy $8$ jako potęgę podstawy $2$: $8 = 2^3$.
$$ \log_2 (2^3)^{\frac{1}{2}} = \log_2 2^{\frac{3}{2}} $$
Korzystamy z własności $\log_a a^k = k$:
$$ \log_2 2^{\frac{3}{2}} = \frac{3}{2} $$
Sumujemy obliczone wartości:
$$ 3 + \frac{3}{2} = \frac{6}{2} + \frac{3}{2} = \frac{9}{2} $$ |
Wartość wyrażenia wynosi $\frac{9}{2}$. |
| 9 |
Rozwiąż nierówność: $|2x - 5| \ge 3$. |
Nierówność z wartością bezwzględną $|A| \ge B$ jest równoważna dwóm nierównościom: $A \ge B$ lub $A \le -B$.
W naszym przypadku $A = 2x-5$ i $B = 3$.
Rozwiązujemy pierwszą nierówność:
$$ 2x - 5 \ge 3 $$
$$ 2x \ge 3 + 5 $$
$$ 2x \ge 8 $$
$$ x \ge 4 $$
Rozwiązujemy drugą nierówność:
$$ 2x - 5 \le -3 $$
$$ 2x \le -3 + 5 $$
$$ 2x \le 2 $$
$$ x \le 1 $$
Rozwiązaniem nierówności $|2x - 5| \ge 3$ jest suma rozwiązań obu przypadków:
$x \in (-\infty, 1] \cup [4, \infty)$. |
Rozwiązaniem nierówności jest $x \in (-\infty, 1] \cup [4, \infty)$. |
| 10 |
Trzech pracowników, Adam, Bartek i Czesław, wykonuje pewną pracę. Adam i Bartek razem wykonują ją w 6 godzin. Bartek i Czesław razem wykonują ją w 8 godzin. Adam i Czesław razem wykonują ją w 12 godzin. Ile godzin zajęłoby każdemu z nich wykonanie tej pracy samodzielnie? |
Oznaczmy:
$A$ - czas, w jakim Adam wykonuje pracę samodzielnie (w godzinach)
$B$ - czas, w jakim Bartek wykonuje pracę samodzielnie (w godzinach)
$C$ - czas, w jakim Czesław wykonuje pracę samodzielnie (w godzinach)
Ich wydajności (część pracy wykonana w ciągu godziny) to odpowiednio $\frac{1}{A}$, $\frac{1}{B}$ i $\frac{1}{C}$.
Zgodnie z informacjami z zadania, tworzymy układ równań:
1) Adam i Bartek razem: $\frac{1}{A} + \frac{1}{B} = \frac{1}{6}$
2) Bartek i Czesław razem: $\frac{1}{B} + \frac{1}{C} = \frac{1}{8}$
3) Adam i Czesław razem: $\frac{1}{A} + \frac{1}{C} = \frac{1}{12}$
Dodajmy wszystkie trzy równania stronami:
$$ \left( \frac{1}{A} + \frac{1}{B} \right) + \left( \frac{1}{B} + \frac{1}{C} \right) + \left( \frac{1}{A} + \frac{1}{C} \right) = \frac{1}{6} + \frac{1}{8} + \frac{1}{12} $$
$$ 2 \left( \frac{1}{A} + \frac{1}{B} + \frac{1}{C} \right) = \frac{4}{24} + \frac{3}{24} + \frac{2}{24} $$
$$ 2 \left( \frac{1}{A} + \frac{1}{B} + \frac{1}{C} \right) = \frac{9}{24} = \frac{3}{8} $$
Podzielmy obie strony przez 2:
$$ \frac{1}{A} + \frac{1}{B} + \frac{1}{C} = \frac{3}{16} \quad (4) $$
Teraz możemy wyznaczyć wydajność każdego pracownika, odejmując równania (1), (2), (3) od równania (4):
Aby znaleźć $\frac{1}{C}$, odejmujemy równanie (1) od (4):
$$ \frac{1}{C} = \left( \frac{1}{A} + \frac{1}{B} + \frac{1}{C} \right) - \left( \frac{1}{A} + \frac{1}{B} \right) = \frac{3}{16} - \frac{1}{6} $$
Wspólny mianownik dla 16 i 6 to 48:
$$ \frac{1}{C} = \frac{9}{48} - \frac{8}{48} = \frac{1}{48} \implies C = 48 \text{ godzin} $$
Aby znaleźć $\frac{1}{A}$, odejmujemy równanie (2) od (4):
$$ \frac{1}{A} = \left( \frac{1}{A} + \frac{1}{B} + \frac{1}{C} \right) - \left( \frac{1}{B} + \frac{1}{C} \right) = \frac{3}{16} - \frac{1}{8} $$
Wspólny mianownik dla 16 i 8 to 16:
$$ \frac{1}{A} = \frac{3}{16} - \frac{2}{16} = \frac{1}{16} \implies A = 16 \text{ godzin} $$
Aby znaleźć $\frac{1}{B}$, odejmujemy równanie (3) od (4):
$$ \frac{1}{B} = \left( \frac{1}{A} + \frac{1}{B} + \frac{1}{C} \right) - \left( \frac{1}{A} + \frac{1}{C} \right) = \frac{3}{16} - \frac{1}{12} $$
Wspólny mianownik dla 16 i 12 to 48:
$$ \frac{1}{B} = \frac{9}{48} - \frac{4}{48} = \frac{5}{48} \implies B = \frac{48}{5} = 9.6 \text{ godziny} $$
Adam wykona pracę samodzielnie w 16 godzin, Bartek w 9.6 godziny, a Czesław w 48 godzin. |
Adam: 16 godzin, Bartek: 9.6 godziny, Czesław: 48 godzin. |